高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc

《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.數(shù)學(xué)歸納法一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有_公理：如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值_時(shí)結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)_(kN*，且kn0)時(shí)_，證明當(dāng)_時(shí)結(jié)論也正確那么，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立預(yù)習(xí)交流1做一做：用數(shù)學(xué)歸納法證明123n(nN*)，從k到k1時(shí)，左端增加的式子為_預(yù)習(xí)交流2用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意哪些步驟？在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注？請(qǐng)?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)答案：預(yù)習(xí)導(dǎo)引數(shù)學(xué)歸納法(1)n0(例如n01,2等)(2)nk結(jié)論正確nk1預(yù)習(xí)交流1：提示：k1預(yù)習(xí)交流2：提示：兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)，就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論因?yàn)閱慰坎襟E(1)無法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無法判定同樣，只有步驟(2)而缺少步驟(1)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在于第二步，即nk1時(shí)為什么成立nk1時(shí)成立是利用假設(shè)nk時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出nk1時(shí)成立，而不是直接代入，否則nk1時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都可用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析一、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式證明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)要注意等式兩邊的項(xiàng)數(shù)隨n怎樣變化，即由nk到nk1時(shí)，左右兩邊各增添哪些項(xiàng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：.可用數(shù)學(xué)歸納法來證明關(guān)于自然數(shù)n的恒等式，證明時(shí)兩步缺一不可，第一步必須驗(yàn)證，證明nk1時(shí)成立，必須用到假設(shè)nk成立的結(jié)論二、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成f(n)n2n2個(gè)部分思路分析：由k到k1時(shí)，研究第k1個(gè)圓與其他k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n)n(n3)(n4)(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式，然后加以證明，探索的方法是由特殊猜出一般結(jié)論(2)關(guān)鍵步驟的證明可以先用f(k1)f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明(3)幾何問題的證明一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意要有必要的文字說明三、歸納猜想證明已知等差數(shù)列an，等比數(shù)列bn，且a1b1，a2b2(a1a2)，an0(nN*)(1)比較a3與b3，a4與b4的大小，并猜想an與bn(n3)的大小關(guān)系；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性思路分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)注意由nk到nk1時(shí)的變化情況，增加哪些項(xiàng)是難點(diǎn)，注意觀察尋找規(guī)律數(shù)列an滿足Sn2nan，nN*.(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想觀察、歸納、猜想、證明是一個(gè)完整的思維過程，既需要探求和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又需要證明所得結(jié)論的正確性，是一種十分重要的思維方法觀察特殊事例時(shí)要細(xì)，要注意所研討特殊事例的特征及相互關(guān)系，關(guān)系不明時(shí)應(yīng)適當(dāng)變形，由觀察、歸納、猜想得到的結(jié)論，可能是正確的也可能是錯(cuò)誤的，需要由數(shù)學(xué)歸納法證明1設(shè)f(n)1，則f(k1)f(k)_.2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(nN*，a1)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為_3已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和為Sn，計(jì)算得S1，S2，S3，由此可猜測(cè)Sn_.4平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)，則增加一條直線后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為_5求證：(n2，nN*)提示：用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記.知識(shí)精華技能要領(lǐng)答案：活動(dòng)與探究1：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊12223，右邊1(211)3，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)成立則當(dāng)nk1時(shí)，左邊12223242(2k1)2(2k)22(k1)122(k1)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1)2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1右邊，當(dāng)nk1時(shí)，等式成立由(1)(2)可知對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立遷移與應(yīng)用：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)一切nN*，等式成立活動(dòng)與探究2：證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，即一個(gè)圓把平面分成2個(gè)部分f(1)2，又n1時(shí)，n2n22，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分，那么設(shè)第k1個(gè)圓記作O，由題意，它與k個(gè)圓中每個(gè)圓交于兩點(diǎn)，又無三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其他k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn)把O分成2k條弧，而每條弧把原區(qū)域分成2部分，因此這個(gè)平面的總區(qū)域增加2k個(gè)部分，即f(k1)k2k22k(k1)2(k1)2.即nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)任何nN*命題均成立遷移與應(yīng)用：證明：(1)當(dāng)n4時(shí)，f(4)4(43)2，四邊形有兩條對(duì)角線，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(k)k(k3)(k4)，當(dāng)nk1時(shí)，凸k1邊形是在k邊形基礎(chǔ)上增加了一邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)Ak1，增加的對(duì)角線是以頂點(diǎn)Ak1為一個(gè)端點(diǎn)的所有對(duì)角線，再加上原k邊形的一邊A1Ak，共增加的對(duì)角線條數(shù)(k13)1k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3，故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)(2)可知，對(duì)于n4，nN*命題都成立活動(dòng)與探究3：(1)解：設(shè)a1b1a，公差為d，公比為q，由a2b2，得adaq.a1a2，an0，a0，d0.由，得daqa，q11.b3a3aq2(a2d)aq2a2a(q1)a(q1)20.b3a3.b4a4aq3(a3d)a(q1)(q2q2)a(q1)2(q2)0，b4a4.猜想出bnan(n3，nN*)(2)證明：當(dāng)n3時(shí)，由(1)可知已證得b3a3，n3時(shí)猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(nN*，k3)時(shí)，bkak成立則當(dāng)nk1時(shí)，bk1bkq，ak1akd，bk1ak1bkqakdbkakd(bkak)d(bkak).q11，且b1a0，bn為遞增數(shù)列bka.bka0.又bkak0，(bkak)0.bk1ak10.bk1ak1.nk1時(shí)，猜想也成立由和可知，對(duì)于nN*，n3猜想成立遷移與應(yīng)用：(1)解：當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，a1a2S222a2，a2.當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S323a3，a3.當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.這表明nk1時(shí)，結(jié)論成立，an.當(dāng)堂檢測(cè)121aa234.f(k)k5證明：(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)命題成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對(duì)一切n2，nN*均成立