2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx
《2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5.docx(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
一 二維形式的柯西不等式 學習目標 1.認識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式,理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式,會求某些特定形式的函數(shù)的最值. 知識點 二維形式的柯西不等式 思考1 (a2+b2)(c2+d2)與4abcd的大小關系如何?那么(a2+b2)(c2+d2)與(ac+bd)2的大小關系又如何? 答案 (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd, (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 思考2 當且僅當a=b且c=d時,(a2+b2)(c2+d2)=4abcd,那么在什么條件下(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2? 答案 當且僅當ad=bc時,(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2. 思考3 若向量α=(a,b),向量β=(c,d),你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式? 答案 ≥|ac+bd|. 梳理 (1)二維形式的柯西不等式 ①定理1:若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時,等號成立. ②二維形式的柯西不等式的推論: ≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R); ≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R). (2)柯西不等式的向量形式 定理2:設α,β是兩個向量,則|αβ|≤|α||β|,當且僅當β是零向量,或存在實數(shù)k,使α=kβ時,等號成立. (3)二維形式的三角不等式 ①定理3:+≥(x1,y1,x2,y2∈R). 當且僅當三點P1,P2與原點O在同一直線上,并且P1,P2點在原點O兩旁時,等號成立. ②推論:對于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有 +≥. 事實上,在平面直角坐標系中,設點P1,P2,P3的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根據(jù)△P1P2P3的邊長關系有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,當且僅當三點P1,P2,P3在同一直線上,并且點P1,P2在P3點的兩旁時,等號成立. 類型一 利用柯西不等式證明不等式 例1 已知a1,a2,b1,b2∈R+,求證:(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 證明 ∵a1,a2,b1,b2∈R+, ∴(a1b1+a2b2) = ≥2 =(a1+a2)2. ∴(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 反思與感悟 利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時,有時需要將待證不等式進行變形,以具備柯西不等式的運用條件,這種變形往往要認真分析題目的特征,根據(jù)題設條件,利用添項、拆項、分解、組合、配方、數(shù)形結合等方法. 跟蹤訓練1 已知θ為銳角,a,b∈R+, 求證:+≥(a+b)2. 證明 ∵+=(cos2θ+sin2θ) ≥2=(a+b)2, ∴+≥(a+b)2. 例2 若實數(shù)x,y,z滿足x2+4y2+z2=3,求證:|x+2y+z|≤3. 證明 因為x2+4y2+z2=3, 所以由柯西不等式得 [x2+(2y)2+z2](12+12+12)≥(x+2y+z)2 . 整理得(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3. 反思與感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、積”,構造使用柯西不等式的條件. (2)此類題也可以用三角不等式,把△ABO的三個頂點分別設為O(0,0),A(x1,x2),B(-y1,-y2)即可. 跟蹤訓練2 設a,b,c為正數(shù),求證:++≥(a+b+c). 證明 由柯西不等式知,≥a+b, 即≥a+b, 同理,≥b+c,≥a+c. 將上面三個同向不等式相加, 得(++)≥2(a+b+c), ∴++≥(a+b+c). 類型二 利用柯西不等式求最值 例3 若3x+4y=2,試求x2+y2的最小值及最小值點. 解 由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2, 得25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥, 當且僅當=時等號成立,點(x,y)為所求最小值點, 解方程組得 因此,當x=,y=時,x2+y2取得最小值,最小值為,最小值點為. 反思與感悟 利用柯西不等式求最值 (1)先變形湊成柯西不等式的結構特征,是利用柯西不等式求解的前提條件; (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項,就可以應用柯西不等式來解,這也是運用柯西不等式解題的技巧; (3)有些最值問題的解決需要反復利用柯西不等式才能達到目的,但在運用過程中,每運用一次前后等號成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會出現(xiàn)錯誤.多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 跟蹤訓練3 已知a,b∈R,且9a2+4b2=18,求3a+2b的最值. 解 由柯西不等式,得(9a2+4b2)(12+12)≥(3a+2b)2, ∵9a2+4b2=18, ∴36≥(3a+2b)2. ∴|3a+2b|≤6. 當即或時等號成立. ∴當a=1,b=時,3a+2b有最大值6. 當a=-1,b=-時,3a+2b有最小值-6. 1.已知a,b∈R,a2+b2=4,則3a+2b的最大值為( ) A.4 B.2 C.8 D.9 答案 B 解析 (a2+b2)(32+22)≥(3a+2b)2,當且僅當3b=2a時取等號,所以(3a+2b)2≤413.所以3a+2b的最大值為2. 