1.1
1.1.1 集合的含義與表示
第一課時 集合的含義
預(yù)習課本P2~3,思考并完成以下問題
(1)集合和元素的含義是什么?它們各自用什么字母表示?
(2)元素和集合之間有哪兩種關(guān)系?常見的數(shù)集有哪些?分別用什么符號表示?
1.元素與集合的概念
(1)元素:一般地,把研究對象統(tǒng)稱為元素.元素常用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示.
(2)集合:把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等:只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的.
(4)元素的特性:確定性、無序性、互異性.
[點睛] 集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素,研究集合問題的核心即研究集合中的元素,因此在解決集合問題時,首先要明確集合中的元素是什么.集合中的元素可以是點,也可以是一些人或一些物.
2.元素與集合的關(guān)系
關(guān)系
語言描述
記法
讀法
屬于
a是集合A中的元素
a∈A
a屬于集合A
不屬于
a不是集合A中的元素
a?A
a不屬于集合A
[點睛] 對元素和集合之間關(guān)系的兩點說明
(1)符號“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系.對于一個元素a與一個集合A而言,只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果.
(2)∈和?具有方向性,左邊是元素,右邊是集合,形如R∈0是錯誤的.
3.常用的數(shù)集及其記法
常用的數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
記法
N
N*或N+
Z
Q
R
1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)你班所有的姓氏能組成集合. ( )
(2)新課標數(shù)學人教A版必修1課本上的所有難題.( )
(3)一個集合中可以找到兩個相同的元素. ( )
答案:(1)√ (2) (3)
2.下列元素與集合的關(guān)系判斷正確的是( )
A.0∈N B.π∈Q
C.∈Q D.-1?Z
答案:A
3.已知集合A中含有3個元素-2,4,x2-x,且6∈A,則x的值是( )
A.2 B.-2
C.3 D.3或-2
答案:D
4.方程x2-1=0與方程x+1=0所有解組成的集合中共有________個元素.
答案:2
集合的基本概念
[例1] 考察下列每組對象,能構(gòu)成一個集合的是( )
①某校高一年級成績優(yōu)秀的學生;
②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點;
③不小于3的自然數(shù);
④2016年第31屆奧運會金牌獲得者.
A.③④ B.②③④
C.②③ D.②④
[解析]?、僦小俺煽儍?yōu)秀”沒有明確的標準,所以不能構(gòu)成一個集合;②③④中的對象都滿足確定性,所以能構(gòu)成集合.
[答案] B
判斷一組對象能否組成集合的標準
判斷一組對象能否組成集合,關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性,如果此組對象滿足確定性,就可以組成集合;否則,不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.
[活學活用]
1.給出下列說法:
①中國的所有直轄市可以構(gòu)成一個集合;
②高一(1)班較胖的同學可以構(gòu)成一個集合;
③正偶數(shù)的全體可以構(gòu)成一個集合;
④大于2 011且小于2 016的所有整數(shù)不能構(gòu)成集合.
其中正確的有________.(填序號)
解析:②中由于“較胖”的標準不明確,不滿足集合元素的確定性,所以②錯誤;④中的所有整數(shù)能構(gòu)成集合,所以④錯誤.
元素與集合的關(guān)系
答案:①③
[例2] (1)下列關(guān)系中,正確的有( )
①∈R;② ?Q;③|-3|∈N;④|-|∈Q.
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
(2)集合A中的元素x滿足∈N,x∈N,則集合A中的元素為________.
[解析] (1)是實數(shù),是無理數(shù),|-3|=3是非負整數(shù),|-|=是無理數(shù).因此,①②③正確,④錯誤.
(2)由題意可得:3-x可以為1,2,3,6,且x為自然數(shù),因此x的值為2,1,0.因此A中元素有2,1,0.
[答案] (1)C (2)0,1,2
判斷元素與集合關(guān)系的2種方法
(1)直接法:如果集合中的元素是直接給出,只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.
(2)推理法:對于一些沒有直接表示的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可,此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.
