2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題30 小題不小——比較大小.doc
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專題30 小題不小-比較大小【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 高考命題中,常常在選擇題或填空題中出現(xiàn)一類比較大小的問(wèn)題,往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起,進(jìn)行排序.這類問(wèn)題的解法往往可以從代數(shù)和幾何兩方面加以探尋,即利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解答.本專題以一些典型例題來(lái)說(shuō)明此類問(wèn)題的方法與技巧.(一)常用技巧和方法1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)?八字真言“同區(qū)間正,異區(qū)間負(fù)”,容我慢慢道來(lái):判斷對(duì)數(shù)的符號(hào),關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù),區(qū)間分為和(1)如果底數(shù)和真數(shù)均在中,或者均在中,那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù)(2)如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中,一個(gè)在中,那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù)例如:等2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖象觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)(如0,1)的大小關(guān)系,一作圖,自明了3、比較大小的兩個(gè)理念:(1)求同存異:如果兩個(gè)指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同,則可通過(guò)真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的關(guān)系,所以要熟練運(yùn)用公式,盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況例如:,比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化,盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底,但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤?,從而只需比較底數(shù)的大小即可 (2)利用特殊值作“中間量”:在指對(duì)數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“-1,0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比較,有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍,各個(gè)擊破”,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì),例如,可知,進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù),從而便于比較4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式:(1) (2) (3) (4)換底公式: 進(jìn)而有兩個(gè)推論: (令) (二)利用函數(shù)單調(diào)性比較大小1、函數(shù)單調(diào)性的作用:在單調(diào)遞增,則(在單調(diào)區(qū)間內(nèi),單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁)2、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:(1)(2)3、常見(jiàn)描述單調(diào)性的形式(1)導(dǎo)數(shù)形式:?jiǎn)握{(diào)遞增;單調(diào)遞減(2)定義形式:或:表示函數(shù)值的差與對(duì)應(yīng)自變量的差同號(hào),則說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞增,若異號(hào)則說(shuō)明函數(shù)單調(diào)遞減4、技巧與方法:(1)此類問(wèn)題往往條件比較零散,不易尋找入手點(diǎn).所以處理這類問(wèn)題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析.在草稿紙上列出條件能夠提供什么,也列出要得出結(jié)論需要什么.兩者對(duì)接通常可以確定入手點(diǎn)(2)在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想,例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù).在構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整(3)在比較大小時(shí),通??衫煤瘮?shù)性質(zhì)(對(duì)稱性,周期性)將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進(jìn)行比較(三)數(shù)形結(jié)合比較大小1、對(duì)稱性與單調(diào)性:若已知單調(diào)性與對(duì)稱性,則可通過(guò)作出草圖觀察得到諸如“距軸越近,函數(shù)值越”的結(jié)論,從而只需比較自變量與坐標(biāo)軸的距離,即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系(1)若關(guān)于軸對(duì)稱,且單調(diào)增,則圖象可能以下三種情況,可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn):自變量距離軸越近,其函數(shù)值越?。?)若關(guān)于軸對(duì)稱,且單調(diào)減,則圖象可能以下三種情況,可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn):自變量距離軸越近,其函數(shù)值越大2、函數(shù)的交點(diǎn):如果所比較的自變量是一些方程的解,則可將方程的根視為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).抓住共同的函數(shù)作為突破口,將其余函數(shù)的圖象作在同一坐標(biāo)系下,觀察交點(diǎn)的位置即可判斷出自變量的大小.【經(jīng)典例題】例1.【2017課標(biāo)1,理11】設(shè)x、y、z為正數(shù),且,則( )A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2xbc B. acb C. cba D. cab【答案】D【解析】分析:借助于中間值1和0,利用各實(shí)數(shù)的范圍可比較大小.詳解:a=2-13(0,1),b=log2131,cab,故選D.點(diǎn)睛:比較大小常用的方法有:(1)作差法(作商法);(2)利用函數(shù)單調(diào)性比較大??;(3)借助中間變量比較大小. 例5.