2019版高考數(shù)學(xué) 4.4 平面向量應(yīng)用舉例課件.ppt

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第四節(jié)平面向量應(yīng)用舉例 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 向量在平面幾何中的應(yīng)用 a b b 0 x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 2 向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 以向量為載體利用向量的共線 垂直 數(shù)量積等的坐標(biāo)運(yùn)算 轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題 以解決三角函數(shù)中的圖象 性質(zhì)等問題 3 向量在物理中的應(yīng)用 由于物理學(xué)中的力 速度 位移都是矢量 它們的分解與合成和向量的減法和加法相似 可以用向量的知識(shí)來解決 物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量 是力F與位移s的數(shù)量積 即W 為F與s的夾角 F s F s cos 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 在 ABC中 D是BC的中點(diǎn) 則 2 在 ABC中 若 0 則點(diǎn)O是 ABC的 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 向量法 坐標(biāo)法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)與方程 轉(zhuǎn)化與化歸思想 重心 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 在四邊形ABCD中 若則四邊形為平行四邊形 2 a b是非零向量 若 a b a b 則a b 3 在 ABC中 若 0 則 ABC為鈍角三角形 4 作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1和F2的夾角為 且 F1 3 F2 5 則F1 F2大小為 解析 1 正確 在四邊形ABCD中 由可得AB DC且AB CD 由平行四邊形定義可知ABCD為平行四邊形 2 正確 由 a b a b 得a b 0 從而a b 3 錯(cuò)誤 由 0可知在 ABC中 B的補(bǔ)角為鈍角可判斷 B為銳角 而無法得出 ABC為鈍角三角形 4 正確 由已知可得 F1 F2 2 F1 2 F2 2 2 F1 F2 cos 9 25 2 3 5 19 所以 F1 F2 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修4P113A組T1改編 已知點(diǎn)A 1 0 拋物線y2 4x 點(diǎn)Q是拋物線上的一點(diǎn) 若則點(diǎn)P的軌跡方程為 解析 設(shè)Q x0 y0 P x y 由得 1 x0 y0 2 x 1 y 即又 x0 y0 滿足y2 4x 故4y2 4 3 2x 即y2 3 2x 答案 y2 3 2x 2 必修4P113A組T4改編 O為 ABC的重心 若OA 1 OB AOB 則OC 解析 因?yàn)镺為 ABC的重心 所以 0 即所以所以 1 答案 1 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 上海高考 如圖 四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形排成一個(gè)大正方形 AB是大正方形的一條邊 Pi i 1 2 7 是小正方形的其余頂點(diǎn) 則 i 1 2 7 的不同值的個(gè)數(shù)為 A 7B 5C 3D 2 解析 選C 當(dāng)Pi取P2 P5時(shí) 0 當(dāng)Pi取P1 P3 P6時(shí) 當(dāng)Pi取P4 P7時(shí) 所以取值共有三個(gè) 2 2013 福建高考 在四邊形ABCD中 1 2 4 2 則該四邊形的面積為 A B 2C 5D 10 解析 選C 因?yàn)?0 所以AC BD是互相垂直的對(duì)角線 所以S 3 2015 杭州模擬 已知非零向量與滿足 0且則 ABC為 A 等邊三角形B 直角三角形C 等腰非等邊三角形D 三邊均不相等的三角形 解析 選A 因?yàn)?所以 BAC 60 又與以 BAC為頂角的菱形的一條對(duì)角線共線 即是 BAC的平分線 由題意 得 BAC的平分線與BC邊垂直 所以AB AC 故 ABC為等邊三角形 4 2015 慶陽模擬 已知a cos sin b 1 f a b 則f 的最大值為 解析 f a b cos sin 2 cos sin 2cos 故當(dāng) 2k k Z 時(shí) f max 2 答案 2 考點(diǎn)1向量在平面幾何中的應(yīng)用 典例1 1 2013 浙江高考 設(shè) ABC P0是邊AB上一定點(diǎn) 滿足P0B AB 且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P 恒有則 A ABC 90 B BAC 90 C AB ACD AC BC 2 2013 天津高考 在平行四邊形ABCD中 AD 1 BAD 60 E為CD的中點(diǎn) 若則AB的長(zhǎng)為 解題提示 1 利用坐標(biāo)運(yùn)算 建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo) 利用已知求解 2 根據(jù)題意 選取當(dāng)基底 根據(jù)向量的加法及平面向量基本定理由表示由列方程求AB的長(zhǎng) 或建系用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求AB的長(zhǎng) 規(guī)范解答 1 選D 設(shè)AB 4 以AB所在直線為x軸 線段AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系 則A 2 0 B 2 0 P0 1 0 設(shè)點(diǎn)C a b 動(dòng)點(diǎn)P x 0 所以由恒成立 