《2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.2 函數(shù)的極值學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.2 函數(shù)的極值學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（2頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1．2 函數(shù)的極值
學習目標 1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法．3．掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件．
知識點一 函數(shù)的極值點與極值的概念
1.如圖1，在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都小于或等于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值．
2．如圖2，在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都大于或等于x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值．
3．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點．
知識點二 函數(shù)極值的判定
1．單調(diào)性判別：
(1)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，x0)上是增加的，在區(qū)間(x0，b)上是減少的，則x0是極大值點，f(x0)是極大值．
(2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，x0)上是減少的，在區(qū)間(x0，b)上是增加的，則x0是極小值點，f(x0)是極小值．
2．圖表判別：
(1)極大值的判定：
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
y＝f(x)
增加↗
極大值
減少↘
(2)極小值的判定：
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
y＝f(x)
減少↘
極小值
增加↗
知識點三 求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟
1．求出導數(shù)f′(x)．
2．解方程f′(x)＝0.
3．對于方程f′(x)＝0的每一個解x0，分析f′(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(即f(x)的單調(diào)性)，確定極值點：
(1)若f′(x)在x0兩側(cè)的符號為“左正右負”，則x0為極大值點；
(2)若f′(x)在x0兩側(cè)的符號為“左負右正”，則x0為極小值點；
(3)若f′(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點．
1．導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點．( )
2．在可導函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行．( )
3．函數(shù)f(x)＝無極值．( √ )
4．定義在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)若有極值f(x0)，則x0∈(a，b)．( √ )
5．函數(shù)的極值點一定是其導函數(shù)的變號零點．( √ )
題型一 求函數(shù)的極值
例1 求下列函數(shù)的極值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2lnx.
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題
解 (1)函數(shù)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定義域為R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值21
↘
極小值－6
↗
所以當x＝－2時，f(x)取極大值21；
當x＝1時，f(x)取極小值－6.
(2)函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
解方程＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
極小值1
↗
因此當x＝1時，f(x)有極小值1，無極大值．
反思感悟 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f′(x)．
(2)求f(x)的拐點，即求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值．
特別提醒：在判斷f′(x)的符號時，借助圖像也可判斷f′(x)各因式的符號，還可用特殊值法判斷．
跟蹤訓練1 已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題
解 (1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
則f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，
當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln2)
－ln2
(－ln2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的，
在(－2，－ln2)上是減少的．
當x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值，
極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．
題型二 已知函數(shù)極值(或極值點)求參數(shù)
例2 設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．
(1)試確定常數(shù)a和b的值；
(2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由．
解 (1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由題意可知f′(1)＝f′(2)＝0，
∴
解方程組得a＝－，b＝－，
經(jīng)驗證，當a＝－，b＝－時，x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)的兩個極值點．
∴f(x)＝－lnx－x2＋x.
(2)x＝1，x＝2分別是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點．
理由如下：
f′(x)＝－x－1－x＋1
＝－－x＋1＝－＝－.
又∵f(x)的定義域為(0，＋∞)，
∴當x∈(0,1)時，f′(x)<0；當x∈(1,2)時，f′(x)>0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0，故在x＝1處函數(shù)f(x)取得極小值，在x＝2處函數(shù)取得極大值，故x＝1為極小值點，x＝2為極大值點．
反思感悟 已知函數(shù)極值情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式時，注意兩點
(1)根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值兩個條件列方程組．
(2)因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以求解后必須驗證根的合理性．
跟蹤訓練2 (1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，則a＝________，b＝________.
(2)若函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－1有極值點，則a的取值范圍為________．
考點 根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值
題點 已知極值求參數(shù)
答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)
解析 (1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函數(shù)f(x)在x＝－1處有極值0，
∴即
解得或
當a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此時函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去．
當a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
當x∈(－∞，－3)時，f′(x)>0，此時f(x)是增加的；
當x∈(－3，－1)時，f′(x)<0，此時f(x)是減少的；
當x∈(－1，＋∞)時，f′(x)>0，此時f(x)是增加的．
故f(x)在x＝－1處取得極小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由題意得方程x2－2x＋a＝0有兩個不同的實數(shù)根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
題型三 函數(shù)極值的綜合應用
例3 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，求m的取值范圍．
考點 函數(shù)極值的應用
題點 函數(shù)的零點與方程的根
解 因為f(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
當x<－1時，f′(x)>0；
當－1
1時，f′(x)>0.
所以由f(x)的單調(diào)性可知，
f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，
在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致圖像如圖所示．
因為直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖像有三個不同的交點，結(jié)合f(x)的圖像可知，m的取值范圍是(－3,1)．
引申探究
若本例“三個不同的交點”改為“兩個不同的交點”結(jié)果如何？改為“一個交點”呢？
解 由本例解析可知當m＝－3或m＝1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖像有兩個不同的交點；當m<－3或m>1時，直線y＝m與y＝f(x)的圖像只有一個交點．
反思感悟 利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖像，從直觀上判斷函數(shù)圖像與x軸的交點或兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便．
跟蹤訓練3 已知函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝f′(x)＋5x＋m的圖像有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．
考點 函數(shù)極值的應用
題點 函數(shù)的零點與方程的根
解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個不相等的實根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖像與x軸有三個不同的交點．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
當x變化時，g(x)，g′(x)的變化情況如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
則函數(shù)g(x)的極大值為g＝－m，極小值為g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的圖像與y＝f′(x)＋5x＋m的圖像有三個不同的交點，
得解得－160)的圖像有兩個不同的交點，則a>0.