[活學活用]
2.已知集合A中有四個元素0,1,2,3,集合B中有三個元素0,1,2,且元素a∈A,a?B,則a的值為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:選D ∵a∈A,a?B,∴由元素與集合之間的關(guān)系知,a=3.
3.用適當?shù)姆柼羁眨?
已知A={x|x=3k+2,k∈Z},B={x|x=6m-1,m∈Z},則有:17________A;-5________A;17________B.
解析:令3k+2=17得,k=5∈Z.
所以17∈A.
令3k+2=-5得,k=-?Z.
所以-5?A.
令6m-1=17得,m=3∈Z,
所以17∈B.
答案:∈ ? ∈
集合中元素的特性及應(yīng)用
[例3] 已知集合A含有兩個元素a和a2,若1∈A,則實數(shù)a的值為________.
[解析] 若1∈A,則a=1或a2=1,即a=1.
當a=1時,集合A有重復(fù)元素,不符合元素的互異性,
∴a≠1;
當a=-1時,集合A含有兩個元素1,-1,符合元素的互異性.∴a=-1.
[答案]?。?
[一題多變]
1.[變條件]本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”,其他條件不變,求實數(shù)a的值.
解:因2∈A,則a=2或a2=2即a=2,或a=,或a=-.
2.[變條件]本例若去掉條件“1∈A”,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是什么?
解:因A中有兩個元素a和a2,則由a≠a2解得
a≠0且a≠1.
3.[變條件]已知集合A含有兩個元素1和a2,若“a∈A”,求實數(shù)a的值.
解:由a∈A可知,
當a=1時,此時a2=1,與集合元素的互異性矛盾,
所以a≠1.
當a=a2時,a=0或1(舍去).
綜上可知,a=0.
根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的3個步驟
層級一 學業(yè)水平達標
1.下列說法正確的是( )
A.某班中年齡較小的同學能夠形成一個集合
B.由1,2,3和 ,1,組成的集合不相等
C.不超過20的非負數(shù)組成一個集合
D.方程(x-1)(x+1)2=0的所有解構(gòu)成的集合中有3個元素
解析:選C A項中元素不確定.B項中兩個集合元素相同,因集合中的元素具有無序性,所以兩個集合相等.D項中方程的解分別是x1=1,x2=x3=-1.由互異性知,構(gòu)成的集合含2個元素.
2.已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成,則有( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.-1?A
解析:選C 很明顯3,1不滿足不等式,而0,-1滿足不等式.
3.下面幾個命題中正確命題的個數(shù)是( )
①集合N*中最小的數(shù)是1;
②若-a?N*,則a∈N*;
③若a∈N*,b∈N*,則a+b最小值是2;
④x2+4=4x的解集是{2,2}.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:選C N*是正整數(shù)集,最小的正整數(shù)是1,故①正確;當a=0時,-a?N*,且a?N*,故②錯;若a∈N*,則a的最小值是1,又b∈N*,b的最小值也是1,當a和b都取最小值時,a+b取最小值2,故③正確;由集合元素的互異性知④是錯誤的.故①③正確.
4.已知集合A含有三個元素2,4,6,且當a∈A,有6-a∈A,則a為( )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
解析:選B 若a=2∈A,則6-a=4∈A;或a=4∈A,則6-a=2∈A;若a=6∈A,則6-a=0?A.故選B.
5.由實數(shù)-a,a,|a|,所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:選B 當a=0時,這四個數(shù)都是0,所組成的集合只有一個元素0.當a≠0時,=|a|=所以一定與a或-a中的一個一致.故組成的集合中有兩個元素,故選B.
6.下列說法中:
①集合N與集合N+是同一個集合;
②集合N中的元素都是集合Z中的元素;
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;
④集合Q中的元素都是集合R中的元素.
其中正確的有________(填序號).
解析:因為集合N+表示正整數(shù)集,N表示自然數(shù)集,Z表示整數(shù)集,Q表示有理數(shù)集,R表示實數(shù)集,所以①③中的說法不正確,②④中的說法正確.