2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,則( ) A.a(chǎn)b≤ B.a(chǎn)b≥ C.a(chǎn)2+b2≥2 D.a(chǎn)2+b2≤3 答案 C 解析 ∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2=4, ∴a2+b2≥2. 3.設xy>0,則的最小值為________. 答案 9 解析 ∵ =≥(1+2)2=9, 當且僅當xy=,即xy=時,取等號. ∴最小值為9. 4.設a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為________. 答案 解析 ∵(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2=25, ∴m2+n2≥5. ∴≥. 當且僅當an=bm時取等號. 5.已知a2+b2=1,求證:|acosθ+bsinθ|≤1. 證明 ∵1=a2+b2=(a2+b2)(cos2θ+sin2θ) ≥(acosθ+bsinθ)2, ∴|acosθ+bsinθ|≤1. 1.利用柯西不等式的關鍵是找出相應的兩組數(shù),應用時要對照柯西不等式的原形,進行多角度的嘗試. 2.柯西不等式取等號的條件也不容易記憶,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2等號成立的條件是ad=bc,可以把a,b,c,d看成等比,則ad=bc來聯(lián)想記憶. 一、選擇題 1.已知a,b∈R+且a+b=1,則P=(ax+by)2與Q=ax2+by2的關系是( ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P>Q 答案 A 解析 設m=(x,y),n=(,), 則|ax+by|=|mn|≤|m||n| = = =, ∴(ax+by)2≤ax2+by2.即P≤Q. 2.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍是( ) A.[-2,2] B.[-2,2] C.[-,] D.(-,) 答案 A 解析 (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2, ∵a2+b2=10,∴(a-b)2≤20. ∴-2≤a-b≤2. 3.函數(shù)y=+2的最大值是( ) A. B. C.3 D.5 答案 B 解析 根據(jù)柯西不等式知, y=1+2≤=(當且僅當x=時取等號). 4.若3x2+2y2≤1,則3x+2y的取值范圍是( ) A.[0,] B.[-,0] C.[-,] D.[-5,5] 答案 C 解析 (3x+2y)2≤ =5(3x2+2y2)≤5, ∴-≤3x+2y≤. 5.已知a,b,c,d,m,n∈R+,P=+,Q=,則P與Q的大小關系為( ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P=Q 答案 A 解析 ∵P=+ ≤ ==Q. ∴P≤Q. 6.已知a,b>0,且a+b=1,則(+)2的最大值是( ) A.2 B. C.6 D.12 答案 D 解析 (+)2 =(1+1)2 ≤(12+12)(4a+1+4b+1) =2[4(a+b)+2]=2(41+2)=12, 當且僅當=,即a=b=時等號成立. 二、填空題 7.設實數(shù)x,y滿足3x2+2y2≤6,則P=2x+y的最大值為________. 答案 解析 由柯西不等式,得 (2x+y)2≤[(x)2+(y)2] =(3x2+2y2)≤6=11, 所以2x+y≤. 8.設x,y∈R+,則(x+y)的最小值是________. 答案 5+2 解析 (x+y)≥2 =(+)2=5+2, 當且僅當=時,等號成立. 9.已知x>0,y>0,且+=1,則2x+y的最小值為________. 答案 3+2 解析 2x+y=(2x+y) =[()2+()2] ≥2=3+2, 當且僅當=時,等號成立, 又+=1, 則此時 10.已知函數(shù)f(x)=3+4,則函數(shù)f(x)的最大值為________. 答案 5 解析 由柯西不等式知, (3+4)2≤(32+42)[()2+()2]=25. 當且僅當3=4時,等號成立, 因此f(x)≤5. 11.函數(shù)f(x)=3cosx+4的最大值為________. 答案 5 解析 設m=(3,4), n=(cosx,), 則f(x)=3cosx+4 =mn≤|m||n| ==5. 當且僅當m∥n時,上式取“=”. 此時,3-4cosx=0. 解得sinx=,cosx=. 故當sinx=,cosx=時. f(x)=3cosx+4取得最大值5. 12.已知關于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}. 則+的最大值為__________. 答案 4 解析 由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 則解得a=-3,b=1. 又+=+ ≤ =2=4, 當且僅當=,即t=1時等號成立, 故(+)max=4. 三、解答題 13.設a,b∈R+,且a+b=2.求證:+≥2. 證明 根據(jù)柯西不等式,有 [(2-a)+(2-b)] =[()2+()2] ≥2 =(a+b)2=4. ∴+≥=2. ∴原不等式成立. 四、探究與拓展 14.若a+b=1,則2+2的最小值為( ) A.1 B.2 C. D. 答案 C 解析 2+2 =a2+2++b2+2+. ∵a+b=1, ∴a2+b2=(a2+b2)(1+1) ≥(a+b)2=. 又∵+≥≥=8, 以上兩個不等式都是當且僅當a=b=時,等號成立. ∴2+2≥+2+2+8=, 當且僅當a=b=時等號成立. 15.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).求證:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 證明 由a,b∈(0,+∞),a+b=1, x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式,可得 (ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2][()2+()2]≥(+)2=(a+b)2=x1x2, 當且僅當=,即x1=x2時取得等號. 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標,表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞:
- 2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 二維形式的柯西不等式學案 新人教A版選修4-5 2018 2019 高中數(shù)學 三講 不等式 排序 二維 形式 新人 選修
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享,僅供網(wǎng)友學習交流,未經(jīng)上傳用戶書面授權,請勿作他用。
相關資源
更多
正為您匹配相似的精品文檔
鏈接地址:http://appdesigncorp.com/p-4603471.html