高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件 理.ppt

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第六章數(shù)列 6 1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 高頻小考點(diǎn) 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 1 數(shù)列的定義按照排列的一列數(shù)稱為數(shù)列 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的 一定次序 項(xiàng) 2 數(shù)列的分類 有限 無(wú)限 知識(shí)梳理 1 答案 答案 3 數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法 它們分別是 和 4 數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列 an 的第n項(xiàng)與之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示 那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 5 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 則an 列表法 圖象法 解析法 序號(hào)n 答案 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá) 2 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè) 3 1 1 1 1 不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 4 任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列 就是遞減數(shù)列 5 如果數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則對(duì) n N 都有an 1 Sn 1 Sn 6 在數(shù)列 an 中 對(duì)于任意正整數(shù)m n am n amn 1 若a1 1 則a2 2 思考辨析 答案 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 把1 3 6 10 15 21 這些數(shù)叫做三角形數(shù) 這是因?yàn)橛眠@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形 如圖 則第7個(gè)三角形數(shù)是 解析根據(jù)三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律可知第七個(gè)三角形數(shù)是1 2 3 4 5 6 7 28 28 解析答案 1 2 3 4 5 3 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和記為Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n 1 n N 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是 解析由an 1 2Sn 1可得an 2Sn 1 1 n 2 兩式相減得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又a2 2S1 1 3 a3 3 a2 32 a1 32 a4 3a3 33 an 3an 1 3n 1 an 3n 1 解析答案 1 2 3 4 5 4 根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù) 寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an 5n 4 1 2 3 4 5 答案 5 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn n2 1 則an 解析當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 解析答案 返回 1 2 3 4 5 題型分類深度剖析 解析注意到分母0 2 4 6都是偶數(shù) 對(duì)照所給項(xiàng)排除即可 題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解析答案 解析答案 思維升華 思維升華 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí) 需仔細(xì)觀察分析 抓住其幾方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征 拆項(xiàng)后的各部分特征 符號(hào)特征 應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比 分析 從整體到局部多角度觀察 歸納 聯(lián)想 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng) 寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 1 1 7 13 19 解數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(guò) 1 n表示 從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6 故通項(xiàng)公式為an 1 n 6n 5 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 2 0 8 0 88 0 888 解析答案 解各項(xiàng)的分母分別為21 22 23 24 易看出第2 3 4項(xiàng)的分子分別比分母小3 解析答案 例2設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 數(shù)列 Sn 的前n項(xiàng)和為Tn 滿足Tn 2Sn n2 n N 1 求a1的值 解令n 1時(shí) T1 2S1 1 因?yàn)門1 S1 a1 所以a1 2a1 1 所以a1 1 題型二由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解析答案 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解析答案 思維升華 解n 2時(shí) Tn 1 2Sn 1 n 1 2 則Sn Tn Tn 1 2Sn n2 2Sn 1 n 1 2 2 Sn Sn 1 2n 1 2an 2n 1 因?yàn)楫?dāng)n 1時(shí) a1 S1 1也滿足上式 所以Sn 2an 2n 1 n 1 當(dāng)n 2時(shí) Sn 1 2an 1 2 n 1 1 兩式相減得an 2an 2an 1 2 所以an 2an 1 2 n 2 所以an 2 2 an 1 2 解析答案 思維升華 因?yàn)閍1 2 3 0 所以數(shù)列 an 2 是以3為首項(xiàng) 公比為2的等比數(shù)列 所以an 2 3 2n 1 所以an 3 2n 1 2 當(dāng)n 1時(shí)也成立 所以an 3 2n 1 2 思維升華 思維升華 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an 