2019-2020年高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題一 集合與簡易邏輯.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題一 集合與簡易邏輯 【高考預測】 1.集合的概念與性質 2.集合與不等式 3.集合的應用 4.簡易邏輯 5.充要條件 6.集合的運算 7.邏輯在集合中的運用 8.集合的工具性 9.真假命題的判斷 10.充要條件的應用 【易錯點點睛】 易錯點1 集合的概念與性質 1．(xx模擬題精選)設全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，則下列關系中正確的是 ( ) A.M=P B．PM C.MP D．CUP= 【錯誤答案】 D 【錯解分析】 忽視集合P中，x＜-1部分． 【正確解答】 C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故MP． 2．(xx模擬題精選)設P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q=｛a+b|aP，bQ｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，則P+Q中元素的個數(shù)是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【錯誤答案】 A P中元素與Q中元素之和共有9個． 【錯解分析】 忽視元素的互異性，即和相等的只能算一個． 【正確解答】 B P中元素分別與Q中元素相加和分別為1，2，3，4，6，7，8，11共8個． 3．(xx模擬題精選)設f(n)=2n+1(nN)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},記=｛nN|f(n) P｝，=｛nN|f(n) 則(CN) (CN)等于 ( ) A．｛0，3｝ B．｛1，7｝ C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝ 【錯誤答案】 D PCNQ=｛6，7｝．QCNP=｛1，2｝．故選D． 【錯解分析】 未理解集合 的意義. 【正確解答】 B ∵ =｛1，3，5｝．=｛3，5，7｝．∴CN=｛1｝. CN=｛7｝．故選B． 4．設A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是 ( ) A．（CIA）B=I B．(CIA) (CIB)=I C．A(CIB)= D．(CIA)(CIB)= CIB 【錯誤答案】 因為集合A與B的補集的交集為A，B的交集的補集．故選D． 要重視發(fā)揮圖示法的作用，充分運用數(shù)形結合(數(shù)軸，坐標系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關系以及集合的運算問題，直觀地解決問題． 2．注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB，則有A=或A 兩種可能，此時應分類討論． 【變式探究】 1 全集U=R，集合M={1，2，3，4}，集合N=，則M(CUN)等于 ( ) A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D． {1，2，3，4} 答案：B 3 設M={x|x4a，a∈R}，N={y|y=3x，x∈R}，則 ( ) A．M∩N= B．M=N C. MN D. MN 答案：B 解析：M= 4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a、b∈A且a≠b}，則B的子集的個數(shù)是 ( ) A．4 B．8 C．16 D．15 答案：解析：它的子集的個數(shù)為22=4。 5 設集合M=｛(x，y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3)，-≤y≤3｝，若(a，b)∈M，且對M中的其他元素(c，d)，總有c≥a，則a=_____. 答案：解析：依題可知，本題等價于求函數(shù)不勝數(shù)x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 當 1≤y≤3時，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2- 易錯點 2 集合與不等式 1．(xx模擬題精選)集合A=，B={x|x-b|＜a＝，若“a=1”是“A∩B≠”的充分條件，則b的取值范圍是 ( ) A．-2≤b<2 B．-20時，t≥恒成立，所以-1≥,解得m≥2；當m<0時，t≤恒成立，所以1≤，解得m≤-2． 綜上：故不存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立． 【錯解分析】 (1)討論x求參數(shù)的范圍，最后應求參數(shù)的交集而不是并集．