中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 解答重難點(diǎn)題型突破 題型六 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題試題.doc

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題型六　二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 類型一　二次函數(shù)與圖形判定 1．(xx陜西)在同一直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2－2x－3與拋物線C2：y＝x2＋mx＋n關(guān)于y軸對(duì)稱，C2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)． (1)求拋物線C1，C2的函數(shù)表達(dá)式； (2)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)在拋物線C1上是否存在一點(diǎn)P，在拋物線C2上是否存在一點(diǎn)Q，使得以AB為邊，且以A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2．(xx隨州)在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y＝ax－a為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”． 已知拋物線y＝－x2－x＋2與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C. (1)填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為__________，點(diǎn)A的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________； (2)如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)； (3)當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (xx許昌模擬)已知：如圖，拋物線y＝ax2－2ax＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)． (1)求該拋物線的解析式； (2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； (3)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)．問(wèn)：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 4．(xx河南)如圖①，直線y＝－x＋n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，4)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，－2)．點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PD于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m. (1)求拋物線的解析式； (2)當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，求線段PD的長(zhǎng)； (3)如圖②，將△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠OAC，當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 　　　　　　　　 類型二　二次函數(shù)與圖形面積 1．(xx鹽城)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)； ①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值； ②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得△CDF中的某個(gè)角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 2．(xx安順)如圖甲，直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P. (1)求該拋物線的解析式； (2)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值(圖乙、丙供畫圖探究). 3．(xx周口模擬)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且其對(duì)稱軸l為x＝－1，點(diǎn)P是拋物線上B，C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合)． (1)直接寫出拋物線的解析式； (2)小唐探究點(diǎn)P的位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上時(shí)，存在PB⊥NB，且PB＝NB的關(guān)系，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)是否存在點(diǎn)P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出四邊形PBAC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 4．(xx濮陽(yáng)模擬)如圖①，已知拋物線y＝ax2＋bx－3的對(duì)稱軸為x＝1，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝x＋1經(jīng)過(guò)A，且與y軸交于點(diǎn)D. (1)求該拋物線的解析式． (2)如圖②，點(diǎn)P為拋物線B、C兩點(diǎn)間部分上的任意一點(diǎn)(不含B，C兩點(diǎn))，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，設(shè)四邊形DCPB的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并確定t為何值時(shí)，S取最大值？最大值是多少？ (3)如圖③，將△ODB沿直線y＝x＋1平移得到△O′D′B′，設(shè)O′B′與拋物線交于點(diǎn)E，連接ED′，若ED′恰好將△O′D′B′的面積分為1∶2兩部分，請(qǐng)直接寫出此時(shí)平移的距離． 類型三　二次函數(shù)與線段問(wèn)題 1．