當(dāng)n 1時(shí) a1若適合Sn Sn 1 則n 1的情況可并入n 2時(shí)的通項(xiàng)an 當(dāng)n 1時(shí) a1若不適合Sn Sn 1 則用分段函數(shù)的形式表示 解析a4 S4 S3 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 3n2 2n 1 則其通項(xiàng)公式為 解析當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 3 12 2 1 1 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 顯然當(dāng)n 1時(shí) 不滿足上式 解析答案 例3 1 設(shè)數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 則通項(xiàng)an 解析由題意得 當(dāng)n 2時(shí) an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 解析答案 2 數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an 解析答案 思維升華 解析方法一 累乘法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 解析答案 思維升華 即an 1 2 3n 1 n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也滿足上式 故數(shù)列 an 的一個(gè)通項(xiàng)公式為an 2 3n 1 1 解析答案 思維升華 方法二 迭代法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也滿足上式 故數(shù)列 an 的一個(gè)通項(xiàng)公式為an 2 3n 1 1 答案2 3n 1 1 思維升華 思維升華 已知數(shù)列的遞推關(guān)系 求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí) 通常用累加 累乘 構(gòu)造法求解 當(dāng)出現(xiàn)an an 1 m時(shí) 構(gòu)造等差數(shù)列 當(dāng)出現(xiàn)an xan 1 y時(shí) 構(gòu)造等比數(shù)列 當(dāng)出現(xiàn)an an 1 f n 時(shí) 用累加法求解 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且Sn 2an 1 n N 則a5 解析當(dāng)n 1時(shí) S1 2a1 1 a1 1 當(dāng)n 2時(shí) Sn 1 2an 1 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比數(shù)列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 16 解析答案 命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性 1 求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 解a1 2 an Sn Sn 1 2n 1 n 2 題型四數(shù)列的性質(zhì) 解析答案 2 判斷數(shù)列 cn 的增減性 解 cn bn 1 bn 2 b2n 1 cn 1 cn 數(shù)列 cn 為遞減數(shù)列 解析答案 命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性 解析答案 解析答案 周期T n 1 n 2 3 a8 a3 2 2 a2 2 命題點(diǎn)3數(shù)列的最值 解析答案 思維升華 思維升華 1 解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題可用以下三種方法 1 用作差比較法 根據(jù)an 1 an的符號(hào)判斷數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 遞減數(shù)列或是常數(shù)列 2 用作商比較法 根據(jù) an 0或an 0 與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷 3 結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷 2 解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 確定數(shù)列的周期 再根據(jù)周期性求值 3 數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解 an 為周期數(shù)列且T 4 跟蹤訓(xùn)練4 解析答案 2 設(shè)an 3n2 15n 18 則數(shù)列 an 中的最大項(xiàng)的值是 由二次函數(shù)性質(zhì) 得當(dāng)n 2或3時(shí) an最大 最大值為0 0 解析答案 返回 高頻小考點(diǎn) 典例 1 將石子擺成如圖所示的梯形形狀 稱數(shù)列5 9 14 20 為 梯形數(shù) 根據(jù)圖形的構(gòu)成 此數(shù)列的第2014項(xiàng)與5的差 即a2014 5 用式子表示 高頻小考點(diǎn) 5 數(shù)列中的新定義問(wèn)題 思維點(diǎn)撥觀察圖形 易得an an 1 n 2 n 2 可利用累加法求解 解析答案 思維點(diǎn)撥 解析因?yàn)閍n an 1 n 2 n 2 a1 5 所以a2014 a2014 a2013 a2013 a2012 a2 a1 a1 2016 2015 4 5 所以a2014 5 1010 2013 答案1010 2013 思維點(diǎn)撥由 減差數(shù)列 的定義 可得關(guān)于bn的不等式 把bn的通項(xiàng)公式代入 化歸為不等式恒成立問(wèn)題求解 溫馨提醒 解析答案 返回 思維點(diǎn)撥 解析由數(shù)列b3 b4 b5 是 減差數(shù)列 溫馨提醒 解析答案 化簡(jiǎn)得t n 2 1 則t的取值范圍是 1 答案 1 溫馨提醒 解決數(shù)列的新定義問(wèn)題要做到 1 準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化 解決數(shù)列新定義問(wèn)題時(shí) 一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義 將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式 切忌同已有概念或定義相混淆 2 方法選取 對(duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題 搞清定義是關(guān)鍵 仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng) 特殊處 簡(jiǎn)單處 體會(huì)題意 從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法 溫馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng) 通常用觀察法 對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用 1 n或 1 n 1來(lái)區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào) 