《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級 難點自選 專題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域講義 理（普通生含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級 難點自選 專題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域講義 理（普通生含解析）.doc（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
難點自選專題一 “選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域
[全國卷3年考情分析]
題號
考卷
第11題
第12題
第15題
第16題
命題分析
2018
卷Ⅰ
直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線的幾何性質(zhì)
空間直線與平面的位置關(guān)系及其所成角的問題
計數(shù)原理與組合問題
三角函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
高考在選擇、填空壓軸題中，主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)及圓錐曲線定義、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與不等式的求解、指數(shù)、對數(shù)式大小比較、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、幾何體的表面積與體積的計算及空間角問題，而三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量也常有考查.
卷Ⅱ
函數(shù)的奇偶性與周期性
橢圓的定義與橢圓的幾何性質(zhì)
兩角和與差的公式應(yīng)用
圓錐側(cè)面積的運算及空間角的問題
卷Ⅲ
雙曲線的幾何性質(zhì)
不等式性質(zhì)及對數(shù)運算
三角函數(shù)的零點問題
拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
2017
卷Ⅰ
指數(shù)式與對數(shù)式的互化與對數(shù)運算及大小比較
等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式的運用
雙曲線的幾何性質(zhì)
三棱錐的體積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
卷Ⅱ
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
平面向量的數(shù)量積與最值
等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式、特殊數(shù)列求和
拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
卷Ⅲ
函數(shù)的零點問題
平面向量基本定理、直線與圓的位置關(guān)系
分段函數(shù)、解不等式
空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量
2016
卷Ⅰ
平面與平面平行的性質(zhì)、異面直線所成的角及等角定理
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)
等比數(shù)列通項公式、二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
線性規(guī)劃的實際應(yīng)用
卷Ⅱ
雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率的計算
函數(shù)圖象的對稱性
推理與論證
導(dǎo)數(shù)的計算與幾何意義、直線方程、斜率計算公式
卷Ⅲ
橢圓的離心率、直線斜率的應(yīng)用
計數(shù)原理與組合問題
函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
點到直線的距離公式，直線的斜率、傾斜角，直線與圓的位置關(guān)系
命題區(qū)域(一) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
本類壓軸題常以分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點的個數(shù)、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質(zhì)求解不等式問題等．要注意函數(shù)y＝f(x)與方程f(x)＝0以及不等式f(x)>0的關(guān)系，進(jìn)行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類題目的關(guān)鍵．解決該類問題的途徑往往是構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)去求解問題是常用方法．其間要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用題是導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用．
分段函數(shù)問題
[例1] 已知函數(shù)f(x)＝若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________．
[技法演示]
法一：分段處理，分類討論
記g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同時作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，如圖所示，則h(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，下面分析g(x)的單調(diào)性．因為g′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x變化時，g′(x)和g(x)變化如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
極大值
極小值
下面分析f(x)的單調(diào)性，注意到f(x)＝
結(jié)合前面g(x)與h(x)的單調(diào)性，我們可以按下述三種情況討論：
a<－1
－1≤a＜1
a≥1
①若a<－1，則f(x)在(－∞，a]上的最大值為f(a)，由g(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，f(a)＝g(a)
2，此時函數(shù)f(x)無最大值，符合題意．
②若－1≤a<1，則f(x)在(－∞，a]上的最大值為f(－1)＝2，且當(dāng)x>a時，f(x)＝h(x)a時，f(x)＝h(x)0時，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；
x∈，f′(x)<0；x∈，f′(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，且f(0)＝1>0，
故f(x)有小于零的零點，不符合題意．
當(dāng)a<0時，x∈，f′(x)<0；
x∈，f′(x)>0；
x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.
所以函數(shù)f(x)在和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以要使f(x)有唯一的零點x0，且x0>0，
只需f>0，即a2>4，解得a<－2.