因為x∈[-1，1]時,f(x)≥0恒成立．(2)注意對求出的m的值范圍求并集而不是交集． 當m<0時，t≤恒成立，所以1<，解得m≤-2． 綜上：存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，m的取值范圍是｛m|m≥2或m≤-｝2(注意對求出的m的取值范圍求并集)． 方法2：方程f(x)=變形為x2-ax-2=0，|x1-x2|=,又-1≤a≤1，所以|x1-x2|=的最大值為3，m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立等價于m2+tm+1≥3在t∈[-1，1]恒成立，令g(t)=tm+m2-2，有g(-1)=m2+m-2≥0，g(1)=m2-m-2≥0，解得{m|m≥2或m≤-2}．(注意對求出的m的取值范圍求交集)． 【特別提醒】 討論參數(shù)a的范圍時，對各種情況得出的參數(shù)a的范圍，要分清是“或”還是“且”的關系，是“或”只能求并集，是“且”則求交集. 【變式探究】 1 設[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集為 ( ) A．(2，3) B．[2，3] C．[2，4] D．[2，4] 答案：C 解析：由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定義知2≤x<4所選C. 2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要條件是，則實數(shù)m的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 答案：B （2）∵B=（2a,a2+1）, 當a<，使 要使≤a≤3. 綜上可知，使的實數(shù)a的取值范圍為[1，3] 易錯點 3 集合的應用 1．(xx模擬題精選)ω是正實數(shù)，設Sω={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù)a,Sω∩(a,a+1)的元素不超過2個，且有a使Sω∩(a，a+1)含2個元素，則ω的取值范圍是_____. 【錯誤答案】 (π，2π) 【錯解分析】 ∵a使Sω∩(a,a+1)含兩個元素，如果>1時，則超過2個元素，注意區(qū)間端點． 2．(xx模擬題精選)設函數(shù)f(x)=-(x∈R)，區(qū)間M=[a,b](a0．f(x)=-1+,∴f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)，即y=f(x)在[a，b]上為減函數(shù)，∴y=f(x)的值域為 ,∴N∈ ∵M=N，∴MN∴a≥，且b≤，故有無數(shù)組解． 【錯解分析】 錯誤地理解了M=N,只是MN,忽視了M=N，包含MN和NM兩層含義． [對癥下藥]∵f(x)=，∵y=f(x)在[a，b]上為減函數(shù) ∴y=f(x)的值域為 ∵N={y|y=f(x)}，∴N表示f(x)的值域-b ∴M=N，∴,而已知a0，得(x-a-1)(x-2a)<0．∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ∵BA ∴2a>1或a+1≤-1 ∴a>或a≤-2又∵a<1∴a≤-2或0且△<0,解得a> 2 設集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}定義P※Q={(a，b)|a∈p，b∈Q，則P※Q中元素的個數(shù)為 ( ) A．3 B．4 C．7 D．12 答案：D 3 已知關于x的不等式0的解集為M. (1)a=4時，求集合M； 答案：(1)當a=4時，原不等式可化為，即 (2)若3∈M且5M，求實數(shù)a的取值范圍． 答案：由3 ① 由　② 由①、②得 易錯點4 簡易邏輯 1．(xx模擬題精選)對任意實數(shù)a、b、c，給出下列命題： ①“a=b”是“ac=bc”的充要條件；②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；③“a>b”是“a2＞b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件． 其中真命題的個數(shù)是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【錯誤答案】 D 【錯解分析】 忽視①中c=0的情況，③中a，b小于0的情況． 【正確解答】 B 3．(xx模擬題精選)設原命題是“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a=b，c=d，則a+c=b+d”，則它的逆否命題是( ) A.已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+c≠b+d，則a≠b且c≠d B.