已知數(shù)列中的遞推關(guān)系 一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng) 若求通項(xiàng)可用歸納 猜想和轉(zhuǎn)化的方法 2 強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系 an 3 已知遞推關(guān)系求通項(xiàng) 對(duì)這類問(wèn)題的要求不高 但試題難度較難把握 一般有兩種常見(jiàn)思路 1 算出前幾項(xiàng) 再歸納 猜想 2 利用累加法或累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式 4 數(shù)列的性質(zhì)可利用函數(shù)思想進(jìn)行研究 方法與技巧 1 數(shù)列an f n 和函數(shù)y f x 定義域不同 其單調(diào)性也有區(qū)別 y f x 是增函數(shù)是an f n 是遞增數(shù)列的充分不必要條件 2 數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不存在 也可能有多個(gè) 3 由an Sn Sn 1求得的an是從n 2開始的 要對(duì)n 1時(shí)的情況進(jìn)行驗(yàn)證 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式 且正負(fù)相間 求通項(xiàng)公式時(shí) 我們可以把每一部分進(jìn)行分解 符號(hào) 分母 分子 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an 1 n 3n 2 則a1 a2 a10 解析由題意知 a1 a2 a10 1 4 7 10 1 10 3 10 2 1 4 7 10 1 9 3 9 2 1 10 3 10 2 3 5 15 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 若數(shù)列 an 滿足 a1 19 an 1 an 3 n N 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí) n的值為 解析 an 1 an 3 數(shù)列 an 是以19為首項(xiàng) 3為公差的等差數(shù)列 an 19 n 1 3 22 3n a7 22 21 1 0 a8 22 24 2 0 n 7時(shí) 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和最大 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n2 2 n n N 則 1 是 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 的 條件 解析若數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 則有an 1 an 0 即2n 1 2 對(duì)任意的n N 都成立 因此 1 是 數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 的充分不必要條件 充分不必要 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn n2 2n 1 n N 則an 解析當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 2n 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 4 2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 數(shù)列 an 中 已知a1 1 a2 2 an 1 an an 2 n N 則a7 解析由已知an 1 an an 2 a1 1 a2 2 能夠計(jì)算出a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn Sn 2an n 則an 解析當(dāng)n 1時(shí) S1 a1 2a1 1 得a1 1 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 即an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 數(shù)列 an 1 是首項(xiàng)為a1 1 2 公比為2的等比數(shù)列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an n2 7n 6 1 這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少 解當(dāng)n 4時(shí) a4 42 4 7 6 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) 若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) 它是第幾項(xiàng) 解令an 150 即n2 7n 6 150 解得n 16或n 9 舍去 即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng) 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù) 解令an n2 7n 6 0 解得n 6或n 1 舍去 所以從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù) 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求a2 a3 解得a2 3a1 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求 an 的通項(xiàng)公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由題設(shè)知a1 1 于是a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 將以上n個(gè)等式兩端分別相乘 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 顯然 當(dāng)n 1時(shí)也滿足上式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5或6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a1 a2 an 1 2n 3 n 1 n 2 當(dāng)n 2時(shí) an 2n 1 n 2n 3 n 1 4n 3 a1 1也適合此等式 an 4n 3 答案an 4n 3 a1 a2 an 2n 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a 7 求數(shù)列 an 中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值 可知1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an 1 n N 數(shù)列 an 中的最大項(xiàng)為a5 2 最小項(xiàng)為a4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若對(duì)任意的n N 都有an a6成立 求a的取值范圍 已知對(duì)任意的n N 都有an a6成立 解析答案 返回