高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題7 第30練 橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型課件 理.ppt

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專題7解析幾何 第30練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型 題型分析 高考展望 橢圓問題在高考中占有比較重要的地位 并且占的分值也較多 分析歷年的高考試題 在選擇題 填空題 解答題中都涉及到橢圓的題 所以我們對橢圓知識必須系統(tǒng)的掌握 對各種題型 基本的解題方法也要有一定的了解 常考題型精析 高考題型精練 題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題 題型二直線與橢圓相交問題 題型三利用 點差法 設(shè)而不求思想 解題 ?？碱}型精析 題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題 例1如圖 焦點在x軸上的橢圓的離心率e F A分別是橢圓的一個焦點和頂點 P是橢圓上任意一點 求的最大值和最小值 解設(shè)P點坐標(biāo)為 x0 y0 由題意知a 2 點評熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本 利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題 最值問題 利用a b c之間的關(guān)系和橢圓的對稱性可構(gòu)造方程 1 求E的方程 2 設(shè)過點A的動直線l與E相交于P Q兩點 當(dāng) OPQ的面積最大時 求l的方程 解當(dāng)l x軸時不合題意 故設(shè)l y kx 2 P x1 y1 Q x2 y2 1 4k2 x2 16kx 12 0 且滿足 0 題型二直線與橢圓相交問題 例2 2015 山東 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知橢圓C a b 0 的離心率為 左 右焦點分別是F1 F2 以F1為圓心 以3為半徑的圓與以F2為圓心 以1為半徑的圓相交 且交點在橢圓C上 1 求橢圓C的方程 解由題意知2a 4 則a 2 2 設(shè)橢圓E P為橢圓C上任意一點 過點P的直線y kx m交橢圓E于A B兩點 射線PO交橢圓E于點Q 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 將y kx m代入橢圓E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 因為直線y kx m與y軸交點的坐標(biāo)為 0 m 將y kx m代入橢圓C的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 由 可知0 t 1 由 知 ABQ面積為3S 點評解決直線與橢圓相交問題的一般思路 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立 轉(zhuǎn)化為一元二次方程 由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決 求范圍或最值問題 也可考慮求 交點 由 交點 在橢圓內(nèi) 外 得出不等式 解不等式 變式訓(xùn)練2 2014 四川 已知橢圓C 1 a b 0 的焦距為4 其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 解得a2 6 b2 2 2 設(shè)F為橢圓C的左焦點 T為直線x 3上任意一點 過F作TF的垂線交橢圓C于點P Q 證明OT平分線段PQ 其中O為坐標(biāo)原點 證明由 1 可得F的坐標(biāo)是 2 0 設(shè)T點的坐標(biāo)為 3 m 直線PQ的方程是x my 2 當(dāng)m 0時 直線PQ的方程是x 2 也符合x my 2的形式 消去x 得 m2 3 y2 4my 2 0 其判別式 16m2 8 m2 3 0 所以點M在直線OT上 因此OT平分線段PQ 當(dāng)最小時 求點T的坐標(biāo) 題型三利用 點差法 設(shè)而不求思想 解題 兩式相減并整理可得 點評當(dāng)涉及平行弦的中點軌跡 過定點的弦的中點軌跡 過定點且被定點平分的弦所在直線方程時 用 點差法 來求解 變式訓(xùn)練3已知橢圓 1 a b 0 的一個頂點為B 0 4 離心率e 直線l交橢圓于M N兩點 1 若直線l的方程為y x 4 求弦 MN 的長 則4x2 5y2 80與y x 4聯(lián)立 2 如果 BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F 求直線l方程的一般式 解如圖 橢圓右焦點F的坐標(biāo)為 2 0 設(shè)線段MN的中點為Q x0 y0 由三角形重心的性質(zhì)知 又B 0 4 2 4 2 x0 2 y0 故得x0 3 y0 2 即得Q的坐標(biāo)為 3 2 設(shè)M x1 y1 N x2 y2 則x1 x2 6 y1 y2 4 即6x 5y 28 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以c 2 a 4 將x 2代入橢圓方程 解得y 3 所以 AB 6 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 令 122 4 9 r2 46 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由題意設(shè)焦距為2c 橢圓的長軸長為2a 雙曲線的實軸長為2m 不妨令P在雙曲線的右支上 由雙曲線的定義知 PF1 PF2 2m 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由橢圓的定義知 PF1 PF2 2a 又PF1 PF2 F1PF2 90 PF1 2 PF2 2 4c2 式的平方加上 式的平方得 PF1 2 PF2 2 2a2 2m2 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 解析設(shè)M x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 x0 a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 c2 b2 2c2 c2 a2 c2 2c2 2c2 a2 3c2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 6 2014 遼寧 已知橢圓C 點M與C的焦點不重合 若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A B 線段MN的中點在C上 則 AN BN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如圖 設(shè)MN的中點為D 則 DF1 DF2 2a 6 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D F1 F2分別為MN AM BM的中點 BN 2 DF2 AN 2 DF1 AN BN 2 DF1 DF2 12 答案12 高考題型精練 7 2014 江西 過點M 1 1 作斜率為 的直線與橢圓C a b 0 相交于A B兩點 若M是線段AB的中點 則橢圓C的離心率等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x1 x2 2 y1 y2 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a2 2b2 又 b2 a2 c2 a2 2 a2 c2 a2 2c2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 9 2014 江蘇 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 F1 F2分別是橢圓1 a b 0 的左 右焦點 頂點B的坐標(biāo)為 0 b 連接BF2并延長交橢圓于點A 過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C 連接F1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解設(shè)橢圓的焦距為2c 則F1 c 0 F2 c 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若F1C AB 求橢圓離心率e的值 解因為B 0 b F2 c 0 在直線AB上 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又AC垂直于x軸 由橢圓的對稱性 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 高考題型精練 10 2015 重慶 如圖 橢圓 1 a b 0 的左 右焦點分別為F1 F2 過F2的直線交橢圓于P Q兩點 且PQ PF1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解由橢圓的定義 得 高考題型精練 設(shè)橢圓的半焦距為c 由已知PF1 PF2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 2 若 PF1 PQ 求橢圓的離心率e 解方法一如圖 設(shè)點P x0 y0 在橢圓上 且PF1 PF2 則 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 PF1 PQ PF2 得x0 0 從而 由橢圓的定義 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 從而由 PF1 PQ PF2 QF2 有 QF1 4a 2 PF1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二如圖 由橢圓的定義 得 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 從而由 PF1 PQ PF2 QF2 有 QF1 4a 2 PF1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解過點 c 0 0 b 的直線方程為bx cy bc 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易知 AB與x軸不垂直 設(shè)其方程為y k x 2 1 代入 得 1 4k2 x2 8k 2k 1 x 4 2k 1 2 4b2 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 從而x1x2 8 2b2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得b2 3 方法二由 1 知 橢圓E的方程為x2 4y2 4b2 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兩式相減并結(jié)合x1 x2 4 y1 y2 2 得 4 x1 x2 8 y1 y2 0 易知AB與x軸不垂直 則x1 x2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 代入 得x2 4x 8 2b2 0 所以x1 x2 4 x1x2 8 2b2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 安徽 設(shè)橢圓E的方程為 a b 0 點O為坐標(biāo)原點 點A的坐標(biāo)為 a 0 點B的坐標(biāo)為 0 b 點M在線段AB上 滿足 BM 2 MA 直線OM的斜率為 1 求E的離心率e 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 設(shè)點C的坐標(biāo)為 0 b N為線段AC的中點 證明 MN AB 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 1 的計算結(jié)果可知a2 5b2