已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+c≠b+d，則a≠b或c≠d C.若a+c≠b+d，則a，b，c，d不是實數(shù)，且a≠b，c≠d D.以上全不對 【錯誤答案】 A 【錯解分析】 沒有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”. 【正確解答】 由函數(shù)y=cx在R上單調遞減，得0＜c<1；∵x+|x-2c|=所以函數(shù)y=x+|x-2c|在R上的最小值為2c，因為不等式x+|x-2c|>1的解集為R，所以2c>1，得c>． 如果P真Q假，則0＜c≤；如果Q真P假，則c≥1． 所以c的取值范圍是(0, )∪[1,+∞] 【特別提醒】 1．在判斷一個結論是否正確時，若正面不好判斷，可以先假設它不成立，再推出矛盾， 這就是正難則反． 2．求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結詞，“且”對應的是集合的交集，“或”對應的是集合的并集． 【變式探究】 1 已知條件P：|x+1|>2，條件q：5x-6>x2，則p是q的 ( ) A.充要條件 B．充分但不必要條件 C.必要但不充分條件 D.既非充分也非必要條件 答案：Ｂ解析：p:x<-3或x>1,q:21?a<2. 若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結果為10 B．b>0且c<0 C．b<0且c=0 D．b≥0且c=0 【錯誤答案】 B △=b2-4ac．當c<0時，△>0．故f(x)有兩個不同實根，∴x有7個既不充分也不必要條件，所以選D． 【錯解分析】 “或”與“且”理解錯誤，邏輯中的“或”與生活中的“或”有區(qū)別，a∈M或a∈N包括三種：a∈M但aN；a∈N但a M；a∈M且a∈N.所以a∈(M∩N)可以推得a∈M或a∈N. 【正確解答】 a∈(M∩N)的意思是a∈M且a∈N，而a∈M或a∈N包括三種：a∈M但aN；a∈N但aM；a∈M且a∈N，所以a∈M或a∈N不能推出a∈(M∩N)；a∈(M∩N)可以推得a∈M或a∈N.所以選B． 4．(xx模擬題精選)設命題p：關于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0與a2x2+b2x+c2>0的解集相同；命題q：，則命題p是命題g的 ( ) A.充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【錯誤答案】 因為，所以不等式a1x2+b1x+c1>0與a2x2+b2x+c2>0是等價 的不等式，解集相同，所以q能推出p而不等式a1x2+b1x+c1>0與a2x2+ b2x+c2>0的解集相同不能得出，所以選B． 題的真假. (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等． (3)數(shù)學概念的定義具有相稱性，即數(shù)學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質． (4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條依. (5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性)． 【變式探究】 1 設ab、是非零向量，則使ab=|a||b|成立的一個必要非充分條件是 ( ) A．a=b B．a⊥b C．a∥b D．a=λb(>0) 答案：Ｃ解析：由a?b=|a| |b|可得a∥b;但a∥b, a?b=|a| |b|, 故使a?b=|a| |b| 成立的一個必要充分條件是：a∥b.故選Ｃ. 2若條件甲：平面α內任一直線平行于平面β，條件乙：平面α∥平面β，則條件甲是條件乙的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C. 充要條件 D．既不充分又不必要條件 4 命題A：|x-1|<3，命題B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分不必要條件，則a的取值范圍是( ) A．(4，+∞) B．[4，+∞] C．(-∞，-4) D．(-∞，-4) 答案：Ｃ 【知識導學】 難點1 集合的運算 1．設I是全集，非空集合P、Q滿足PQI，若含P、Q的一個運算表達式，使運算結果為空集，則這個運算表達式可以是_______；如果推廣到三個，即PQRI，使運算結果為空集，則這個運算表達式可以是_______.(只要求寫出一個表達式)． 【解析】 畫出集合P、Q、I的文氏圖就可以看出三個集合之間的關系，從它們的關系中構造集合表達式，使之運算結果為空集． 【答案】 畫出集合P、Q、I的文氏圖，可得滿足PQI，含P、Q的一個運算表達式，使運算結果為空集的表達式可以是P∩(CIQ)；同理滿足PQRI，使運算結果為空集的表達式可以是(P∩Q)∩(CIR)，或(P∩Q) ∩(CIR)．答案不唯一． 2．