高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理 11.2 二項(xiàng)式定理課件(理) 新人教B版.ppt

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11 2二項(xiàng)式定理 高考理數(shù) 1 二項(xiàng)式定理 a b n an an 1b1 an kbk bn n N 這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理 等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做 a b n的二項(xiàng)展開式 其中的系數(shù) k 0 1 2 n 叫做二項(xiàng)式系數(shù) 二項(xiàng)展開式中的an kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 用Tk 1表示 即通項(xiàng)為展開式的第k 1項(xiàng) Tk 1 an kbk 注意 1 Tk 1指的是第k 1項(xiàng) 是第k 1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 2 a b n與 b a n相同 但具體到它們展開式的某一項(xiàng)卻是不同的 所以公式中的a與b位置不能顛倒 知識(shí)清單 知識(shí)拓展 1 二項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與項(xiàng) 1 二項(xiàng)式的展開式共有n 1項(xiàng) an kbk是第k 1項(xiàng) 即k 1是項(xiàng)數(shù) an kbk是項(xiàng) 2 通項(xiàng)是Tk 1 an kbk k 0 1 2 n 其中含有Tk 1 a b n k五個(gè)元素 只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素 2 二項(xiàng)式系數(shù)與展開式項(xiàng)的系數(shù)的異同在Tk 1 an kbk中 就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 它與a b的值無關(guān) Tk 1項(xiàng)的系數(shù)指化簡(jiǎn)后除字母以外的數(shù) 如a 2x b 3y Tk 1 2n k 3kxn kyk 其中2n k3k就是Tk 1項(xiàng)的系數(shù) 利用二項(xiàng)式定理求展開式的通項(xiàng) 特定項(xiàng) 二項(xiàng)式或項(xiàng)的系數(shù) 一般是將通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)后 令字母的指數(shù)符合要求 求常數(shù)項(xiàng)時(shí) 指數(shù)為0 求有理項(xiàng)時(shí) 指數(shù)為整數(shù)等 解出項(xiàng)數(shù)k 1 代回通項(xiàng)公式即可 例1已知的展開式的前三項(xiàng)中的系數(shù)成等差數(shù)列 1 求展開式中所有的有理項(xiàng) 2 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 解析 1 的展開式中的前三項(xiàng)系數(shù)依次為 由這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列得2 即n2 9n 8 0 n 8或n 1 舍去 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr 1 8 r r 方法1求展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 突破方法 要使Tr 1項(xiàng)為有理項(xiàng) 則 Z r 0 4 8 有理項(xiàng)為T1 x4 T5 x x T9 x 2 2 設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大 則有解得3 k 4 故系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)T3 7和第四項(xiàng)T4 7 1 1 2015陜西一模 13 5分 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于 答案 160解析的展開式的通項(xiàng)為Tr 1 26 r 1 r x3 r 令3 r 0 求得r 3 故展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于 23 160 1 賦值法 普遍適用于恒等式 是一種重要的方法 對(duì)形如 ax b n ax2 bx c n a b R 的式子 求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和常用賦值法 只需令x 1即可 對(duì)形如 ax by n a b R 的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和 只需令x y 1即可 2 若f x a0 a1x a2x2 anxn 則f x 展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f 1 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0 a2 a4 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1 a3 a5 例2 2016江西橫峰一模 17 12分 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a0 a1 a7的值 2 a0 a2 a4 a6及a1 a3 a5 a7的值 3 二項(xiàng)式系數(shù)和 解析 1 令x 1 則a0 a1 a7 1 2 令x 1 則a0 a1 a2 a3 a6 a7 2187 令x 0 則a0 1 于是a1 a2 a3 a7 2 a1 a3 a5 a7 1094 方法2二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)的系數(shù)和的問題 a0 a2 a4 a6 1093 3 二項(xiàng)式系數(shù)和為 27 128 2 1 2016貴州興義調(diào)研 在 2x 3y 10的展開式中 求 1 二項(xiàng)式系數(shù)的和 2 各項(xiàng)系數(shù)的和 3 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 4 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和 5 x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和 解析設(shè) 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各項(xiàng)系數(shù)和即為a0 a1 a10 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a0 a2 a10 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 賦值法 求出相關(guān)的系數(shù)和 1 二項(xiàng)式系數(shù)和為 210 2 令x y 1 各項(xiàng)系數(shù)和為 2 3 10 1 10 1 3 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 29 偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為 29 4 令x y 1 得到a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得2 a0 a2 a10 1 510 奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 得2 a1 a3 a9 1 510 偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 5 x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0 a2 a4 a10