八年級數(shù)學(xué)上冊 第15章 軸對稱圖形和等腰三角形 15.4 角的平分線 第2課時 角的平分線的判定教案 滬科版.doc

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第2課時　角的平分線的判定 ◇教學(xué)目標◇ 【知識與技能】 1.使學(xué)生掌握角平分線定理及其逆定理,培養(yǎng)學(xué)生探索知識的能力. 2.使學(xué)生了解能利用角平分線定理及其逆定理證明角或線段相等. 【過程與方法】 從事物特殊性入手,總結(jié)歸納事物的一般性.體現(xiàn)在研究問題時注意純粹性與完備性,準確、全面地思考問題. 【情感、態(tài)度與價值觀】 滲透點的集合的數(shù)學(xué)思想. ◇教學(xué)重難點◇ 【教學(xué)重點】 角平分線的性質(zhì)和判定;點到角的邊的距離要強調(diào)垂直關(guān)系. 【教學(xué)難點】 分清文字命題中的題設(shè)(已知)和結(jié)論,掌握證明題格式;把角平分線看作點的集合. ◇教學(xué)過程◇ 一、情境導(dǎo)入 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角的平分線的概念,它有什么重要性質(zhì)呢?怎樣找到這個角的平分線? (1)有一張剪好的紙片(如圖1),怎樣找到這個角的平分線?(引導(dǎo)學(xué)生回答) (2)大家知道,只要把紙片對折,使角的兩邊疊合在一起,把紙片展開后的折痕就是這個角的平分線,如圖2.如果我們把對折后的紙片繼續(xù)折一次,然后把紙片展開,就會出現(xiàn)兩條折痕,如圖3中的PM和PN,不難發(fā)現(xiàn),這兩條折痕的長相等,而且這種等長的折痕我們可以找出無數(shù)對.由此可見,角的平分線除了有平分角的性質(zhì),還有其他的性質(zhì). 二、合作探究 定理1　角平分線上的點到角兩邊的距離相等. 題設(shè):一個點在一個角的平分線上. 結(jié)論:它到角的兩邊的距離相等. 已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E. 求證:PD=PE. 證明:∵OC是∠AOB的平分線,(已知) ∴∠AOC=∠BOC.(角平分線的定義) ∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知) ∴∠PDO=∠PEO=90.(垂直的定義) 在△PDO和△PEO中, ∴△PDO≌△PEO.(AAS) ∴PD=PE.(全等三角形的對應(yīng)邊相等) 定理應(yīng)用所具備的條件和定理的作用:條件有3個,分別是角的平分線、點在該平分線上和垂直距離,作用是證明線段相等. 如圖,填寫使BC=BD成立所需的條件　　　　　　　　　　. 猜想圖中,由BC⊥AC于點C,BD⊥AD于點D,BC=BD,可以得到什么結(jié)論? 定理2　角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上. 已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E,PD=PE,如圖. 求證:點P在∠AOB的平分線上. 證明:經(jīng)過點P作射線OC. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知) ∴∠PDO=∠PEO=90.(垂直的定義) 在Rt△PDO和Rt△PEO中, ∴Rt△PDO≌Rt△PEO.(HL) ∴∠AOC=∠BOC.(全等三角形的對應(yīng)角相等) ∴OC是∠AOB的平分線. ∴P在∠AOB的平分線上. 由定理1,2可知:在一個角內(nèi),到角的兩邊的距離相等的點,都在這個角的平分線上;反過來,角的平分線上的點到角的兩邊距離相等.于是得到下面的結(jié)論: 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合. 典例　已知:如圖,△ABC中,∠B的平分線BE與∠C的平分線CF相交于點P. 求證:AP平分∠BAC. [解析]　過點P分別作PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB,垂足分別為點M,N,Q. ∵BE是∠B的平分線,點P在BE上,(已知) ∴PQ=PM.(角平分線上的點到角兩邊的距離相等) 同理,PN=PM. ∴PN=PQ.(等量代換) ∴AP平分∠BAC.(角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上) 這個例子說明:三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點,這點到三角形三邊的距離相等. 三、板書設(shè)計 角的平分線的判定 1.角平分線上的點到角兩邊的距離相等. 2.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上. 3.三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點,這點到三角形三邊的距離相等. ◇教學(xué)反思◇ 學(xué)生通過自己動手操作、自己推導(dǎo)、自己發(fā)現(xiàn),得到角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理,充分發(fā)揮了探究意識,體驗并掌握了合作交流的學(xué)習(xí)方法,同時進一步鍛煉了數(shù)學(xué)語言表達能力以及規(guī)范書寫證明過程的能力.