法二：數(shù)形結(jié)合，曲曲與共
函數(shù)f(x)的零點，亦即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的聯(lián)結(jié)點，因此用圖象來揭開函數(shù)零點的神秘面紗成為我們解決函數(shù)零點問題常用而最有效的策略．
令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.問題轉(zhuǎn)化為g(x)＝ax3的圖象與h(x)＝3x2－1的圖象存在唯一的交點，且交點橫坐標(biāo)大于零．
當(dāng)a＝0時，函數(shù)g(x)的圖象與h(x)的圖象存在兩個的交點；
當(dāng)a>0時，如圖(1)所示，不合題意；
當(dāng)a<0時，由圖(2)知，可先求出函數(shù)g(x)＝ax3與h(x)＝3x2－1的圖象有公切線時a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由圖象可知當(dāng)a<－2時，滿足題意．
法三：參變分離，演繹高效
參變分離法，亦即將原函數(shù)中的參變量進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．巧用參數(shù)分離求解零點問題，既可以回避對參數(shù)取值的分類討論，又形象直觀，一目了然．
易知x≠0，令f(x)＝0，則a＝－，記g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞增，且g(－1)＝－2，畫出函數(shù)大致圖象如圖所示，平移直線y＝a，結(jié)合圖象，可知a<－2.
[答案] B
[系統(tǒng)歸納]
“三招”破解含參零點問題
帶參討論
若無法通過等價轉(zhuǎn)化的思想將原問題化歸為相對容易的問題，此時應(yīng)根據(jù)題設(shè)要求合理地對參數(shù)的取值進(jìn)行分類，并逐一求解．利用該策略求解時一般要求我們明確討論的標(biāo)準(zhǔn)，必須做到不重不漏．如解法一中就要考慮到a的正負(fù)對根“0”與“”大小的影響
數(shù)形結(jié)合
由兩個基本初等函數(shù)組合而得的函數(shù)f(x)＝g(x)－h(huán)(x)的零點個數(shù)，等價于方程g(x)－h(huán)(x)＝0的解的個數(shù)，亦即g(x)＝h(x)的解的個數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的圖象的交點個數(shù)
參變分離
通過將原函數(shù)中的參變量進(jìn)行分離后變形成g(x)＝l(a)，則原函數(shù)的零點問題化歸為與x軸平行的直線y＝l(a)和函數(shù)g(x)的圖象的交點問題
[應(yīng)用體驗]
2．已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為________．
解析：法一：畫出函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|的大致圖象，如圖，令g(x)＝a|x－1|，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有4個不同的交點，顯然a>0.聯(lián)立消去y，得x2＋(3－a)x＋a＝0，
由Δ>0，解得a<1或a>9；聯(lián)立消去y，得x2＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1或a<－9.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪(9，＋∞)．
法二：易知a>0，且x＝1不是方程的根．
故有a＝
＝x－1＋＋5.
設(shè)h(x)＝，
則問題等價于曲線y＝h(x)與直線y＝a有4個不同交點．作出圖象如圖所示．
顯然y＝9，y＝1是y＝h(x)的兩條切線，此時都只有3個交點．
于是，結(jié)合圖形知，當(dāng)09時，
直線y＝a與曲線y＝h(x)均有4個交點．
所以a的取值范圍為(0,1)∪(9，＋∞)．
答案：(0,1)∪(9，＋∞)
抽象函數(shù)問題
[例3] 設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[技法演示]
法一：構(gòu)造抽象函數(shù)法
觀察xf′(x)－f(x)<0這個式子的特征，不難想到商的求導(dǎo)公式，設(shè)F(x)＝.因為f(x)是奇函數(shù)，故F(x)是偶函數(shù)，F(xiàn)′(x)＝，易知當(dāng)x>0時，F(xiàn)′(x)<0，所以函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又f(－1)＝0，則f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x與F(x)的符號相同的區(qū)間，易知當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(0,1)時，f(x)>0，故選A.
法二：構(gòu)造具體函數(shù)法
題目中沒有給出具體的函數(shù)，但可以根據(jù)已知條件構(gòu)造一個具體函數(shù)，越簡單越好，因此考慮簡單的多項式函數(shù)．設(shè)f(x)是多項式函數(shù)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以它只含x的奇次項．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，檢驗知f(x)滿足題設(shè)條件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故選A.
