2019年春八年級數(shù)學(xué)下冊 第9章 中心對稱圖形-平行四邊形 專題訓(xùn)練（三）練習(xí) （新版）蘇科版.doc

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專題訓(xùn)練(三)　中點問題常用思路 在解答幾何問題時會遇到不少中點問題，解答這類問題通常考慮運用以下四類方法解答： (1)根據(jù)等腰三角形“三線合一”解答； (2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答； (3)根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)解答； (4)構(gòu)造三角形中位線解答． ?　類型一　與等腰三角形有關(guān)的中點問題 1．如圖3－ZT－1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分別是對角線BD，AC的中點． (1)求證：MN⊥AC； (2)求MN的長． 圖3－ZT－1 ?　類型二　與垂直平分線有關(guān)的中點問題 2．如圖3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，如果AB＝AC，求證：BM＝MN＝NC. 圖3－ZT－2 ?　類型三　與直角三角形斜邊上的中線有關(guān)的中點問題 3．如圖3－ZT－3①，在銳角三角形ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M，N分別是線段BC，DE的中點． (1)求證：MN⊥DE. (2)連接DM，ME，求證：∠DME＝180－2∠A. (3)若將銳角三角形ABC變?yōu)殁g角三角形ABC，如圖②，上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，直接寫出正確的結(jié)論． 圖3－ZT－3 ?　類型四　與三角形中位線有關(guān)的中點問題 4．如圖3－ZT－4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分別是對角線BD，AC的中點，試探索MN與AD，BC的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 圖3－ZT－4 5．xx白銀 如圖3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，F(xiàn)，G，H分別是BC，BE，CE的中點． (1)求證：△BGF≌△FHC； (2)設(shè)AD＝a，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積． 圖3－ZT－5 6．已知M為△ABC的邊BC的中點，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于點D，連接DM. (1)如圖3－ZT－6①，若AD為∠BAC的平分線，求MD的長； (2)如圖3－ZT－6②，若AD為∠BAC的外角平分線，求MD的長． 圖3－ZT－6 7．如圖3－ZT－7①，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連接FG，延長AF，AG，與直線BC分別相交于點M，N. (1)試說明：FG＝(AB＋BC＋AC)； (2)如圖②，若BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，則線段FG與△ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由； (3)如圖③，若BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，則線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是______________． 圖3－ZT－7 詳解詳析 專題訓(xùn)練(三)　中點問題常用思路 1．解：(1)證明：如圖，連接AM，CM， ∵∠BAD＝∠BCD＝90，M是BD的中點， ∴AM＝CM＝BM＝DM＝BD. 又∵N是AC的中點，∴MN⊥AC. (2)∵∠BCD＝90，BC＝12，CD＝16， ∴BD＝＝20， ∴AM＝BD＝20＝10. ∵AC＝16，N是AC的中點， ∴AN＝16＝8，∴MN＝＝6. 2．證明：如圖，連接AM，AN. ∵AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F， ∴BM＝AM，NC＝AN， ∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C. ∵∠BAC＝120，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30， ∴∠MAB＋∠CAN＝60，∠AMN＝∠ANM＝60， ∴△AMN是等邊三角形， ∴AM＝AN＝MN， ∴BM＝MN＝NC. 3．解：(1)證明：如圖①，連接DM，ME. ∵CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M是BC的中點， ∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME. 又∵N為DE的中點，∴MN⊥DE. (2)證明：由(1)知DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD＋∠CME ＝(180－2∠ABC)＋(180－2∠ACB) ＝360－2(∠ABC＋∠ACB) ＝360－2(180－∠A) ＝2∠A， ∴∠DME＝180－2∠A. (3)(1)中的結(jié)論成立；(2)中的結(jié)論不成立． 理由如下：如圖②，連接DM，ME.在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180－∠BAC. ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC ＝2(180－∠BAC) ＝360－2∠BAC， ∴∠DME＝180－(360－2∠BAC) ＝2∠BAC－180. 4．解：MN∥AD∥BC，MN＝(BC－AD)． 理由如下：連接AM并延長交BC于點H，如圖所示． ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠HBD. 在△AMD和△HMB中， ∴△AMD≌△HMB，∴AM＝MH，AD＝BH. ∵AM＝MH，AN＝NC， ∴MN∥HC，MN＝HC， ∴MN∥BC∥AD，MN＝(BC－AD)． 5．解：(1)證明：∵F，G，H分別是BC，BE，CE的中點， ∴FH∥BE，F(xiàn)H＝BE＝BG， ∴∠CFH＝∠CBG. 又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC. (2)連接EF，GH.當(dāng)四邊形EGFH是正方形時，可得EF⊥GH且EF＝GH. ∵在△BEC中，G，H分別是BE，CE的中點， ∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC， ∴EF⊥BC. ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB＝EF＝GH＝a， ∴矩形ABCD的面積＝ABAD＝aa＝a2. 6．解：(1)如圖①，延長BD交AC于點E， ∵AD為∠BAC的平分線，BD⊥AD， ∴BD＝DE，AE＝AB＝12， ∴CE＝AC－AE＝18－12＝6. 又∵M為△ABC的邊BC的中點， ∴MD是△BCE的中位線， ∴MD＝CE＝6＝3. (2)如圖②，延長BD交CA的延長線于點E， ∵AD為∠BAE的平分線，BD⊥AD， ∴BD＝DE，AE＝AB＝12， ∴CE＝AC＋AE＝18＋12＝30. 又∵M為△ABC的邊BC的中點， ∴MD是△BCE的中位線， ∴MD＝CE＝30＝15. 7．解：(1)∵BD⊥AF， ∴∠AFB＝∠MFB＝90. 在△ABF和△MBF中， ∴△ABF≌△MBF， ∴MB＝AB，AF＝MF. 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG是△AMN的中位線， ∴FG＝MN ＝(MB＋BC＋CN) ＝(AB＋BC＋AC)． (2)FG＝(AB＋AC－BC)． 理由：如圖①，延長AF，AG，與直線BC分別相交于點M，N， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠MFB＝90. 在△ABF和△MBF中， ∴△ABF≌△MBF， ∴MB＝AB，AF＝MF. 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG＝MN ＝(MB＋CN－BC) ＝(AB＋AC－BC)． (3)FG＝(AC＋BC－AB)． 理由：如圖②，延長AF，AG，與直線BC分別相交于點M，N. ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠MFB＝90. 在△ABF和△MBF中， ∴△ABF≌△MBF， ∴MB＝AB，AF＝MF. 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG＝MN ＝(CN＋BC－MB) ＝(AC＋BC－AB)．