答案:②④
7.已知集合A是由偶數(shù)組成的,集合B是由奇數(shù)組成的,若a∈A,b∈B,則a+b________A,ab________A.(填∈或?).
解析:∵a是偶數(shù),b是奇數(shù),
∴a+b是奇數(shù),ab是偶數(shù),
故a+b?A,ab∈A.
答案:? ∈
8.已知集合P中元素x滿足:x∈N,且2
3.
答案:a>3
6.若集合A中含有三個元素a-3,2a-1,a2-4,且-3∈A,則實數(shù)a的值為________.
解析:(1)若a-3=-3,則a=0,此時A={-3,-1,-4},滿足題意.
(2)若2a-1=-3,則a=-1,此時A={-4,-3,-3},不滿足元素的互異性.
(3)若a2-4=-3,則a=1.當a=1時,A={-2,1,-3},滿足題意;當a=-1時,由(2)知不合題意.
綜上可知:a=0或a=1.
答案:0或1
7.集合A中共有3個元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3個元素9,a-5,1-a,現(xiàn)知9∈A且集合B中再沒有其他元素屬于A,能否根據(jù)上述條件求出實數(shù)a的值?若能,則求出a的值,若不能,則說明理由.
解:∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9,
若2a-1=9,則a=5,此時A中的元素為-4,9,25;B中的元素為9,0,-4,顯然-4∈A且-4∈B,與已知矛盾,故舍去.
若a2=9,則a=3,當a=3時,A中的元素為-4,5,9;B中的元素為9,-2,-2,B中有兩個-2,與集合中元素的互異性矛盾,故舍去.
當a=-3時,A中的元素為-4,-7,9;B中的元素為9,-8,4,符合題意.
綜上所述,滿足條件的a存在,且a=-3.
8.設(shè)A為實數(shù)集,且滿足條件:若a∈A,則∈A(a≠1).
求證:(1)若2∈A,則A中必還有另外兩個元素;
(2)集合A不可能是單元素集.
證明:(1)若a∈A,則∈A.
又∵2∈A,∴=-1∈A.
∵-1∈A,∴=∈A.
∵∈A,∴=2∈A.
∴A中必還有另外兩個元素,且為-1,.
(2)若A為單元素集,則a=,
即a2-a+1=0,方程無解.
∴a≠,∴集合A不可能是單元素集.
第二課時 集合的表示
預(yù)習課本P3~5,思考并完成以下問題
(1)集合有哪兩種表示方法?它們?nèi)绾味x?
(2)它們的使用條件各是什么?又如何用符號表示?
1.列舉法
把集合的元素一一列舉出來,并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法.
[點睛] 列舉法表示集合時的4個關(guān)注點
(1)元素與元素之間必須用“,”隔開.
(2)集合中的元素必須是明確的.
(3)集合中的元素不能重復(fù).
(4)集合中的元素可以是任何事物.
2.描述法
(1)定義:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
(2)具體方法:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
[點睛] 描述法表示集合時的3個關(guān)注點
(1)寫清楚集合中元素的符號.如數(shù)或點等.
(2)說明該集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等.
(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.
1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}.( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A={x|x-1=0}與集合B={1}表示同一個集合.( )
答案:(1) (2) (3)√
2.方程組的解集是( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.{(-1,2)} D.{(1,-2)}
答案:C
3.不等式x-3<2且x∈N*的解集用列舉法可表示為( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案:B
4.不等式4x-5<7的解集為________.
答案:{x|4x-5<7}
用列舉法表示集合
[例1] 用列舉法表示下列集合.
(1)不大于10的非負偶數(shù)組成的集合;
(2)方程x3=x的所有實數(shù)解組成的集合;
(3)直線y=2x+1與y軸的交點所組成的集合.
[解] (1)因為不大于10是指小于或等于10,非負是大于或等于0的意思,所以不大于10的非負偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的解組成的集合為{0,1,-1}.