設A={(x，y)|y2-x-1=0}，B={(x，y)|4x2+2x-2y+5=0}，C={(x，y)|y=kx+b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C=，證明此結論． ∴ ∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0 ∴B∩C=， ∴△2(1-k)2-4(5-2b)<0 ∴k2-2k+8b-19<0，從而8b<20，即b<2．5 ② 由①②及b∈N，得b=2代入由△1<0和△2<0組成的不等式組，得 ∴k=1，故存在自然數(shù)k=1，b=2，使得(A∪B) ∩C=． 難點2 邏輯在集合中的運用 1.已知不等式： ①|x+3|>|2x|；②;③2x2+mx-1＜0． 若同時滿足①、②的x也滿足③，求m的取值范圍； 若滿足③的x至少滿足①、②中的一個，求m的取值范圍． 【解析】 (1)若同時滿足①、②的x也滿足③，即求出不等式①、②的交集是③的解集的子集；第(2)問，若滿足③的x至少滿足①、②中的一個，即滿足③的x滿足①、②的并集． ①∩②={x|x≤-1或x＞4}，補集為(-1，4)，即方程2x2+mx-1<0的兩根在(-1，4)內，由根的分布可得-≤m<1． 2．集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2+2x-8=0},求當a取什么實數(shù)時，A∩B 和A∩C=同時成立． 【解析】 求出集合B，C.由A∩B ，即A∩B≠,從而求a.，由A∩C=，來檢驗． 【答案】 log2(x2-5x+8)=1，由此得x2-5x+8=2，∴B={2，3}．由x2+2x-8=0，∴C={2，-4}，又A∩C=，∴2和-4都不是關于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B ，即A∩B≠， ∴3是關于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=-2． 當a=5時，得A={2，3}，A∩二{2}，這與A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；當a=-2時，可以求得A={3，-5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=-2． 難點3 集合的工具性 1．已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為零，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和為Sn，設集合A={(an，)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1，x，y∈R}，試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明． (1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上； (2)A∩B中至多有一個元素； (3)當a1≠0時，一定有A∩B≠． 【解析】 (1)要證明這些點都在同一條直線上；即證任意兩點的斜率相等；(2)A∩B中至多有一個元素；集合A，B所表示的曲線至多有一個交點；(3)當a1≠0時，集合A，B所表示的曲線一定有交點． 【答案】(1)an=a1+(n-1)d，=a1+d，An=[a1+(n-1)d，a1+d] ∵=， ∴這些點都在同一條直線上． (3)由(2)可知，當a1≠0時，直線y=x+a1與雙曲線x2-y2=1只有一個交點，A∩B中有一個元素．故一定有A∩B≠． 2．設M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f(x)的集合：①f(x)的定義域是[-1，1]；②若x1，x2∈[-1，1]，則|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|．試問： (1)定義在[-1，1]上的函數(shù)g(x)=x2+3x+xx是否屬于集合M?并說明理由； (2)定義在[-1，1]上的函數(shù)h(x)=4sinx+xx是否屬于集合M?并說明理由． 【解析】 判斷函數(shù)g(x)與h(x)的集合是否屬于集合M，即證明函數(shù)g(x)與h(x)是否滿足下列兩個條件①f(x)的定義域是[-1，1]；②若x1，x2∈[-1，1]，則 |f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|． 【答案】 (1)|g(x1)-g(x2)|=|+3x1--3x2|=|x1-x2||x1+x2+3|，∵-2≤x1+x2≤2，即1≤x1+x2 +3≤5，∴|x1+x2+3 |≤5，|g(x1)-g(x2)|≤5|x1-x2|，不符合條件②．故不屬于M； (2)|h(x1)-h(x2)|=|4sinx1-4sinx2|=4|sinx1-sinx2|≤4|x1-x2|，故屬于M； 3．