（魯京津瓊專用）2020版高考數(shù)學一輪復習 專題8 立體幾何與空間向量 第56練 立體幾何中的易錯題練習（含解析）.docx

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第56練 立體幾何中的易錯題 1．已知直線a，b，m，其中a，b在平面α內．則“m⊥a，m⊥b”是“m⊥α”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2．設l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥β C．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 3．(2019湛江調研)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．α∩β＝n，m?α，m∥β?m∥n B．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n?n⊥β C．m⊥n，m?α，n?β?α⊥β D．m∥α，n?α?m∥n 4．若點P∈平面α，點Q∈平面α，點R∈平面β，α∩β＝m，且R?m，PQ∩m＝M，過P，Q，R三點確定一個平面γ，則β∩γ是(　　) A．直線QR B．直線PR C．直線RM D．以上均不正確 5．(2019唐山模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 6．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則(　　) A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行 B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直 C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交 D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面 7．在三棱錐S—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D為BC的中點，則異面直線AB與SD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D．以上結論都不對 8．已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A.B.C.D. 9.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為a的正方形，若在側棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB＝90，則側棱AA1的長的最小值為(　　) A．a B．2a C．3a D．4a 10．在三棱錐A－BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐外接球的表面積為(　　) A．2πB．6πC．4πD．24π 11．已知一所有棱長都是的三棱錐，則該三棱錐的體積為________． 12．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中點，則三棱錐A1－ABM的體積為________． 　　　 第12題圖　　　　　　第13題圖 13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝，過B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________. 14.如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻轉過程中，正確的命題是________． ①MB是定值； ②點M在圓上運動； ③一定存在某個位置，使DE⊥A1C； ④一定存在某個位置，使MB∥平面A1DE. 15．在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________． 16.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是________． 答案精析 1．B　2.B　3.A　4.C　5.B　6.B 7．B　[如圖，取AC的中點E，連接DE，SE， 因為D，E分別為BC，AC的中點，所以DE∥AB，所以∠SDE就是異面直線AB與SD所成的角，令AB＝AC＝SA＝2，由勾股定理得SE＝， 又DE＝1，很明顯BA⊥平面SAC， 所以DE⊥平面SAC， 所以DE⊥SE，所以SD＝. 在Rt△SDE中，cos∠SDE＝＝ ＝.故選B.] 8．A　[設E為△ABC的重心，連接OA，OB，OE. ∵三棱錐S－ABC內接于球O， ∴OB＝OC＝OA＝1. 又△ABC為等邊三角形， ∴OE⊥平面ABC， ∴三棱錐的高h＝2OE. ∵AB＝AC＝BC＝1，E為△ABC的重心，連接CE， ∴CE＝， ∴OE＝＝， ∴h＝， ∴VS－ABC＝S△ABCh ＝1＝.] 9．B　[設AA1＝h，AE＝x，A1E＝h－x， x∈[0，h]， 則BE2＝a2＋x2，C1E2＝(a)2＋(h－x)2，BC＝a2＋h2. 又∠C1EB＝90， 所以BE2＋C1E2＝BC， 即a2＋x2＋(a)2＋(h－x)2＝a2＋h2， 即關于x的方程x2－h(huán)x＋a2＝0， x∈[0，h]有解， 當x＝0時，a2＝0，不合題意， 當x>0時，h＝＋x≥2a， 當且僅當x＝a時取等號． 即側棱AA1的最小值為2a.] 10．B　[設兩兩垂直的三條側棱分別為a，b，c， 可以得到ab＝， bc＝，ac＝， 解得a＝，b＝1，c＝. 所以2R＝＝， 所以球的表面積為S＝4πR2＝6π.] 11.　12. 13. 解析　如圖， ∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1 ＝B1D1， ∴B1D1∥PQ. 又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ. 設PQ∩AB＝M，∵AB∥CD， ∴△APM∽△DPQ， ∴＝＝2，即PQ＝2PM. 又△APM∽△ADB，∴＝＝. ∴PM＝BD，PQ＝BD， 又BD＝a，∴PQ＝a. 14．①②④ 解析　取DC中點N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE， 所以平面MNB∥平面A1DE，因為MB?平面MNB，所以MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MNNBcos∠MNB，所以MB是定值，①正確；B是定點，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當矩形ABCD滿足AC⊥DE時存在，其他情況不存在，③不正確．所以①②④正確． 15．8 解析　過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F(xiàn)，過點E作EN∥PB交AB于點N，過點F作FM∥PB交BC于點M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝PB＝2，所以截面的周長為24＝8. 16. 解析　取B1C1的中點M，BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN， 可以證明平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上，把△A1MN置于平面上，則有A1M＝A1N＝＝，MN＝＝，所以當點P位于M，N時，A1P最大，當P位于線段MN的中點O時，A1P最小，此時A1O＝＝，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，所以線段A1P長度的取值范圍是.