(3)將x=0代入y=2x+1,得y=1,即交點是(0,1),
故兩直線的交點組成的集合是{(0,1)}.
用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列舉出來,且相同元素只能列舉一次.
(3)用花括號括起來.
[活學活用]
1.若集合A={(1,2),(3,4)},則集合A中元素的個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B 集合A={(1,2),(3,4)}中有兩個元素(1,2)和(3,4).
2.用列舉法表示下列給定的集合:
(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A.
(2)方程x2-9=0的實數(shù)根組成的集合B.
(3)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點組成的集合D.
解:(1)因為大于1且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.
(2)方程x2-9=0的實數(shù)根為-3,3,所以B={-3,3}.
(3)由得
用描述法表示集合
所以一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的交點為(1,4),所以D={(1,4)}.
[例2] 用描述法表示下列集合:
(1)被3除余1的正整數(shù)的集合;
(2)坐標平面內(nèi)第一象限的點的集合;
(3)大于4的所有偶數(shù).
[解] (1)根據(jù)被除數(shù)=商除數(shù)+余數(shù),可知此集合表示為{x|x=3n+1,n∈N}.
(2)第一象限內(nèi)的點的橫、縱坐標均大于零,故此集合可表示為{(x,y)|x>0,y>0}.
(3)偶數(shù)可表示為2n,n∈Z,又因為大于4,故n≥3,從而用描述法表示此集合為{x|x=2n,n∈Z且n≥3}.
描述法表示集合的2個步驟
[活學活用]
3.用符號“∈”或“?”填空:
(1)A={x|x2-x=0},則1________A,-1________A;
(2)(1,2)________{(x,y)|y=x+1}.
解析:(1)易知A={0,1},故1∈A,-1?A;
(2)將x=1,y=2代入y=x+1,等式成立.
答案:(1)∈ ? (2)∈
4.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)已知集合P={x|x=2n,0≤n≤2且n∈N};
(2)拋物線y=x2-2x與x軸的公共點的集合;
(3)直線y=x上去掉原點的點的集合.
解:(1)列舉法:P={0,2,4}.
(2)描述法:.
或列舉法:{(0,0),(2,0)}.
集合表示法的綜合應(yīng)用
(3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.
[例3] (1)若集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一個元素,則a=( )
A.1 B.2
C.0 D.0或1
(2)設(shè)∈,則集合中所有元素之積為________.
[解析] (1)當a=0時,原方程變?yōu)?x+1=0,
此時x=-,符合題意;
當a≠0時,方程ax2+2x+1=0為一元二次方程,
Δ=4-4a=0,即a=1,原方程的解為x=-1,符合題意.
故當a=0或a=1時,原方程只有一個解,此時A中只有一個元素.
(2)因為∈,
所以2-a-=0,
解得:a=-,
當a=-時,方程x2-x+=0的判別式Δ=2-4=>0,
所以集合的所有元素的積為方程的兩根之積等于.
[答案] (1)D (2)
解答此類問題的策略
(1)若已知集合是用描述法給出的,讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵.
(2)若已知集合是用列舉法給出的,整體把握元素的共同特征是解題的關(guān)鍵.
[活學活用]
5.已知集合A={x|x2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值.
解:由A={2,3}知,方程x2-ax+b=0的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系得,因此a=5,b=6.
6.設(shè)集合B=.
試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系;
用列舉法表示集合B.
解:(1)當x=1時,=2∈N.
當x=2時,=?N.所以1∈B,2?B.
(2)∵∈N,x∈N,∴2+x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B={0,1,4}.
集合含義的再認識
[例4] 用描述法表示拋物線y=x2+1上的點構(gòu)成的集合.
[解] 拋物線y=x2+1上的點構(gòu)成的集合可表示為:{(x,y)|y=x2+1}.
[一題多變]
1.[變條件,變設(shè)問]本題中點的集合若改為“{x|y=x2+1}”,則集合中的元素是什么?
解:集合{x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,
所以{x|y=x2+1}中的元素是全體實數(shù).