(xx南寧)如圖，已知拋物線y＝ax2－2ax－9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C(0，3)，∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N. (1)直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸； (2)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，＋均為定值，并求出該定值． 2．(xx焦作模擬)如圖①，直線y＝x＋m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0，－1)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4. (1)請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式； (2)如圖②，點(diǎn)D在拋物線上，DE∥y軸交直線AB于點(diǎn)E，且四邊形DFEG為矩形，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x(0＜x＜4)，矩形DFEG的周長(zhǎng)為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式以及l(fā)的最大值； (3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90或180，得到△A1O1B1，點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo). 3．(xx武漢)已知點(diǎn)A(－1，1)，B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx上． (1)求拋物線的解析式； (2)如圖①，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)(m＞2)，直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FH∥AE； (3)如圖②，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM＝2PM，直接寫出t的值. 類型四　二次函數(shù)與三角形相似 1．(xx南寧)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A(1，1)，且與直線y＝x－2交于B，C兩點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)求證：△ABC是直角三角形； (3)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2．(xx平頂山模擬)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋1與直線y＝－ax＋c相交于坐標(biāo)軸上點(diǎn)A(－3，0)，C(0，1)兩點(diǎn)． (1)直線的表達(dá)式為__________；拋物線的表達(dá)式為__________； (2)D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第四象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 3．如圖①，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過(guò)A(3，0)，G(－1，0)兩點(diǎn)． (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； (2)若點(diǎn)M是拋物線在第一象限圖象上的一點(diǎn)，求△ABM面積的最大值； (3)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E(0，)作x軸的平行線，交AB于點(diǎn)F，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 4．(xx海南)拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(5，0)． (1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式； (2)該拋物線與直線y＝x＋3相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N. ①連接PC、PD，如圖①，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由； ②連接PB，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥PM，垂足為點(diǎn)Q，如圖②，是否存在點(diǎn)P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 題型六　第23題二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 類型一　二次函數(shù)與圖形判定 1．解：(1)∵C1、C2關(guān)于y軸對(duì)稱， ∴C1與C2的交點(diǎn)一定在y軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同，∴a＝1，n＝－3， ∴C1的對(duì)稱軸為x＝1， ∴C2的對(duì)稱軸為x＝－1，∴m＝2， ∴C1的函數(shù)表示式為y＝x2－2x－3，C2的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋2x－3； (2)在C2的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)； (3)存在． 設(shè)P(a，b)，則Q(a＋4，b)或(a－4，b)， ①當(dāng)Q(a＋4，b)時(shí)，得： a2－2a－3＝(a＋4)2＋2(a＋4)－3， 解得a＝－2， ∴b＝a2－2a－3＝4＋4－3＝5， ∴P1(－2，5)，Q1(2，5)． ②當(dāng)Q(a－4，b)時(shí)，得： a2－2a－3＝(a－4)2＋2(a－4)－3， 解得a＝2. ∴b＝4－4－3＝－3， ∴P2(2，－3)，Q2(－2，－3)． 綜上所述，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(－2，5)，Q1(2，5)； P2(2，－3)，Q2(－2，－3). 2．