設(shè)函數(shù)y＝lnx＋1上任一點(x0,1＋lnx0)處的切線為l，
則切線斜率kl＝，
當l過坐標原點時，＝，解得x0＝1，
則kl＝1，令2a＝1，得a＝，
結(jié)合圖像知0 B．a(chǎn)≥
C．a(chǎn)<且a≠0 D．a(chǎn)≤且a≠0
考點 函數(shù)極值的應用
題點 極值存在性問題
答案 C
解析 f′(x)＝3ax2－2x＋1，令f′(x)＝0，
即3ax2－2x＋1＝0有兩個不等實根，
則得a<且a≠0.
3．已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則a等于( )
A．－4B．－2C．4D．2
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 不含參數(shù)的函數(shù)求極值(點)
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2.
當x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時，f′(x)>0，則f(x)是增加的；
當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，則f(x)是減少的，
∴f(x)的極小值點為a＝2.
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，則實數(shù)a的值為________．
答案 9
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，從而x1x2＝＝1，
所以a＝9.
5．已知曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在點(1，f(1))處的切線斜率為3，且x＝是y＝f(x)的極值點，則a＋b＝________.
考點 根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值
題點 已知極值求參數(shù)
答案?。?
解析 因為f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由題意知
即
解得則a＋b＝－2.
1．在極值的定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值．
2．函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)．可導函數(shù)f(x)在點x＝x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0且在x＝x0兩側(cè)f′(x)符號相反．
3．利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖像的交點問題．
一、選擇題
1．“函數(shù)y＝f(x)在一點的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在這點取得極值”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 判定函數(shù)的極值點
答案 B
解析 對于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0處取極值，反之成立．故選B.
2.如圖為y＝f(x)的導函數(shù)的圖像，則下列判斷正確的是( )
①f(x)在(－3,1)上為增加的；
②x＝－1是f(x)的極小值點；
③f(x)在(2,4)上為減少的，在(－1,2)上為增加的；
④x＝2是f(x)的極小值點．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
考點 函數(shù)極值的應用
題點 函數(shù)極值在圖像上的應用
答案 B
解析 當x∈(－3，－1)時，f′(x)<0；
當x∈(－1,2)時，f′(x)>0，
∴f(x)在(－3，－1)上為減少的，在(－1,2)上為增加的，
∴①不對；
x＝－1是f(x)的極小值點；
當x∈(2,4)時，f′(x)<0，f(x)是減少的；
x＝2是f(x)的極大值點．故②③正確．
3．函數(shù)f(x)＝x2－lnx的極值點為( )
A．0,1，－1 B．－
C. D.，－
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 不含參數(shù)的函數(shù)求極值問題
答案 C
解析 由已知，得f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.當x>時，f′(x)>0；當00，解得x>3或x<2，所以函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(3，＋∞)．
5．若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的遞減區(qū)間為( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
考點 根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)值
題點 已知極值求參數(shù)
答案 A
解析 令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝，
令f′(x)>0，得x>或x<－；
令f′(x)<0，得－0)的極大值為6，極小值為2，∴f()＝2，f(－)＝6，
即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6，
得a＝1，b＝4，
則f′(x)＝3x2－3，由f′(x)<0，得－10，即f′(x)<0；
當－33時，f′(x)<0.
∴f(x)的極大值是f(3)，極小值是f(－3)．
7．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則( )
A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值
B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值
C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值
D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 判別極值點與極值
答案 C
解析 當k＝1時，f′(x)＝exx－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的極值點．
當k＝2時，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
顯然f′(1)＝0，且x在1的左邊附近f′(x)<0，
x在1的右邊附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1處取到極小值．故選C.
8．已知a∈R，且函數(shù)y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點，則( )
A．a(chǎn)＜－1 B．a(chǎn)＞－1
C．a(chǎn)＜－ D．a(chǎn)＞－
考點 函數(shù)極值的應用
題點 極值存在性問題
答案 A
解析 因為y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，則ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因為x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
二、填空題
9．函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為________．
考點 函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
題點 不含參數(shù)的函數(shù)求極值
答案 y＝－
解析 令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函數(shù)y＝xex在極值點處的切線方程為y＝－.
10.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋2，其導函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)的極小值是________．
考點 函數(shù)極值的應用
題點 函數(shù)極值在函數(shù)圖像上的應用
答案 2
解析 由圖像可知，當x<0時，f′(x)<0，
當00，
故當x＝0時，函數(shù)f(x)取極小值f(0)＝2.
11．若直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖像有三個相異的公共點，則a的取值范圍是________．
考點 函數(shù)極值的應用
題點 函數(shù)的零點與方程的根
答案 (－2,2)
解析 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1，可得f(x)的極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，所以當－20，
x取足夠小的負數(shù)時，有f(x)<0，
∴曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點．
由(1)知f(x)極大值＝f＝＋a，
f(x)極小值＝f(1)＝a－1.
∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點，
∴f(x)極大值<0或f(x)極小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴當a∈∪(1，＋∞)時，
曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點．
14．函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負數(shù)，則a的取值范圍是________．
答案
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0得x＝a，
當－aa或x<－a時，f′(x)>0，函數(shù)是增加的，
∴f(x)的極大值為f(－a)，極小值為f(a)．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.
∴a的取值范圍是.
15．已知函數(shù)f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函數(shù)f(x)的極值；
(2)設(shè)函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)，若函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
考點 函數(shù)極值的應用
題點 函數(shù)的零點與方程的根
解 (1)f(x)的定義域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)是減少的；
當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)是增加的，
所以f(x)在x＝1處取得極小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的極小值為1，無極大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)＝x－2lnx－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，
令k′(x)<0，得0
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2020版高中數(shù)學
第四章
導數(shù)應用
1.2
函數(shù)的極值學案含解析北師大版選修1
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2020
高中數(shù)學
第四
導數(shù)
應用
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2020版高中數(shù)學 第四章 導數(shù)應用 1.2 函數(shù)的極值學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx
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