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
1．利用和差函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)
(1)對于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)；
(2)對于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)；
特別地，對于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)；
(2)對于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(g(x)≠0)；
(3)對于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)；
(4)對于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)；
(5)對于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)；
(6)對于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)；
(7)對于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
[應(yīng)用體驗]
3．定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對任意實數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 019為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 019ex<0的解集是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C. D.
解析：選B 設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝<0，所以g(x)是R上的減函數(shù)，由于f(x)＋2 019為奇函數(shù)，所以f(0)＝－2 019，g(0)＝－2 019，因為f(x)＋2 019ex<0?<－2 019，即g(x)0，|φ|≤，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為( )
A．11 B．9
C．7 D．5
[技法演示]
法一：綜合法
由f＝0，得－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω，
則f(x)＝sin
＝(n∈Z)．
由f＝1，即sin＝sin ω＝1，
可知ω為正奇數(shù)(ω>0)．
由得
又由于ω>0，所以k只能取0，－1，－2，－3.
當(dāng)k＝0時，ω∈(－2,2)；當(dāng)k＝－1時，ω∈(2,6)；
當(dāng)k＝－2時，ω∈(6,10)；當(dāng)k＝－3時，ω∈(10,14)．
因為ω是正奇數(shù)(不超過12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．
當(dāng)ω＝11時，x∈，ωx＋ω＝11x＋∈，里面含有，則f(x)在上不可能單調(diào)，不符合題意．
當(dāng)ω＝9時，x∈，ωx＋ω＝9x＋∈，里面不含π(n∈Z)中的任何一個，
即f(x)在上單調(diào)，符合題意．
綜上，ω的最大值為9.故選B.
法二：分類討論
由題意－≤?T≥，
即≥?0<ω≤12.①
又由題意可得(n，k∈Z)，
所以φ＝＋π(n，k∈Z)．
又|φ|≤，所以－≤k＋n≤.
(1)當(dāng)k＋n＝0時，φ＝，ω＝1－4k.②
由①②可得，當(dāng)k＝－2時，ω＝9，
此時函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)k＝－1時，ω＝5，此時函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)k＝0時，ω＝1，此時f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，符合題意；
(2)當(dāng)k＋n＝－1時，φ＝－，ω＝－1－4k.③
由①③可得，當(dāng)k＝－1時，ω＝3，
此時函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)k＝－2時，ω＝7，此時函數(shù)f(x)＝sin在上不單調(diào)，舍去；
當(dāng)k＝－3時，ω＝11，此時f(x)＝sin在上不單調(diào)，舍去．
綜上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值．
[答案] B
[系統(tǒng)歸納]
三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的解題策略
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的圖象的單調(diào)性、對稱性、周期、零點等問題中涉及的結(jié)論：
①若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有兩條對稱軸x＝a，x＝b，則有|a－b|＝＋(k∈Z)；
②若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有兩個對稱中心M(a,0)，N(b,0)，則有|a－b|＝＋(k∈Z)；
③若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一條對稱軸x＝a，一個對稱中心M(b,0)，則有|a－b|＝＋(k∈Z)．
(2)研究函數(shù)在某一特定區(qū)間的單調(diào)性，若函數(shù)僅含有一個參數(shù)的時候，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)比較容易控制，但對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多個參數(shù)，并且具有周期性，很難解決，所以必須有合理的等價轉(zhuǎn)化方式才能解決．解法一嘗試正面求解ω的可能值，但因單調(diào)區(qū)間的條件不好使用，仍然采取代入驗證的方法解決．
[應(yīng)用體驗]
1．若函數(shù)f(x)＝cos 2x＋asin x在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．
解析：法一：導(dǎo)數(shù)法
對f(x)＝cos 2x＋asin x求導(dǎo)，得f′(x)＝－2sin 2x＋acos x．因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以f′(x)≤0在上恒成立，即acos x≤2sin 2x＝4sin xcos x，而cos x>0，所以a≤4sin x．在區(qū)間上，0)，且∠A＝θ，θ∈(0，π)，則△ABC的面積的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)另外兩個角相等時取等號．
[應(yīng)用體驗]
2．(2018濰坊統(tǒng)一考試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且＝，則△ABC面積的最大值為________．
解析：因為＝，
所以＝(2c－b)，
由正弦定理得
sin Bsin Acos B＝(2sin C－sin B)sin Bcos A，
又sin B≠0，所以sin Acos B＝(2sin C－sin B)cos A，
所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，
sin(A＋B)＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A，
又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝，
設(shè)外接圓的半徑為r，則r＝1，
由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsin A)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立)，所以bc≤3，
所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤.