解：(1)∵拋物線y＝－x2－x＋2， ∴其夢(mèng)想直線的解析式為y＝－x＋， 聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得，解得 或， ∴A(－2，2)，B(1，0)； (2)當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形， 如解圖①，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則AD＝2， 在y＝－x2－x＋2中，令y＝0可求得x＝－3或x＝1， ∴C(－3，0)，且A(－2，2)， ∴AC＝＝， 由翻折的性質(zhì)可知AN＝AC＝， 在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3， ∵OD＝2，∴ON＝2－3或ON＝2＋3， 當(dāng)ON＝2＋3時(shí)，則MN＞OD＞CM，與MN＝CM矛盾，不合題意， ∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2－3)； 當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，則M與O重合，過(guò)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，如解圖②， 在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，∴tan∠DAM＝＝，∴∠DAM＝60， ∵AD∥x軸，∴∠AMC＝∠DAM＝60， 又由折疊可知∠NMA＝∠AMC＝60， ∴∠NMP＝60，且MN＝CM＝3， ∴MP＝MN＝，NP＝MN＝， ∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)； 綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2－3)或(，)； (3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如解圖③，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K， 則有AC∥EF且AC＝EF，∴∠ACK＝∠EFH， 在△ACK和△EFH中，， ∴△ACK≌△EFH(AAS)， ∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2， ∵拋物線對(duì)稱軸為x＝－1，∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或－2， ∵點(diǎn)F在直線AB上，∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F(0，)，此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方， ∴E到x軸的距離為EH－OF＝2－＝，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為－，∴E(－1，－)； 當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去； ②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)， ∵C(－3，0)，且A(－2，2)， ∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)， 設(shè)E(－1，t)，F(xiàn)(x，y)，則x－1＝2(－)，y＋t＝2， ∴x＝－4，y＝2－t， 代入直線AB解析式可得2－t＝－(－4)＋，解得t＝－， ∴E(－1，－)，F(xiàn)(－4，)； 綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E(－1，－)、F(0，)或E(－1，－)、F(－4，). 3．解：(1)由題意，得，解得， ∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4； (2) 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，0)，如解圖①，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G. 由－x2＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，0)，∴AB＝6，BQ＝m＋2， ∵QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，∴EG＝， ∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQCO－BQEG＝(m＋2)(4－)＝－m2＋m＋＝－(m－1)2＋3， 又∵－2≤m≤4， ∴當(dāng)m＝1時(shí)，S△CQE有最大值3，此時(shí)Q(1，0)； 　　　　 圖①　　　 　　　　　　　　圖② (3)存在．在△ODF中． (ⅰ)若DO＝DF， ∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2， 又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45， ∴∠DFA＝∠OAC＝45， ∴∠ADF＝90，此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，2)， 由－x2＋x＋4＝2， 得x1＝1＋，x2＝1－，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1＋，2)或P(1－，2)； (ⅱ)若FO＝FD，如解圖②，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M， 由等腰三角形的性質(zhì)得：OM＝MD＝1，∴AM＝3， ∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)， 由－x2＋x＋4＝3，得x1＝1＋，x2＝1－， 此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(1＋，3)或P(1－，3)； (ⅲ)若OD＝OF， ∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90， ∴AC＝4，∴點(diǎn)O到AC的距離為2，而OF＝OD＝2＜2，與OF≥2矛盾， ∴AC上不存在點(diǎn)使得OF＝OD＝2， 此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形． 綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形． 所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1＋，2)或(1－，2)或(1＋，3)或(1－，3). 4．