高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)課件 新人教B版選修2-2.ppt

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1 3 2函數(shù)的極值與導數(shù) 函數(shù)的極值與導數(shù) 內(nèi)容 函數(shù)極值的概念及其與導數(shù)的關系 應用 求函數(shù)的極值 給函數(shù)的極值求函數(shù)的解析式 給函數(shù)的極值求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 本課主要學習函數(shù)的極值與導數(shù) 以視頻擺錘極限轉動最高點引入新課 接著探討在跳水運動中 運動員相對于水面的高度與起跳后的時間的函數(shù)圖象 從圖象的增與減定義函數(shù)極大值的概念 類似地借助函數(shù)圖象定義函數(shù)極小值的概念 探討判斷函數(shù)極值的方法和步驟 重點是理解函數(shù)極值的概念 會用導數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值 掌握利用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)極值的一般方法 難點是函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件 為了鞏固新知識 給出3個例題和變式 通過解決問題說明導數(shù)在求函數(shù)極值問題中的應用 在講述函數(shù)的極值與導數(shù)時 采用例題與變式結合的方法 通過例1和變式1探討求已知函數(shù)極值的方法 例2和變式2 例3和變式3都是利用已知的極值點求函數(shù)的解析式或函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 采用一講一練針對性講解的方式 重點理解導數(shù)在求函數(shù)極值中應用 通過觀看視頻 大家一起討論一下擺錘極限轉動最高點問題 擺錘極限轉動最高點 跳水運動中 運動員相對于水面的高度h 單位 米 與起跳后的時間t 單位 秒 存在函數(shù)關系h t 4 9t2 6 5t 10 其圖象如右 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 對于d點 函數(shù)y f x 在點x d的函數(shù)值f d 比在其附近其他點的函數(shù)值都小 0 在點x d附近的左側0 我們把點d叫做函數(shù)y f x 的極小值點 f d 叫做函數(shù)y f x 的極小值 在點x e附近的左側 0在點x e附近的右側 0 對于e點 函數(shù)y f x 在點x e的函數(shù)值f e 比在其附近其他點的函數(shù)值都大 0 我們把點e叫做函數(shù)y f x 的極大值點 f e 叫做函數(shù)y f x 的極大值 極小值點 極大值點統(tǒng)稱為極值點 極小值 極大值統(tǒng)稱為極值 極大值一定大于極小值嗎 不一定 觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)關系的研究方法 看極值與導數(shù)之間有什么關系 f x 0 f x 0 f x 0 極大值 f x 0 f x 0 極小值 f x 0 請問如何判斷f x0 是極大值或是極小值 左正右負為極大 右正左負為極小 函數(shù)y f x 的導數(shù)y 與函數(shù)值和極值之間的關系為 A 導數(shù)y 由負變正 則函數(shù)y由減變?yōu)樵?且有極大值B 導數(shù)y 由負變正 則函數(shù)y由增變?yōu)闇p 且有極大值C 導數(shù)y 由正變負 則函數(shù)y由增變?yōu)闇p 且有極小值D 導數(shù)y 由正變負 則函數(shù)y由增變?yōu)闇p 且有極大值 D 例1 求函數(shù)f x x3 12x 12的極值 解 3x2 12 3 x 2 x 2 令 0 得x 2 或x 2 下面分兩種情況討論 1 當 0即x 2 或x 2時 2 當 0即 2 x 2時 當x變化時 f x 的變化情況如下表 因此 當x 2時 f x 有極大值 并且極大值為f 2 28 當x 2時 f x 有極小值 并且極小值為f 2 4 圖象如右 練習1 求函數(shù)f x 6 12x x3的極值 12 3x2 3 4 x2 3 2 x 2 x 一般地 求函數(shù)的極值的方法是 解方程 0 當 0時 如果在x0附近的左側右側那么 f x0 是極大值 如果在x0附近的左側右側那么 f x0 是極小值 即 峰頂 即 谷底 例2 已知函數(shù)f x ax3 bx2 2x在x 2 x 1處取得極值 1 求函數(shù)的解析式 2 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 解 1 3ax2 2bx 2 因為f x 在x 2 x 1處取得極值 所以 解得 3ax2 2bx 2 即 f x ax3 bx2 2x 2 x2 x 2 由 0 得x1 所以f x 的單調(diào)增區(qū)間為 2 1 由 0 得 2 x 1 所以f x 的單調(diào)減區(qū)間為 2 1 探索 x 0是否為函數(shù)f x x3的極值點 若尋找可導函數(shù)極值點 可否只由f x 0求得即可 f x 3x2當f x 0時 x 0 而x 0不是該函數(shù)的極值點 f x0 0 x0是可導函數(shù)f x 的極值點 x0左右側導數(shù)異號x0是函數(shù)f x 的極值點f x0 0 注意 f x0 0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 導數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎 例3 已知f x ax5 bx3 c在x 1處有極值 且極大值為4 極小值為0 試確定a b c的值 解 由題意 應有根 故5a 3b 于是 1 設a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 設a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 練習2 已知函數(shù)f x x3 ax2 bx a2在x 1處有極值為10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一個根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 當a 3 b 3時 此時f x 在x 1處無極值 不合題意 當a 4 b 11時 當 11 31時 此時x 1是極值點 從而所求的解為a 4 b 11 一般地 求函數(shù)的極值的方法是 解方程 0 當 0時 如果在x0附近的左側右側那么 f x0 是極大值 如果在x0附近的左側右側那么 f x0 是極小值 即 峰頂 即 谷底 A 注意 數(shù)形結合以及原函數(shù)與導函數(shù)圖像的區(qū)別 必做題 2 函數(shù)在時有極值10 則a b的值為 A 或B 或C D 以上都不對 C 注意 f x0 0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件 注意代入檢驗 3 求下列函數(shù)的極值 1 函數(shù)f x x3 3ax2 3 a 2 x 3既有極大值 又有極小值 則a的取值范圍為 注意 導數(shù)與方程 不等式的結合應用 選做題 略解 1 由圖像可知 2 注意 數(shù)形結合以及函數(shù)與方程思想的應用