2.[變條件,變設(shè)問]本題中點的集合若改為“{y|y=x2+1}”,則集合中的元素是什么?
解:集合{y|y=x2+1}的代表元素是y,滿足條件y=x2+1的y的取值范圍是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1},所以集合中的元素是大于等于1的全體實數(shù).
識別集合含義的2個步驟
(1)一看代表元素:例如{x|p(x)}表示數(shù)集,{(x,y)|y=p(x)}表示點集.
(2)二看條件:即看代表元素滿足什么條件(公共特性).
層級一 學業(yè)水平達標
1.已知M中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長,則此三角形一定不是( )
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
解析:選D 集合M的三個元素是互不相同的,所以作為某一個三角形的邊長,三邊是互不相等的,故選D.
2.下列集合中,不同于另外三個集合的是( )
A.{x|x=1} B.{x|x2=1}
C.{1} D.{y|(y-1)2=0}
解析:選B {x|x2=1}={-1,1},另外三個集合都是{1},選B.
3.已知M={x|x-1<},那么( )
A.2∈M,-2∈M B.2∈M,-2?M
C.2?M,-2?M D.2?M,-2∈M
解析:選A 若x=2,則x-1=1<,所以2∈M;若x=-2,則x-1=-3<,所以-2∈M.故選A.
4.下列集合的表示方法正確的是( )
A.第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}
B.不等式x-1<4的解集為{x<5}
C.{全體整數(shù)}
D.實數(shù)集可表示為R
解析:選D 選項A中應(yīng)是xy<0;選項B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的規(guī)范格式,缺少了豎線和豎線前面的代表元素x;選項C的“{}”與“全體”意思重復(fù).
5.方程組的解集是( )
A.(-5,4) B.(5,-4)
C.{(-5,4)} D.{(5,-4)}
解析:選D 解方程組得故解集為{(5,-4)},選D.
6.設(shè)集合A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若A,B相等,則實數(shù)a=________.
解析:由集合相等的概念得解得a=1.
答案:1
7.設(shè)-5∈{x|x2-ax-5=0},則集合{x|x2+ax+3=0}=________.
解析:由題意知,-5是方程x2-ax-5=0的一個根,
所以(-5)2+5a-5=0,得a=-4,
則方程x2+ax+3=0,即x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3,
所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}.
答案:{1,3}
8.若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列舉法表示集合B為________.
解析:由題意可知集合B是由A中元素的平方構(gòu)成的,故B={4,9,16}.
答案:{4,9,16}
9.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?
(1)一年中有31天的月份的全體;
(2)由直線y=-x+4上的橫坐標和縱坐標都是自然數(shù)的點組成的集合.
解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.
(2)用描述法表示該集合為M={(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N},或用列舉法表示該集合為{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.
10.含有三個實數(shù)的集合A=,若0∈A且1∈A,求a2 016+b2 016的值.
解:由0∈A,“0不能做分母”可知a≠0,故a2≠0,所以=0,即b=0.
又1∈A,可知a2=1或a=1.
當a=1時,得a2=1,由集合元素的互異性,知a=1不合題意.
當a2=1時,得a=-1或a=1(由集合元素的互異性,舍去).
故a=-1,b=0,所以a2 016+b2 016的值為1.
層級二 應(yīng)試能力達標
1.下列命題中正確的是( )
A.集合{x|x2=1,x∈R}中有兩個元素
B.集合{0}中沒有元素
C.∈{x|x<2}
D.{1,2}與{2,1}是不同的集合
解析:選A {x|x2=1,x∈R}={1,-1};集合{0}是單元素集,有一個元素,這個元素是0;{x|x<2}={x|x<},>,所以?{x|x<2};根據(jù)集合中元素的無序性可知{1,2}與{2,1}是同一個集合.
2.已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1、x2∈A,x3∈B,則下列判斷不正確的是( )
A.x1x2∈A B.x2x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
解析:選D 集合A表示奇數(shù)集,B表示偶數(shù)集,
∴x1,x2是奇數(shù),x3是偶數(shù),
∴x1+x2+x3應(yīng)為偶數(shù),即D是錯誤的.