解：(1)∵點(diǎn)C(0，4)在直線y＝－x＋n上， ∴n＝4，∴y＝－x＋4， 令y＝0，解得x＝3，∴A(3，0)， ∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B(0，－2)，∴c＝－2，6＋3b－2＝0，解得b＝－， ∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2； (2)∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在拋物線上， ∴P(m，m2－m－2)， ∵PD⊥x軸，BD⊥PD，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(m，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|m2－m－2＋2|， 當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，PD＝BD， ∴|m|＝|m2－m－2＋2|＝|m2－m|. ∴m2＝(m2－m)2，解得：m1＝0(舍去)，m2＝，m3＝， ∴當(dāng)△BDP為等腰直角三角形時(shí)，線段PD的長(zhǎng)為或； (3)∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5， ∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝， ①當(dāng)點(diǎn)P′落在x軸上時(shí)，如解圖①，過(guò)點(diǎn)D′作D′N⊥x軸，垂足為N，交BD于點(diǎn)M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′， 由旋轉(zhuǎn)知，P′D′＝PD＝m2－m， 在Rt△P′D′N中，cos∠ND′P′＝＝cos∠PBP′＝， ∴ND′＝(m2－m)， 在Rt△BD′M中，BD′＝－m，sin∠DBD′＝＝sin∠PBP′＝， ∴D′M＝－m，∴ND′－MD′＝2， ∴(m2－m)－(－m)＝2， 解得m＝(舍去)或m＝－，如解圖②， 同①的方法得，ND′＝(m2－m)，MD′＝m， ND′＋MD′＝2， ∴(m2－m)＋m＝2， ∴m＝或m＝－(舍去)， ∴P(－，)或P(，)， ②當(dāng)點(diǎn)P′落在y軸上時(shí)，如解圖③， 過(guò)點(diǎn)D′作D′M⊥x軸，交BD于M，過(guò)點(diǎn)P′作P′N⊥y軸，交MD′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N， ∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′， 同①的方法得：P′N＝(m2－m)，BM＝m， ∵P′N＝BM， ∴(m2－m)＝m， 解得m＝或m＝0(舍去)， ∴P(，)， ∴P(－，)或P(，)或P(，). 類型二　二次函數(shù)與圖形面積 1．解：(1)根據(jù)題意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)， ∴， 解得， ∴y＝－x2－x＋2； (2)①令y＝0，∴－x2－x＋2＝0， 解得x1＝－4，x2＝1，∴B(1，0)， 如解圖①，過(guò)D作DM∥y軸交AC于M，過(guò)B作BN⊥x軸交AC于N， ∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴＝＝， 設(shè)D(a，－a2－a＋2)，∴M(a，a＋2)， ∵B(1，0)，∴N(1，)，∴＝＝＝ －(a＋2)2＋； ∴當(dāng)a＝－2時(shí)，有最大值，最大值是； ②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC＝2，BC＝，AB＝5， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，∴P(－，0)， ∴PA＝PC＝PB＝，∴∠CPO＝2∠BAC， ∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝， 如解圖②，過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長(zhǎng)線于G， 情況一：∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC， ∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即＝， 令D(a，－a2－a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－a2－a， ∴＝， 解得a1＝0(舍去)，a2＝－2， ∴xD＝－2， 情況二：∠FDC＝2∠BAC， ∴tan∠FDC＝， 設(shè)FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k， ∵tan∠DGC＝＝，∴FG＝6k， ∴CG＝2k，DG＝3k，∴RC＝k，RG＝k， DR＝3k－k＝k， ∴＝＝，解得a1＝0(舍去)，a2＝－， ∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2或－. 2．解：(1)∵直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C， ∴B(3，0)，C(0，3)， 把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得， 解得， ∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3； (2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴拋物線對(duì)稱軸為x＝2，P(2，－1)， 設(shè)M(2，t)，且C(0，3)， ∴MC＝＝，MP＝|t＋1|，PC＝＝2， ∵△CPM為等腰三角形， ∴有MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三種情況， ①當(dāng)MC＝MP時(shí)，則有＝|t＋1|，解得t＝，此時(shí)M(2，)； ②當(dāng)MC＝PC時(shí)，則有＝2，解得t＝－1(與P點(diǎn)重合，舍去)或t＝7，此時(shí)M(2，7)； ③當(dāng)MP＝PC時(shí)，則有|t＋1|＝2，解得t＝－1＋2或t＝－1－2，此時(shí)M(2，－1＋2)或(2，－1－2)； 綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為(2，)或(2，7)或(2，－1＋2)或(2，－1－2)； (3)如解圖，在0＜x＜3對(duì)應(yīng)的拋物線上任取一點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D， 設(shè)E(x，x2－4x＋3)，則F(x，－x＋3)， ∵0＜x＜3， ∴EF＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x， ∴S△CBE＝S△EFC＋S△EFB＝EFOD＋EFBD＝EFOB＝3(－x2＋3x)＝－(x－)2＋， ∴當(dāng)x＝時(shí)，△CBE的面積最大，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)， 即當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)時(shí)，△CBE的面積最大. 3．