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小題標準練(一)
(40分鐘 80分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知集合P={x∈R|0
1},所以RQ ?RP.
2.設(shè)z=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),若(1+i)2+|2i|=z,則直線bx-ay+a=0的斜率為 ( )
A.-1 B.1 C.3 D.33
【解析】選A.由于z=(1+i)2+|2i|=2i+2,則z=2-2i,可得a=2,b=-2,即直線的方程為-2x-2y+2=0,亦即y=-x+1,故斜率k=-1.
3.一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 ( )
A.73 m3 B.92 m3 C.72 m3 D.94 m3
【解析】選C.該幾何體是三個正方體和半個正方體的組合體,所以幾何體體積為313+1213=72(m3).
4.下列命題中的假命題是 ( )
A.?x∈R,2x-1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0
C.?x0∈R,ln x0<1 D.?x0∈R,tan x0=2
【解析】選B.因為2x-1>0對?x∈R恒成立,所以A是真命題,當x=1時,(x-1)2=0,所以B是假命題.
5.已知π4<α<3π4,sin(α-π4)=45,則cos α= ( )
A.210 B.-210 C.7210 D.-25
【解析】選B.方法一:因為π4<α<3π4,所以α-π4∈(0,π2),
又sin(α-π4)=45,
所以cos(α-π4)=1-sin2α-π4=35.
所以cos α=cos[(α-π4)+π4]=cos(α-π4)cosπ4-sin(α-π4)sinπ4=22(35-45)=-210.
方法二:因為sin(α-π4)=45,
所以22(sin α-cos α)=45,
即sin α-cos α=425①,又π4<α<3π4,
所以sin α>|cos α|.
所以sin α+cos α=2-(sinα-cosα)2=325②,由②-①2得cos α=-210.
6.已知實數(shù)x,y滿足不等式組x+y≤3,x+y≥2,x≥0,y≥0, 若z=x-y,則z的最大值為 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】選A.作出不等式組x+y≤3,x+y≥2,x≥0,y≥0 所對應(yīng)的可行域(如圖所示),變形目標函數(shù)為y=x-z,平移直線y=x-z可知,當直線經(jīng)過點(3,0)時,z取最大值,代值計算可得z=x-y的最大值為3.
7.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項和Tn= ( )
A.6n-n2 B.n2-6n+18
C.6n-n2(1≤n≤3)n2-6n+18(n>3) D.6n-n2(1≤n≤3)n2-6n(n>3)
【解析】選C.由Sn=n2-6n可得,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-6n-(n-1)2+6(n-1)=2n-7.當n=1時,S1=-5=a1,也滿足上式,所以an=2n-7,n∈N*.
所以n≤3時,an<0;n>3時,an>0,當n≤3時,
Tn=-Sn=6n-n2,
當n>3時,Tn=-a1-a2-a3+a4+…+an
=Sn-2S3
=n2-6n-2(32-63)
=n2-6n+18,
所以Tn=6n-n2(1≤n≤3),n2-6n+18(n>3).
8.如圖在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中,平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住,請找出D的位置,計算ABAD的值為 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】選B.如圖建立平面直角坐標系,則ABAD=ABBC=(4,1)(2,3)=11.
9.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=π3,過B作AC的垂線,垂足為D,則 ( )
A.=17+67 B.=17+65
C.=27+57 D.=47+37
【解析】選A.由余弦定理得c2+22-2c2cos π3=(7)2,解得c=3,因為BD是
△ABC的高,所以72BD=1223sin π3,解得BD=3217,由余弦定理得
cos C=7+4-9227=714,所以CD=2714=77,所以=17,所以-=17(-),所以=17+67.
10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=1,則Sn的取值范圍是 ( )
A.(0,1) B.(0,+∞)
C.12,1 D.12,+∞
【解析】選C.已知an+Sn=1,當n=1時,得a1=12;當n≥2時,an-1+Sn-1=1,兩式相減,得an-an-1+an=0,2an=an-1,由題意知,an-1≠0,所以anan-1=12(n≥2),
所以數(shù)列{an}是首項為12,公比為12的等比數(shù)列,所以Sn=121-12n1-12=1-12n,所以
Sn∈12,1.