答案：
平面向量數(shù)量積問題
[例3] 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60，動點E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則的最小值為________．
[技法演示]
法一：基底法
選取{，}為一組基底，由題意易求DC＝1，||＝2，||＝1，＝21cos 120＝－1，＝＋＝＋λ，＝＋＋＝＋－＝＋.
于是＝(＋λ)＋ ＝4－1－＋λ＝＋＋≥＋2 ＝(λ>0)，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即λ＝時等號成立，故的最小值為.
法二：坐標(biāo)法
以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因為AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60，所以DC＝1，即B(2,0)，D，C.
因為＝λ，＝，
所以E，F(xiàn)，
＝，＝.
所以＝＋λ＝＋＋≥＋2＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即λ＝時等號成立，
故的最小值為.
[答案]
[系統(tǒng)歸納]
向量數(shù)量積問題的解題策略
基底法
根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征選擇一組基底，將有關(guān)的向量用基底表示，進(jìn)行求解
坐標(biāo)法
分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，建立平面直角坐標(biāo)系，將所涉及的向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運算進(jìn)行解答
[應(yīng)用體驗]
3．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則＝________；的最大值為________．
解析：法一：如圖，以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則E(t,0)，t∈[0,1]，＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以＝(t，－1)(0，－1)＝1.因為＝(1,0)，所以＝(t，－1)(1,0)＝t≤1，故 的最大值為1.
法二：由圖知，無論E點在哪個位置，在方向上的投影都是||＝1，所以＝||1＝1，當(dāng)點E運動到B點時，在方向上的投影最大即為||＝1，所以()max＝||1＝1.
答案：1 1
命題區(qū)域(三) 立體幾何
此類壓軸題主要考查以立體幾何為背景的新穎問題．以立體幾何為背景的新穎問題常見的有折疊問題、與函數(shù)圖象相結(jié)合問題、最值問題、探索性問題等．(1)對探索、開放、存在型問題的考查：探索性試題使問題具有不確定性、探究性和開放性，對學(xué)生的能力要求較高，有利于考查學(xué)生的探究能力以及思維的創(chuàng)造性，是新課程高考命題改革的重要方向之一；開放性問題，一般將平面幾何問題類比推廣到立體幾何中．(2)對折疊、展開問題的考查：圖形的折疊與展開問題(三視圖問題可看作是特殊的圖形變換)蘊涵了“二維——三維——二維”的維數(shù)升降變化，求解時須對變化前后的圖形作“同中求異、異中求同”的思辨，考查空間想象能力和分析辨別能力，是立體幾何中的重要題型．
空間中線面位置關(guān)系與計算
[例1] 平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面α∥平面CB1D1，平面α∩平面ABCD＝m，平面α∩平面ABB1A1＝n，則直線m，n所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
[技法演示]
法一：割補法
我們先嘗試把m，n這兩條直線都作出來，易知這個平面α一定在正方體外，所以要往上補形，如圖所示，過點A在正方體ABCDA1B1C1D1的上方補作一個與正方體ABCDA1B1C1D1相同棱長的正方體ABCDA2B2C2D2，可證平面AB2D2就是平面α，n就是AB2.因為平面ABCD∥平面A2B2C2D2，所以B2D2∥m，說明m應(yīng)該是經(jīng)過點A且在平面ABCD內(nèi)與B2D2平行的直線，則直線m，n所成的角就是∠AB2D2，因為△AB2D2為等邊三角形，所以sin∠AB2D2＝sin＝，故選A.