得 2 x a x a 1 即x2 2 a x a 1 0恒成立 所以 2 a 2 4 a 1 a2 0 則a 0 因此點(diǎn)C在線段AB的中垂線上 故 2 因?yàn)樗?1 所以解得答案 一題多解 解答本題你還有其他解法嗎 解析 如圖 以A為原點(diǎn) AD所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系 則A 0 0 D 1 0 設(shè)AB的長(zhǎng)為a 則因?yàn)镋是CD的中點(diǎn) 所以所以即2a2 a 0 解得a 或a 0 舍去 故AB的長(zhǎng)為 互動(dòng)探究 本例 2 中其他條件不變 若AB 試求的值 解析 如圖 令 a b 則 a b 1 a與b的夾角為60 a b 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn) 所以故 規(guī)律方法 向量與平面幾何綜合問題的解法 1 坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中 則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示 這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算 從而使問題得到解決 2 基向量法適當(dāng)選取一組基底 溝通向量之間的聯(lián)系 利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解 提醒 用坐標(biāo)法解題時(shí) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵 用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕?變式訓(xùn)練 2015 臨沂模擬 在平行四邊形ABCD中 cos18 cos72 2cos63 2cos27 則四邊形ABCD的面積為 解題提示 因?yàn)镾 ABCD 2S ABC 故可先求S ABC 解析 選B 由 cos18 cos72 得 cos18 sin18 又 2sin27 2cos27 故 1 2 且cos ABC 又0 ABC 所以sin ABC 所以S ABC 所以S ABCD 2S ABC 2 加固訓(xùn)練 1 在 ABC中 若則 ABC的形狀為 A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 不能確定 解析 選B 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知 等于AC邊上的中線的二倍 所以由知AC邊的中線長(zhǎng)等于AC長(zhǎng)度的一半 所以 ABC為直角三角形 2 2014 滄州模擬 平面上O A B三點(diǎn)不共線 設(shè) a b 則 OAB的面積等于 解析 選C 由條件得cos 所以sin 所以S OAB a b sin 考點(diǎn)2向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用知 考情利用向量的共線與垂直和向量數(shù)量積之間的關(guān)系建立三角方程 或三角函數(shù)式 從而解決三角函數(shù)中的求值 求角及求最值問題 是高考考查熱點(diǎn) 以選擇題 填空題或解答題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 利用向量數(shù)量積求三角函數(shù)的值 典例2 2015 濟(jì)寧模擬 設(shè)a cos sin b cos sin 0 是平面上兩個(gè)向量 若a b 且tan 則tan 解題提示 利用已知轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù) 再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正切公式求解 規(guī)范解答 a b cos cos sin sin cos 因?yàn)? 所以 0 所以sin tan 所以tan tan 所以tan 答案 命題角度2 利用向量求角的大小 典例3 2013 江蘇高考改編 已知a cos sin b cos sin 0 若c 0 1 且a b c 則 解題提示 利用向量相等列出關(guān)于 的方程 由三角函數(shù)變換求解 規(guī)范解答 因?yàn)閍 b cos cos sin sin 0 1 所以由 1 得 cos cos 由0 所以 答案 悟 技法利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路 1 求三角函數(shù)值 一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式 利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解 2 求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題 先求值再求角 3 解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題 通 一類1 2015 日照模擬 已知向量a sin 2 與向量b cos 1 平行 則tan2 的值為 解析 因?yàn)橄蛄縜 sin 2 與b cos 1 平行 所以sin 2cos 0 即tan 2 故tan2 答案 2 2015 汕頭模擬 若向量a sin b cos 且a b 則銳角 的大小是 解析 因?yàn)閍 b 所以 sin cos 0 所以sin2 1 又 為銳角 故 答案 3 2015 淮南模擬 如圖 A B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn) C是單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn) 且 AOB 記 COA 0 AOC的面積為S 1 若f 2S 試求f 的最大值以及此時(shí) 的值 2 當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí) 求 2的值 解析 1 S 則f 因?yàn)?0 故 時(shí) f max 1 2 依題cos sin 在 