【2018年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三模擬】函數(shù)fx=ex+e-xex-e-x,若a=f-12,b=fln2,c=fln13,則有( )A. cba B. bac C. cab D. bca【答案】D【解析】分析:首先分離常數(shù)得出fx=1+2e2x-1,可判斷出fx在-,0上單調(diào)遞減,且x0時(shí),fx0,x0時(shí),fx0,a,c-ln3,-12ln13,fx在-,0上單調(diào)遞減,f-12a, bca,故選D.點(diǎn)睛:本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題,屬于難題.解答比較大小問(wèn)題,常見(jiàn)思路有兩個(gè):一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間(一般是看三個(gè)區(qū)間-,0,0,1,1,+ );二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答;數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以兩種方法綜合應(yīng)用例6.【2018屆天津市十二校二模】已知定義在R上的函數(shù)fx=x+cosx,則三個(gè)數(shù)a=f7log314,b=f17log1295,c=f1,則a,b,c之間的大小關(guān)系是( )A. acb B. abc C. bca D. cba【答案】C由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得07log3141,由log1295=-log2951,所以7log3141ca,故選C.例7【2018屆華大新高考聯(lián)盟4月檢測(cè)】已知fx為定義在 R上的偶函數(shù),且fx+2=fx,當(dāng)x0,1時(shí),fx=2x+1,記a=flog0.56,b=flog27,c=f8,則a,b,c的大小關(guān)系為( )A. abc B. acbC. cba D. cabc B. bac C. cba D. cab【答案】D【解析】fx=lnx2+1-xf(x)=ln(x2+1-x)=ln1x2+1+xf(-x)=ln(x2+1+x)當(dāng)x0時(shí),x2+1+x1;當(dāng)x0時(shí),0x2+1+x0時(shí),f(x)=ln(x2+1-x)=-ln(x2+1-x)=ln(x2+1+x),f(-x)=ln(x2+1+x);當(dāng)xab故選D.例10.【2018屆安徽省六安市第一中學(xué)三?!吭O(shè)fx是函數(shù)fxxR的導(dǎo)數(shù),且滿足xfx-2fx0,若A、B、C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角,則()A. fsinAsin2BfsinBsin2A B. fsinAsin2BfsinBcos2A D. fcosAsin2B0,則有h(x)0, 則函數(shù)fx在(0,+) 上為增函數(shù),若ABC 是銳角三角形,則有A+B2, 即2A2-B0, 即有sinAcosB 或cosAsinB, 故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)h(x)并分析其單調(diào)性【精選精練】1.【2018屆北京市海淀區(qū)二?!恳阎獂y0,則( )A. 1x1y B. (12)x(12)y C. cosxcosy D. ln(x+1)ln(y+1)【答案】D【解析】分析:取x=2,y=1,利用排除法,逐一排除即可的結(jié)果.詳解:因?yàn)閤=2,y=1時(shí),1x1y , (12)x(12)y , cosxa B. cab C. acb D. cab【答案】A故選A3.【2017年高考山東卷】若ab0,且ab=1,則下列不等式成立的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)椋?,所?,所以選B.4【2018屆廣東省中山市第一中學(xué)高三第一次統(tǒng)測(cè)】實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知, , ,即, , ,故選C.5【2018屆福建省龍巖市4月檢查】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)對(duì)于0,+)上任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)x1和x2,f(x)都滿足f(x2)-f(x1)x1-x20,若a=f(0),b=f(log0.23),c=f(log25),則a,b,c的大小關(guān)系為( )A. cba B. cab C. acb D. abbc B. bac C. acb D. cab【答案】A【解析】此題可采用特值法,(2,34),故可取=23,此時(shí)a=sin=32,b=cos=-12,c=tan=-3,即abc成立,故選A.8.【2018年4月8日 每周一測(cè)】已知函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí), ,設(shè), , ,則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:先判斷出在上為增函數(shù),由奇偶性可得 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到、的范圍,可比較其大小,利用單調(diào)性可得結(jié)果.由單調(diào)性可得,故選A.9【2018屆福建省閩侯第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)】記A=cos12,B=cos32,C=sin32-sin12, 則A,B,C的大小關(guān)系是( )A. ABC B. ACB C. BAC D. CBA 【答案】B【解析】A-C=cos12-sin32+sin12=2sin(12+4)-sin32,412+41,2sin(12+4)-sin320,即AC,B-C=cos32-sin32+sin12=sin12-2sin(32-4),12-32+4=-1+40,1232-4,0122,032-42,sin12sin(32-4)2sin(32-4),sin12-2sin(32-4)0,即BCB.本題選擇B選項(xiàng).10【2018屆湖北省荊州中學(xué)高三第二次月考】已知 ,則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】令, , ,令在R上單調(diào)遞減,所以,即ac,又因?yàn)?,在?,1)上單調(diào)遞增,所以,即ab,所以,選D.11.【2018屆天津市9校聯(lián)考】定義在上的奇函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí), ,設(shè), , ,則( )A. B. C. D. 【答案】A又,且在上單調(diào)遞增,即故選:A點(diǎn)睛:點(diǎn)睛:利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小,一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同,底數(shù)相同,考慮指數(shù)函數(shù)增減性,指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性,當(dāng)都不相同時(shí),考慮分析數(shù)或式子的大致范圍,來(lái)進(jìn)行比較大小,另一方面注意特殊值的應(yīng)用,有時(shí)候要借助其“橋梁”作用,來(lái)比較大小12.【2018屆重慶市巴蜀中學(xué)月考七】已知f(x)= sin(x+ )cos(x+ )+ (x+ )- (|),若f(0)= ,a=f(),b=f(),c=f(),則( )A. acb B. abc C. cab D. cba【答案】B【解析】 由題意得, 選B- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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