法二：平移法1
事實上對法一可進(jìn)行適當(dāng)簡化，無須補形也可以．設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，因為平面α∩平面ABCD＝m，平面α∥平面CB1D1，所以m∥m′.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m′，所以B1D1∥m.同理可得CD1∥n，故直線m，n所成角即為直線B1D1，CD1所成的角∠CD1B1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1C＝B1D1＝CD1，所以∠CD1B1＝，所以sin∠CD1B1＝，故選A.
法三：平移法2
與法二類似，我們嘗試在正方體內(nèi)部構(gòu)造一個平面與平面α平行，也即與平面CB1D1平行．
如圖所示，讓點A在平面ABCD內(nèi)運動，不妨讓點A在對角線AC上運動，易知平面BA1D與平面CB1D1平行，則直線m，n所成的角就是∠DBA1，其正弦值為，故選A.
法四：向量法
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，易求得平面CB1D1的一個法向量s＝(1，－1，1)．因為平面α∩平面ABCD＝m，所以直線m的方向向量m＝x＋y＝(－y，x,0)．又平面α∥平面CB1D1，所以ms＝0，即－y－x＝0，故m＝(x，x,0)；同理，因為平面α∩平面ABB1A1＝n，所以直線n的方向向量n＝λ＋μ＝(0，λ，－μ)．又平面α∥平面CB1D1，所以ns＝0，即λ＋μ＝0，故n＝(0，λ，λ)．記異面直線m，n所成角為θ，所以cos θ＝＝＝，故直線m，n所成角的正弦值為，選A.
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
異面直線所成角問題的解題策略
(1)平移化歸是關(guān)鍵：求異面直線所成角，關(guān)鍵是將兩條異面的直線平移到相交狀態(tài)，作出等價的平面角，再解三角形即可，常規(guī)步驟是“一作二證三計算”，而第一步最為關(guān)鍵，平移誰，怎么平移都要視題目條件而定；
(2)向量計算要快要準(zhǔn)：空間向量方法的最大好處是降低了對空間想象能力的要求，但相應(yīng)地對計算能力要求就高了，要求我們熟練地求解空間的點、向量的坐標(biāo)，計算要準(zhǔn)確．
[應(yīng)用體驗]
1．已知四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥底面ABC，G為△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為，則球O的表面積為________．
解析：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，取BC的中點E，連接AE，重心G為AE的三等分點，AE＝＝3，AG＝2，由于AD⊥底面ABC，直線DG與底面ABC所成角的正切值為，所以tan∠DGA＝＝，DA＝1，在等腰△ABC中，cos∠ACB＝＝，sin∠ACB＝，所以△ABC的外接圓直徑2r＝＝＝，r＝，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，四面體ABCD的球心為O，在Rt△AOO1中，R2＝OA2＝AO＋2＝2＋2＝，球的表面積為S＝4πR2＝π.
答案：π
空間最值問題
[例2] 如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________．
[技法演示]
法一：平面幾何法
由題意可知四面體PBCD的體積最大時，應(yīng)有平面PBD⊥平面BCD.如圖，過點P作PF⊥BD，垂足為F，則PF⊥平面BCD，則VPBCD＝S△BCDPF.由翻折過程可知AF＝PF，則VPBCD＝S△BCDAF，這樣就將空間問題轉(zhuǎn)化為△ABC內(nèi)的問題．等腰△ABC的底邊AC邊上的高h(yuǎn)＝ABsin 30＝1，VPBCD＝DChAF＝DCAF.
DC與AF不在同一個三角形中，用哪個變量能表示兩者呢？注意到當(dāng)點D在AC上運動時，∠ADB也是在變化的，因此可以取∠ADB為自變量，產(chǎn)生下面的解法．
如圖，因為S△ABD＝BDAF＝ADh，則AF＝，得VPBCD＝DC.設(shè)∠ADB＝α，由正弦定理得＝2sin(150－α)，DC＝，則VPBCD＝＝－＝，易知函數(shù)f(x)＝x－在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，于是VPBCD≤＝.