11.設(shè)拋物線y2=4x的準線為l,點M在拋物線上,且在第一象限內(nèi),若圓M與l相切,在y軸上截得的線段長為6,則圓M的標準方程為 ( )
A.(x-4)2+(y-4)2=5 B.(x-3)2+(y-2)2=25
C.(x-4)2+(y-4)2=25 D.(x-2)2+(y-3)2=5
【解析】選C.設(shè)圓M的半徑為r,圓心的坐標為(a,b),a>0,b>0,因為拋物線y2=4x的準線為l,所以準線l的方程為x=-1,因為圓M與l相切,所以a=r-1,因為圓M在y軸上截得的線段長為6,所以(r-1)2+32=r2,解得r=5,所以a=4,又b2=4a,所以b=4,所以圓M的標準方程為(x-4)2+(y-4)2=25.
12.定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=-f(x)且f(x)=1-(x-1)2,x∈[0,2),2-2|x-3|,x∈[2,4), ,則關(guān)于x的方程5 f(x)=x的實數(shù)解個數(shù)為 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】選B.因為f (x-2)=-f (x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)的
周期為4.
由5f (x)=x得f(x)=x5,作出y=f(x)和y=x5的函數(shù)圖象如圖所示:
由圖象可知兩圖象有8個交點,故關(guān)于x的方程5f(x)=x 有8個解.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)
13.以下四個命題中:①在回歸分析中,可用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果,R2越大,模型的擬合效果越好;②兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強,相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;③若數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的方差為1,則2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差為2;④對分類變量x與y的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大.其中真命題是____________.
【解析】由相關(guān)指數(shù)R2越接近于1,模型的擬合效果越好知①正確;由相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強知②正確;③④錯誤.故真命題是①②.
答案:①②
14.某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如表:
年產(chǎn)量/畝
年種植成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位:畝)分別為____________.
【解析】設(shè)種植黃瓜x畝,種植韭菜y畝,因此,原問題轉(zhuǎn)化為在條件x+y≤50,1.2x+0.9y≤54,x≥0,y≥0下,
求z=0.554x+0.36y-1.2x-0.9y=x+0.9y的最大值.畫出可行域如圖.利用線性規(guī)劃知識可知,
當x,y取x+y=50,1.2x+0.9y=54的交點(30,20)時,z取得最大值.
答案:30,20
15.若函數(shù)f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是________.
【解析】因為f(x)=x2+a|x-2|,所以f(x)=x2+ax-2a,x≥2,x2-ax+2a,x<2, 又因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以-a2≤2,a2≤0 ?-4≤a≤0,即實數(shù)a的取值范圍是[-4,0].
答案:[-4,0]
16.設(shè)A={(x,y)|x2-a(2x+y)+4a2=0},B={(x,y)||y|≥b|x|},若對任意實數(shù)a,均有A?B成立,則實數(shù)b的最大值為____________.
【解析】(1)當b≤0時,集合B表示的是整個坐標平面上的所有點,顯然對任意實數(shù)a,均有A?B成立.
(2)當b>0時,集合B表示的是兩條直線y=bx表示的上下對角區(qū)域,如圖所示,若a=0,則A={(x,y)|x=0},即集合A表示y軸上的所有點,滿足A?B成立.若a≠0,由x2-a(2x+y)+4a2=0,得y=1ax2-2x+4a,則此拋物線與直線y=bx至多有一個公共點,且與y=-bx至多有一個公共點,即方程bx=1ax2-2x+4a,方程-bx=1ax2-2x+4a至多有一個解,即方程x2-(2a+ab)x+4a2=0,方程x2-(2a-ab)x+4a2=0至多有一個解,則Δ1=(2a+ab)2-16a2≤0,Δ2=(2a-ab)2-16a2≤0,解得-2≤b≤2.因為b>0,所以0
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