向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人．問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人? 【解析】畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系． 【答案】贊成A的人數(shù)為50=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B. 設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x． 依題意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50，解得x=21． 所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人． 難點4 真假命題的判斷 1．已知p、q為命題，命題“(p或q)”為假命題，則 ( ) A.p真且q真 B.p假且q假 C.p，q中至少有一真 D.p，q中至少有一假 【答案】 由題意知： 命題：若﹂P是﹂q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件． p：|1-|≤2-2≤-1≤2-1≤ ≤3-2≤x≤10 q：x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 * ∵p是q的充分不必要條件， ∴不等式|1-|≤2的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集． 又∵m>0 ∴不等式*的解集為1-m≤x≤1+m ∴∴m≥9， ∴實數(shù)m的取值范圍是[9，+∞]． 難點5 充要條件的應用 1．設符合命題p的所有元素組成集合A，符合命題q的所有元素組成集合B，已知q的充分不必要條件是p，則集合A、B的關系是 ( ) A．AB B．A B C．B A D．A=B 所以03}，B={x|x2+x-6≤0}，則A∩B= ( ) A．(-3，-2)∪(1，+∞) B．(-3，-2)∪[1，2] C．[-3，-2]∪(1，2) D．(-∞，-3)∪(1，2) 答案：Ｃ　解析：由|2x+1|>3,得x>1或x<-2,由x2+x-6≤0得-3≤x≤2, ∴故選Ｃ. 3 已知命題“非空集合M中至少有一個元素是集合N中的元素”是假命題，下列命題： (1)M中的元素都不是集合N中的元素 (2)M中的元素都是集合N中的元素 (3)M中的元素至多有一個元素是集合N中的元素 (4)N中的元素都不是集合M中的元素 其中正確的命題個數(shù)為 ( ) A.1個 B．2個 C 3個 D．4個 答案：B 解析：“非空集合Ｍ中至少有一個元素是集合Ｎ中的元素”是假命題，則它的否命題：Ｍ中的元素都不是集合Ｎ中的元素是真命題.故只有（１）正確。選Ａ。 4 已知a>b>0，全集U=R，集合M={x|b1是|a+b|＞1的充分而不必要條件． 命題q：函數(shù)y=的定義域是(-∞，-1)∪[3，+∞]，則 ( ) A.“p或q”為假 B．“p且q”為真 C.p真q假 D.p假q真 答案：D 答案：240解析：設單元素集合之和為T1=1+2+3+4+5=15，二元集合之和為T2=4T1，同理T3=6T1，T4=4T1，T5=T1，S1+S2++S5=T1+T2+T3+T4+T5=240. 10 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 則ax2+bx+c>0的解集是__________． 答案：(-∞，-2)解析：取三點代入函數(shù)中解出不等式即可。 11 每天早晨，李強要做完以下幾件事，再去公司上班： 起床穿衣8分鐘；洗臉刷牙5分鐘；煮早飯t分鐘；吃早飯7分鐘；聽廣播15分鐘；整理房間6分鐘．若李強做完這些事最快需要30分鐘，那么煮早飯的時間t最多為_______分鐘． 答案：15解析：起床穿衣8分鐘；煮早飯t分鐘；吃早飯7分鐘；這三項不能同時做.洗臉刷牙5分鐘；與聽廣播15分鐘；整理房間6分鐘；都可同時做.若李強做完這此事最快需要30分鐘，那么煮早飯的時間t最多為30分鐘. 12 設全集U=R，(Ⅰ)解關于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R)；(Ⅱ)記A為(1)中不等式的解集，集合B={x|sin(πx-)+cos(πx-)=0}．若(CUA)∩B恰有3個元素，求a的取值范圍． 明理由． 答案： 解析：E， F= 綜上所述，、3且-2 14 已知橢圓方程+=1(a>b>0)，A(m，0)為橢圓外一定點，過A作直線l交橢圓于P、Q兩點，且有，Q關于x軸的對稱點為B，x軸上一點C，當l變化時，求點C在BP上的充要條件． 解析：連結AB，因為B、Q關于x軸對稱，所以 C(xo,O),則B(x2,-y2),可得y1= 又 將(1)代入(2)中得由于上述解題過程可逆，所以C在BP上的充要條件是C的坐標為