法二：構(gòu)造法
換個角度看問題，我們把△ABC“立起來”，如圖，設(shè)BO⊥平面ACP，考慮以B為頂點，△ACP的外接圓⊙O為底面的圓錐，易得AC＝2，則OB＝≤ ＝1.設(shè)∠PDA＝θ，θ∈(0，π)，AD＝x(00，b>0)的左、右焦點，點M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則雙曲線E的離心率為( )
A. B.
C. D．2
[技法演示]
法一：定義法
因為△MF1F2是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，
所以|MF1|＝|MF2|sin∠MF2F1＝|MF2|，
即|MF2|＝3|MF1|.①
由雙曲線的定義可知|MF2|－|MF1|＝2a.②
由①和②可求得|MF1|＝a，|MF2|＝3a.
在Rt△MF1F2中，由勾股定理得|MF2|2－|MF1|2＝|F1F2|2，即(3a)2－a2＝(2c)2，化簡得2a2＝c2，即2＝2，從而可知e＝.故選A.
法二：利用正弦定理
在Rt△MF1F2中，sin ∠F1MF2＝sin(90－∠MF2F1)＝cos∠MF2F1＝，sin∠MF1F2＝1.由正弦定理得e＝＝＝＝.故選A.
法三：利用直角三角形的三角函數(shù)
設(shè)點M(－c，y0)，則－＝1，
由此解得y＝|MF1|2＝b2＝.
∵△MF1F2是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，
∴cos∠MF2F1＝，tan∠MF2F1＝，從而可得＝?＝?＝＝8，即＝8，化簡整理得2c4－5a2c2＋2a4＝0，兩邊同除以a4，得24－52＋2＝0，
即 ＝0，
∵>1，∴2＝2，即e＝.
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
圓錐曲線離心率問題的求解策略
(1)雙曲線(橢圓)的定義可直接建立“焦點三角形”的兩邊關(guān)系．用好這一隱含條件，可為三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了雙曲線的定義將離心率e寫成，轉(zhuǎn)化為“焦點三角形”的三邊關(guān)系，從而利用正弦定理再轉(zhuǎn)化到已知的角上去．
(2)在求解圓錐曲線(主要指的是橢圓和雙曲線)的離心率問題時，要把握一個基本思想，就是充分利用已知條件和挖掘隱含條件建立起a與c的關(guān)系式．
[注意] 在求離心率的值時需建立等量關(guān)系式，在求離心率的范圍時需建立不等量關(guān)系式．
[應(yīng)用體驗]
1．已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點為F，若在E的漸近線上存在點P，使得PA⊥FP，則E的離心率的取值范圍是( )
A．(1,2) B.
C．(2，＋∞) D.
解析：選B 雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A(a,0)，拋物線C：y2＝8ax的焦點為F(2a,0)，雙曲線的漸近線方程為y＝x，可設(shè)P，則有＝，＝，由PA⊥FP，得＝0，即(m－a)(m－2a)＋m2＝0，整理得m2－3ma＋2a2＝0，由題意可得Δ＝9a2－41＋2a2≥0，即a2≥8b2＝8(c2－a2)，即8c2≤9a2，則e＝≤.又e>1，所以1b>0)．
過點M作MN⊥AB，垂足為N，設(shè)M(x，y)．
根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令y>0，
設(shè)∠AMN＝α，∠BMN＝β，
則tan α＝，tan β＝.
又點M在橢圓上，所以x2＝a2－.
則tan(α＋β)＝＝
＝＝
＝＝.
又y∈[－b，b]，所以當(dāng)y＝b時，α＋β取最大值，即M為橢圓短軸頂點P時，∠APB最大．由此，我們可以得到本題的如下解法．
先考慮橢圓的焦點在x軸上的情況，則03時，焦點在y軸上，要使C上存在點M滿足∠AMB＝120，則≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
法二：二級結(jié)論法
橢圓上任意一點與橢圓長軸的兩個端點連線的斜率之積為定值－.