解：(1)∵A(1，0)，對(duì)稱軸l為x＝－1，∴B(－3，0)， ∴，解得， ∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3； (2)如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M， 設(shè)拋物線對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)Q. ∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90， ∴∠PBM＋∠NBQ＝90. ∵∠PMB＝90，∴∠PBM＋∠BPM＝90， ∴∠BPM＝∠NBQ. 又∵∠BMP＝∠BQN＝90，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ，∴PM＝BQ. ∵拋物線y＝x2＋2x－3與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，且對(duì)稱軸為x＝－1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－1，0)， ∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2. ∵點(diǎn)P是拋物線y＝x2＋2x－3上B、C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ∴結(jié)合圖象可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－2， 將y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3， 解得x1＝－1－，x2＝－1＋(舍去)， ∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1－，－2)； (3) 存在． 如解圖②，連接AC，PC. 可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)(－3＜x＜0)，則y＝x2＋2x－3， ∵點(diǎn)A(1，0)，∴OA＝1. ∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴令x＝0，得y＝－3，即點(diǎn)C(0，－3)，∴OC＝3. 由(2)可知S四邊形PBAC＝S△BPM＋S四邊形PMOC＋S△AOC＝BMPM＋(PM＋OC)OM＋OAOC＝(x＋3)(－y)＋(－y＋3)(－x)＋13＝－y－x＋， 將y＝x2＋2x－3代入可得S四邊形PBAC＝－(x2＋2x－3)－x＋＝－(x＋)2＋. ∵－＜0，－3＜x＜0， ∴當(dāng)x＝－時(shí)，S四邊形PBAC有最大值，此時(shí)，y＝x2＋2x－3＝－. ∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，－)時(shí)，四邊形PBAC的面積最大，最大值為. 4．解：(1)把y＝0代入直線的解析式得x＋1＝0，解得x＝－1，∴A(－1，0)． ∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，∴B的坐標(biāo)為(3，0)． 將x＝0代入拋物線的解析式得y＝－3，∴C(0，－3)． 設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，將C(0，－3)代入得－3a＝－3，解得a＝1， ∴拋物線的解析式為y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3； (2)如解圖①，連接OP. 將x＝0代入直線AD的解析式得y＝1，∴OD＝1. 由題意可知P(t，t2－2t－3)． ∵S四邊形DCPB＝S△ODB＋S△OBP＋S△OCP， ∴S＝31＋3(－t2＋2t＋3)＋3t，整理得S＝－t2＋t＋6， 配方得：S＝－(t－)2＋， ∴當(dāng)t＝時(shí)，S取得最大值，最大值為； (3)如解圖②，設(shè)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(a，a＋1)，O′(a，a)． 當(dāng)△D′O′E的面積∶△D′EB′的面積＝1∶2時(shí)，則O′E∶EB′＝1∶2. ∵O′B′＝OB＝3，∴O′E＝1， ∴E(a＋1，a)． 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得(a＋1)2－2(a＋1)－3＝a，整理得：a2－a－4＝0，解得a＝或a＝， ∴O′的坐標(biāo)為(，)或(，)， ∴OO′＝或OO′＝， ∴△DOB平移的距離為或， 當(dāng)△D′O′E的面積∶△D′EB′的面積＝2∶1時(shí)，則O′E∶EB′＝2∶1. ∵O′B′＝OB＝3，∴O′E＝2，∴E(a＋2，a)． 將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：(a＋2)2－2(a＋2)－3＝a，整理得：a2＋a－3＝0，解得a＝或a＝. ∴O′的坐標(biāo)為(，)或(，)． ∴OO′＝或OO′＝. ∴△DOB平移的距離為或. 綜上所述，當(dāng)△D′O′B′沿DA方向平移或單位長(zhǎng)度，或沿AD方向平移或個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，ED′恰好將△O′D′B′的面積分為1∶2兩部分. 類型三　二次函數(shù)與線段問(wèn)題 1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a＝3，解得a＝－. 令y＝0，得ax2－2ax－9a＝0， ∵a≠0，∴x2－2x－9＝0，解得x＝－或x＝3. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)， ∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝； (2)解：∵OA＝，OC＝3， ∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60. ∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO＝30， ∴DO＝AO＝1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，a)． ∴AD2＝4，AP2＝12＋a2，DP2＝3＋(a－1)2. 當(dāng)AD＝PA時(shí)，4＝12＋a2，方程無(wú)解． 當(dāng)AD＝DP時(shí)，4＝3＋(a－1)2，解得a＝0或a＝2， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)或(，2)． 當(dāng)AP＝DP時(shí)，12＋a2＝3＋(a－1)2，解得a＝－4. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－4)． 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)或(，－4)或(，2); (3)證明：設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得－m＋3＝0，解得m＝， ∴直線AC的解析式為y＝x＋3. 設(shè)直線MN的解析式為y＝kx＋1. 