3.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).選項中元素與集合的關(guān)系都正確的是( )
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
解析:選C 集合A中元素y是實數(shù),不是點,故選項B,D不對.集合B的元素(x,y)是點而不是實數(shù),2∈B不正確,所以A錯.
4.定義P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1,2,3},則P*Q中元素的個數(shù)是( )
A.6個 B.7個
C.8個 D.9個
解析:選A 若a=0,則ab=0;若a=1,則ab=1,2,3;若a=2,則ab=2,4,6.故P*Q={0,1,2,3,4,6},共6個元素.
5.已知A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},用列舉法表示A為________.
解析:∵x+y=6,x∈N,y∈N,
∴x=6-y∈N,
∴
∴A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.
答案:{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
6.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},若(x0,y0)∈A,(x0,y0)∈B,則(x0,y0)的值為________.
解析:由題意知,(x0,y0)∈A,(x0,y0)∈B,所以(x0,y0)是方程組的解,解得
答案:(2,5)
7.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一個元素,求實數(shù)a的取值范圍.
解:當a=0時,A=;
當a≠0時,關(guān)于x的方程ax2-3x-4=0應(yīng)有兩個相等的實數(shù)根或無實數(shù)根,
所以Δ=9+16a≤0,即a≤-.
故所求的a的取值范圍是a≤-或a=0.
8.已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},若1∈A,求實數(shù)a的值.
解:①若a+3=1,則a=-2,
此時A={1,1,2},不符合集合中元素的互異性,舍去.
②若(a+1)2=1,則a=0或a=-2.
當a=0時,A={3,1,2},滿足題意;
當a=-2時,由①知不符合條件,故舍去.
③若a2+2a+2=1,則a=-1,
此時A={2,0,1},滿足題意.
綜上所述,實數(shù)a的值為-1或0.
1.1.2 集合間的基本關(guān)系
預(yù)習課本P6~7,思考并完成以下問題
[預(yù)習導(dǎo)入]
(1)集合與集合之間有什么關(guān)系?怎樣表示集合間這些關(guān)系?
(2)集合的子集指什么?真子集又是什么?如何用符號表示?
(3)空集是什么樣的集合?空集和其他集合間具有什么關(guān)系?
1.子集的概念
定義
一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,我們就說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合A為集合B的子集
記法
與讀法
記作A?B(或B?A),讀作“A含于B”(或“B包含A”)
圖示
結(jié)論
(1)任何一個集合是它本身的子集,即A?A.
(2)對于集合A,B,C,若A?B,且B?C,則A?C
[點睛] “A是B的子集”的含義是:集合A中的任何一個元素都是集合B的元素,即任意x∈A都能推出x∈B.
2.集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此時,集合A與集合B中的元素是一樣的,因此,集合A與集合B相等,記作A=B.
[點睛] (1)若A?B,又B?A,則A=B;反之,如果A=B,則A?B,且B?A.
(2)若兩集合相等,則兩集合所含元素完全相同,與元素排列順序無關(guān).
3.真子集的概念
定義
如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,我們稱集合A是集合B的真子集
記法
記作AB(或BA)
圖示
結(jié)論
(1)AB且BC,則AC;
(2)A?B且A≠B,則AB
[點睛] 在真子集的定義中,AB首先要滿足A?B,其次至少有一個x∈B,但x?A.
4.空集的概念
定義
我們把不含任何元素的集合,叫做空集
記法
?
規(guī)定
空集是任何集合的子集,即??A
特性
(1)空集只有一個子集,即它的本身,???
(2)A≠?,則?A
1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”)
(1)空集中只有元素0,而無其余元素.( )
(2)任何一個集合都有子集.( )
(3)若A=B,則A?B.( )
(4)空集是任何集合的真子集.( )
答案:(1) (2)√ (3)√ (4)
2.設(shè)集合M={1,2,3},N={1},則下列關(guān)系正確的是( )
A.N∈M B.N?M
C.N?M D.N?M
答案:D
3.下列四個集合中,是空集的為( )
A.{0} B.{x|x>8,且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}
答案:B
4.設(shè)a∈R,若集合{2,9}={1-a,9},則a=________.