這一結(jié)論不難證明：設(shè)M(x，y)為橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點，A，B分別為橢圓的左、右兩個端點，則kMAkMB＝＝.因為點M在橢圓上，所以y2＝(a2－x2)，從而kMAkMB＝＝－.由此可以得到本題的如下解法．
當(dāng)00，
x1＋x2＝，x1x2＝，
∵|AB|＝，∴ |x1－x2|＝，
即(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
∴(4k2－1)(14k2＋13)＝0，解得k2＝.
又＋＝t，
即(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，且k≠0，t≠0，
∴x＝＝，
y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵點P在橢圓上，∴＋2＝2，
又k2＝，解得t＝.
圓錐曲線中與面積相關(guān)的問題
[例3] 已知F是拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，＝2(其中O為坐標(biāo)原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
[技法演示]
法一：利用基本不等式
依題意，不妨設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>0，y2<0.由＝2，得x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，由此解得y1y2＝－2，△ABO與△AFO面積之和等于|x1y2－x2y1|＋y1＝|yy2－yy1|＋y1＝2(y1－y2)＋y1＝y(tǒng)1＋(－y2)≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝－y2＝時取等號，因此△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，選B.
該方法中用到這樣一個公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則S△AOB＝|x1y2－x2y1|，證明如下：
設(shè)∠AOB＝θ，則S△AOB＝||||sin θ
＝
＝
＝
＝ ＝|x1y2－x2y1|.
法二：雙根法
設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2<0，由得y2－ty－m＝0，y1y2＝－m，又＝2，因此x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.又y1y2＝－m<0，因此y1y2＝－m＝－2，m＝2，直線AB：x＝ty＋2過定點(2,0)，S△ABO＝2|y1－y2|＝，S△AFO＝|y1|＝|y1|，S△ABO＋S△AFO＝＋|y1|＝|y1|＋≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝，即|y1|＝時取等號，
因此△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，選B.
[答案] B
[系統(tǒng)歸納]
圓錐曲線中與面積相關(guān)問題的解題規(guī)律
(1)三角形面積的向量公式：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則S△ABC＝|x1y2－x2y1|，用此公式便于建立目標(biāo)函數(shù)求最值；
(2)直線方程的選擇：對于不同的直線方程，其中所含的參數(shù)意義不同，形成不同的解題長度．為了消元、計算的方便，可將經(jīng)過定點(m,0)的動直線設(shè)為x＝ty＋m的形式，避免了對斜率存在性的討論．如本題法二．
[應(yīng)用體驗]
3．已知橢圓E的方程為＋y2＝1，O為坐標(biāo)原點，直線l與橢圓E交于A，B兩點，M為線段AB的中點，且|OM|＝1，則△AOB面積的最大值為________．
解析：設(shè)直線l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由整理得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0.①
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，x1＋x2＝.
由中點坐標(biāo)公式可知x0＝，y0＝，
即M.
因為|OM|＝1，所以n2＝.②
設(shè)直線l與x軸的交點為D(n,0)，
則△AOB的面積S＝|OD||y1－y2|＝|n||y1－y2|.
S2＝n2(y1－y2)2＝，
設(shè)t＝m2＋4(t≥4)，
則S2＝48＝
≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝12時，等號成立，
此時m2＝8，n2＝6，
即S2取得最大值1.
故△AOB的面積的最大值為1.
答案：1
A組——選擇壓軸小題命題點專練
1．(2018全國卷Ⅰ)已知角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝( )
A. B.
C. D．1
解析：選B 由cos 2α＝，
得cos2 α－sin2α＝，∴＝，
即＝，∴tan α＝，
即＝，∴|a－b|＝.故選B.
2．(2019屆高三廣州調(diào)研)若將函數(shù)y＝2sinsin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則φ的最小值為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 由y＝2sinsin，可得y＝2sincos＝sin，該函數(shù)的圖象向左平移φ個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)＝sin＝sin，因為g(x)＝sin為奇函數(shù)，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值為，選A.
3.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC(0
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通用版2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
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專題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域講義
理普通生，含解析
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