把y＝0代入y＝kx＋1，得kx＋1＝0，解得：x＝－， ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－，0)，∴AN＝－＋＝. 將y＝x＋3與y＝kx＋1聯(lián)立，解得x＝， ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為. 如解圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G.則AG＝＋. ∵∠MAG＝60，∠AGM＝90， ∴AM＝2AG＝＋2＝. ∴＋＝＋＝＋＝＝＝. 2．解：(1)∵直線l：y＝x＋m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，－1)，∴m＝－1， ∴直線l的解析式為y＝x－1， ∵直線l：y＝x－1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4， ∴y＝4－1＝2， ∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(4，2)和點(diǎn)B(0，－1)， ∴，解得， ∴拋物線的解析式為y＝x2－x－1； (2)令y＝0，則x－1＝0，解得x＝， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，0)，∴OA＝， 在Rt△OAB中，OB＝1，∴AB＝＝＝， ∵DE∥y軸，∴∠ABO＝∠DEF， 在矩形DFEG中，EF＝DEcos∠DEF＝DE＝DE， DF＝DEsin∠DEF＝DE＝DE， ∴l(xiāng)＝2(DF＋EF)＝2(＋)DE＝DE， ∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0＜t＜4)， ∴D(t，t2－t－1)，E(t，t－1)， ∴DE＝(t－1)－(t2－t－1)＝－t2＋2t， ∴l(xiāng)＝(－t2＋2t)＝－t2＋t， ∵l＝－(t－2)2＋，且－＜0， ∴當(dāng)t＝2時(shí)，l有最大值； (3)“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有4個(gè)，如解圖①，解圖②，解圖③，解圖④所示． 如解圖③，設(shè)A1的橫坐標(biāo)為m，則O1的橫坐標(biāo)為m＋， ∴m2－m－1＝(m＋)2－(m＋)－1， 解得m＝， 如解圖④，設(shè)A1的橫坐標(biāo)為m，則B1的橫坐標(biāo)為m＋，B1的縱坐標(biāo)比A1的縱坐標(biāo)大1， ∴m2－m－1＋1＝(m＋)2－(m＋)－1，解得m＝， ∴旋轉(zhuǎn)180時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為或. 3．(1)解：將點(diǎn)A(－1，1)，B(4，6)代入y＝ax2＋bx中， 得，解得， ∴拋物線的解析式為y＝x2－x； (2)證明：設(shè)直線AF的解析式為y＝kx＋m， 將點(diǎn)A(－1，1)代入y＝kx＋m中，即－k＋m＝1， ∴k＝m－1， ∴直線AF的解析式為y＝(m－1)x＋m. 聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組， ，解得，， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2m，2m2－m)． ∵GH⊥x軸，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2m，0)． ∵拋物線的解析式為y＝x2－x＝x(x－1)， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)． 設(shè)直線AE的解析式為y＝k1x＋b1， 將A(－1，1)，E(1，0)代入y＝k1x＋b1中，得，解得， ∴直線AE的解析式為y＝－x＋. 設(shè)直線FH的解析式為y＝k2x＋b2， 將F(0，m)、H(2m，0)代入y＝k2x＋b2中，得，解得：， ∴直線FH的解析式為y＝－x＋m.∴FH∥AE； (3)解：設(shè)直線AB的解析式為y＝k0x＋b0，將A(－1，1)，B(4，6)代入y＝k0x＋b0中， ，解得， ∴直線AB的解析式為y＝x＋2. 當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t－2，t)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，0)． 當(dāng)點(diǎn)M在線段PQ上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥x軸于點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)M作MM′⊥x軸于點(diǎn)M′，則△PQP′∽△MQM′，如解圖所示． ∵QM＝2PM， ∴＝＝， ∴QM′＝，MM′＝t， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t－，t)， 又∵點(diǎn)M在拋物線y＝x2－x上， ∴t＝(t－)2－(t－)， 解得t＝， 當(dāng)點(diǎn)M在線段QP的延長(zhǎng)線上時(shí)， 同理可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t－4，2t)， ∵點(diǎn)M在拋物線y＝x2－x上， ∴2t＝(t－4)2－(t－4)， 解得t＝. 綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒、秒、秒或秒時(shí)，QM＝2PM. 類型四　二次函數(shù)與三角形相似 1．(1)解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)， ∴設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－1)2＋1， 又∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1， ∴拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x， 聯(lián)立拋物線和直線解析式可得， 解得或， ∴B(2，0)，C(－1，－3)； (2)證明：如解圖，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于D、E兩點(diǎn)， 則AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3， ∴∠ABO＝∠CBO＝45，即∠ABC＝90， ∴△ABC是直角三角形； (3)解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N(x，0)，則M(x，－x2＋2x)， ∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|， 由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB＝，BC＝3， ∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N ∴∠MNO＝∠ABC＝90， ∴當(dāng)△MNO和△ABC相似時(shí)有＝或＝， ①當(dāng)＝時(shí)，則有＝，即|x||－x＋2|＝|x|， ∵當(dāng)x＝0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形， ∴x≠0， ∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝，解得x＝或x＝， 此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)或(，0)， ②當(dāng)＝時(shí)，則有＝，即|x||－x＋2|＝3|x|， ∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝3，解得x＝5或x＝－1， 此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)或(5，0)， 綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為(，0)或(，0)或(－1，0)或(5，0). 2．解：(1)把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y＝－ax＋c可得，解得， ∴直線的表達(dá)式為y＝x＋1， 把A點(diǎn)坐標(biāo)和a＝－代入拋物線解析式可得9(－)－3b＋1＝0，解得b＝－， ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－x＋1； (2)∵點(diǎn)D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)， ∴可設(shè)D(t，－t2－t＋1)，則F(t，t＋1)， ∴DF＝－t2－t＋1－(t＋1)＝－t2－t＝－(t＋)2＋. ∵－＜0，∴當(dāng)t＝－時(shí)，DF有最大值，最大值為，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)； (3)設(shè)P(m，－m2－m＋1)，如解圖， ∵P在第四象限，∴m＞0，－m2－m＋1＜0， ∴AN＝m＋3，PN＝m2＋m－1， ∵∠AOC＝∠ANP＝90， ∴當(dāng)以P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似時(shí)有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP， ①當(dāng)△AOC∽△PNA時(shí)，則有＝，即＝， 解得m＝－3或m＝10，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m＝－3時(shí)，m＋3＝0(舍去)， ∴m＝10，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(10，－39)； ②當(dāng)△AOC∽△ANP時(shí)，則有＝，即＝， 解得m＝2或m＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)m＝－3時(shí)，m＋3＝0(舍去)， ∴m＝2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－)； 綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為(10，－39)或(2，－). 3．解：(1)將A、G點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3； (2)如解圖①，作ME∥y軸交AB于E點(diǎn)， 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)， 直線AB的解析式為y＝－x＋3， 設(shè)M(n，－n2＋2n＋3)，E(n，－n＋3)， ME＝－n2＋2n＋3－(－n＋3)＝－n2＋3n， S△ABM＝MEAO＝(－n2＋3n)3＝－(n－)2＋， 當(dāng)n＝時(shí)，△ABM面積的最大值是； (3)存在； 理由如下：OE＝，AP＝2，OP＝1，BE＝3－＝， 當(dāng)y＝時(shí)，－x＋3＝，解得x＝，即EF＝， 將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90，得到△B′EC(如解圖②)， ∵OB⊥EF，∴點(diǎn)B′在直線EF上， ∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO－PO長(zhǎng)度， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－1)， 如解圖，過(guò)F作FQ∥B′C，交EC于點(diǎn)Q， 則△FEQ∽△B′EC，由＝＝＝， 可得Q的坐標(biāo)為(－，－)； 根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q′(－，)也符合條件. 4．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(5，0)， ∴，解得， ∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝x2－x＋3； (2)①∵點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方， ∴可設(shè)P(t，t2－t＋3)(1＜t＜5)， ∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N， ∴M(t，0)，N(t，t＋3)， ∴PN＝t＋3－(t2－t＋3)＝－(t－)2＋， 聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得， 解得或， ∴C(0，3)，D(7，)， 分別過(guò)C、D作直線PN的垂線，垂足分別為E、F，如解圖①， 則CE＝t，DF＝7－t， ∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PNCE＋PNDF＝PN＝[－(t－)2＋]＝－(t－)2＋， ∴當(dāng)t＝時(shí)，△PCD的面積最大，最大值為； ②存在． ∵∠CQN＝∠PMB＝90， ∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時(shí)，有＝或＝兩種情況， ∵CQ⊥PN，垂足為Q， ∴Q(t，3)，且C(0，3)，N(t，t＋3)， ∴CQ＝t，NQ＝t＋3－3＝t，∴＝， ∵P(t，t2－t＋3)，M(t，0)，B(5，0)， ∴BM＝5－t，PM＝0－(t2－t＋3)＝－t2＋t－3， 當(dāng)＝時(shí)，則PM＝BM，即－t2＋t－3＝(5－t)，解得t＝2或t＝5(舍去)，此時(shí)P(2，－)； 當(dāng)＝時(shí)，則BM＝PM，即5－t＝(－t2＋t－3)，解得t＝或t＝5(舍去)，此時(shí)P(，－)； 綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(2，－)或(，－).