BOC中 BOC 由余弦定理得 2 1 1 2 1 1 cos 考點(diǎn)3向量在解析幾何中的應(yīng)用 典例4 1 2015 綿陽模擬 已知兩點(diǎn)M 3 0 N 3 0 點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) 且 0 則動(dòng)點(diǎn)P x y 到點(diǎn)M 3 0 的距離d的最小值為 A 2B 3C 4D 6 2 2015 大連模擬 已知橢圓方程為 1 點(diǎn)A 1 1 M為橢圓上任意一點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)N滿足則N點(diǎn)的軌跡方程為 解題提示 1 利用已知求P點(diǎn)的軌跡方程 再利用幾何意義求解 2 設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)和M點(diǎn)坐標(biāo) 利用已知條件 由代入法可得N點(diǎn)軌跡方程 規(guī)范解答 1 選B 因?yàn)镸 3 0 N 3 0 所以 6 0 6 x 3 y x 3 y 由 0得 6 x 3 0 化簡(jiǎn)得y2 12x 所以點(diǎn)M是拋物線y2 12x的焦點(diǎn) 所以點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的最小值就是原點(diǎn)到M 3 0 的距離 所以dmin 3 2 設(shè)M x1 y1 N x y 則由已知得 x 1 y 1 2 x1 1 y1 1 即得因?yàn)镸點(diǎn)在橢圓上 故M點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程 所以 1 答案 1 規(guī)律方法 向量在解析幾何中的 兩個(gè) 作用 1 載體作用 向量在解析幾何問題中出現(xiàn) 多用于 包裝 解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義 運(yùn)算脫去 向量外衣 導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系 從而解決有關(guān)距離 斜率 夾角 軌跡 最值等問題 2 工具作用 利用a b a b 0 a b為非零向量 a b a b b 0 可解決垂直 平行問題 特別地 向量垂直 平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直 平行問題是一種比較優(yōu)越的方法 變式訓(xùn)練 2015 海濱模擬 已知平面上一定點(diǎn)C 2 0 和直線l x 8 P為該平面上一動(dòng)點(diǎn) 作PQ l 垂足為Q 且 0 則點(diǎn)P的軌跡方程是 解析 設(shè)P x y 則Q 8 y 由 0 得 2 2 0 即 x 2 2 y2 x 8 2 0 化簡(jiǎn)得 1 答案 1 加固訓(xùn)練 1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 若定點(diǎn)A 1 2 與動(dòng)點(diǎn)P x y 滿足 4 則點(diǎn)P的軌跡方程是 解析 因?yàn)槎c(diǎn)A 1 2 與動(dòng)點(diǎn)P x y 滿足 4 所以 x y 1 2 4 即x 2y 4 0 答案 x 2y 4 0 2 2014 蘭州模擬 已知點(diǎn)P 0 3 點(diǎn)A在x軸上 點(diǎn)Q在y軸的正半軸上 點(diǎn)M滿足當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí) 1 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 2 若EF為圓N x2 y 1 2 1的一條直徑 求的取值范圍 解析 1 設(shè)M x y 為所求軌跡上任一點(diǎn) 設(shè)A a 0 Q 0 b b 0 則 a 3 x a y x b y 由 0 得a x a 3y 0 由得 x a y x b y x y b 所以所以把a(bǔ) 代入 得整理得y x2 x 0 2 因?yàn)樗?x2 y 1 2 1 y2 2y y 1 2 1 因?yàn)閥 0 所以 y 1 2 1 0 故的取值范圍為 0 規(guī)范解答6平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的綜合問題 典例 12分 2014 山東高考 已知向量a m cos2x b sin2x n 函數(shù)f x a b 且y f x 的圖象過點(diǎn)和點(diǎn) 1 求m n的值 2 將y f x 的圖象向左平移 0 個(gè)單位后得到函數(shù)y g x 的圖象 若y g x 的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn) 0 3 的距離的最小值為1 求y g x 的單調(diào)增區(qū)間 解題導(dǎo)思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會(huì)規(guī)范 1 已知f x a b msin2x ncos2x 因?yàn)閒 x 過點(diǎn)所以 3分所以解得 4分 2 f x 6分f x 左移 個(gè)單位后得到 8分設(shè)g x 的對(duì)稱軸為x x0 因?yàn)閐 1 解得x0 0 所以g 0 2 解得 所以g x 10分 由 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z 所以g x 的單調(diào)增區(qū)間為 k k k Z 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭(zhēng)取滿分1 規(guī)范的解題思路解答綜合性問題 清晰準(zhǔn)確的解題思路是得分的關(guān)鍵 不要走彎走偏 如本例要清晰體現(xiàn) 用數(shù)量積求f x 平移變換求g x 求g x 單調(diào)區(qū)間的步驟 2 規(guī)范的解題步驟解題過程既要有體現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)鍵步驟 也要有承上啟下的輔助步驟 如本題忽視結(jié)論至少扣1分