答案:-1
集合間關(guān)系的判斷
[例1] 指出下列各對集合之間的關(guān)系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.
(2)A={x|-12m-1,即m<-5.
當B≠?時,
即m∈?.
故實數(shù)m的取值范圍是{m|m<-5}.
2.[變條件]本例若將集合A,B分別改為A={3,m2},B={-1,3,2m-1},其他條件不變,求實數(shù)m的值.
解:因為A?B,所以m2=2m-1,即(m-1)2=0,所以m=1,當m=1時,B={-1,3,1},A={3,1}滿足A?B.
由集合間的關(guān)系求參數(shù)的2種方法
(1)當集合為不連續(xù)數(shù)集時,常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義,建立方程求解,此時應(yīng)注意分類討論思想的運用;
(2)當集合為連續(xù)數(shù)集時,常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解,此時應(yīng)注意端點處是實點還是虛點.
層級一 學業(yè)水平達標
1.已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1},且A=B,則實數(shù)m等于( )
A.2 B.-1
C.2或-1 D.4
解析:選C ∵A=B,∴m2-m=2,∴m=2或m=-1.
2.已知集合A={x|-1-x<0},則下列各式正確的是( )
A.0?A B.{0}∈A
C.?∈A D.{0}?A
解析:選D 集合A={x|-1-x<0}={x|x>-1},所以0∈A,{0}?A,??A,D正確.
3.已知集合A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},則( )
A.A?B B.C?B
C.D?C D.A?D
解析:選B 由已知x是正方形,則x必是矩形,所以C?B,故選B.
4.已知集合P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若Q?P,則a的值是( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.0,1或-1
解析:選D 由題意,當Q為空集時,a=0;當Q不是空集時,由Q?P,a=1或a=-1.
5.已知集合A?{0,1,2},且集合A中至少含有一個偶數(shù),則這樣的集合A的個數(shù)為( )
A.6 B.5
C.4 D.3
解析:選A 集合{0,1,2}的子集為:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶數(shù)的集合有6個.故選A.
6.集合{(1,2),(-3,4)}的所有非空真子集是____________________.
解析:{(1,2),(-3,4)}的所有真子集有?,{(1,2)},{(-3,4)},其非空真子集是{(1,2)},{(-3,4)}.
答案:{(1,2)},{(-3,4)}
7.設(shè)x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,則A,B的關(guān)系是________.
解析:因為B=={(x,y)|y=x,且x≠0},故BA.
答案:BA
8.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x2.
(2)若B?A,由圖可知,1≤a≤2.
10.設(shè)集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且BA,求a的值.
解:∵BA,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a.
(1)當a2-a+1=3時,解得a=-1或a=2.
經(jīng)檢驗,滿足題意.
(2)當a2-a+1=a時,解得a=1,此時集合A中的元素1重復(fù),故a=1不合題意.
綜上所述,a=-1或a=2為所求.
層級二 應(yīng)試能力達標
1.設(shè)集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,則2x+y等于( )
A.0 B.1
C.2 D.-1
解析:選C 由A=B,得x=0或y=0.
當x=0時,x2=0,此時B={0,0},不滿足集合中元素的互異性,舍去;
當y=0時,x=x2,則x=0或x=1.由上知x=0不合適,故y=0,x=1,則2x+y=2.
2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|03},B={x∈R|a≤x≤2a-1},若B?A,求實數(shù)a的取值范圍.
解:∵B?A,
∴B的可能情況有B≠?和B=?兩種.
①當B≠?時,
∵B?A,∴或成立,
解得a>3;
②當B=?時,由a>2a-1,得a<1.
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是{a|a<1或a>3}.
8.設(shè)集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1-2時,
B={x|m-1
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