高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差課件.ppt

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第十章計(jì)數(shù)原理 概率 隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差 1 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念 了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性 2 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程 并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用 3 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值 方差的概念 4 能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值 方差 并能解決一些實(shí)際問題 要點(diǎn)梳理 1 離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為 常用字母X Y 表示 所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量 稱為離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量 2 離散型隨機(jī)變量的分布列 1 定義一般地 若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1 x2 xi xn X取每一個(gè)值xi i 1 2 n 的概率為P X xi pi 則表 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列 簡(jiǎn)稱為X的分布列 有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見 也用等式P X xi pi i 1 2 n表示X的分布列 2 分布列的性質(zhì) pi 0 i 1 2 n 3 常見離散型隨機(jī)變量的分布列 兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為 則稱X服從兩點(diǎn)分布 并稱p P X 1 為成功概率 超幾何分布 3 均值與方差 1 均值稱E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機(jī)變量X的均值或 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 數(shù)學(xué)期望 平均水平 3 均值與方差的性質(zhì) E aX b D aX b a b為常數(shù) 質(zhì)疑探究 隨機(jī)變量的均值 方差與樣本的均值 方差的關(guān)系是怎樣的 提示 隨機(jī)變量的均值 方差是一個(gè)常數(shù) 樣本的均值 方差是一個(gè)隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加或樣本容量的增加 樣本的均值 方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差 aE X b a2D X 3 2013 高考廣東卷 已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為則X的數(shù)學(xué)期望E X 等于 4 已知X的分布列為設(shè)Y 2X 1 則Y的數(shù)學(xué)期望E Y 的值是 5 在籃球比賽中 罰球命中1次得1分 不中得0分 如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0 7 那么他罰球1次的得分X的均值是 解析 E X 1 0 7 0 0 3 0 7 答案 0 7 考向一離散型隨機(jī)變量的分布列例1 2015 廣州市調(diào)研 某市A B C D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示 為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況 該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問卷調(diào)查 1 問A B C D四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生 2 從參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生 求這2名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率 3 在參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中 從來自A C兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生 用 表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù) 求 的分布列 拓展提高求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟 理解X的意義 寫出X可能取的全部值 求X取每個(gè)值的概率 寫出X的分布列 提醒 求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率 在求解時(shí) 要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理 古典概型等知識(shí) 活學(xué)活用1 2015 濟(jì)南調(diào)研 已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球 且規(guī)定 取出一個(gè)白球得2分 取出一個(gè)黑球得1分 現(xiàn)從該箱中任取 無放回 且每球取到的機(jī)會(huì)均等 3個(gè)球 記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和 1 求X的分布列 2 求X的數(shù)學(xué)期望E X 考向二離散型隨機(jī)變量的期望與方差例2 2013 天津高考 一個(gè)盒子里裝有7張卡片 其中有紅色卡片4張 編號(hào)分別為1 2 3 4 白色卡片3張 編號(hào)分別為2 3 4 從盒子中任取4張卡片 假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同 1 求取出的4張卡片中 含有編號(hào)為3的卡片的概率 2 在取出的4張卡片中 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 所以隨機(jī)變量X的分布列是 拓展提高求離散型隨機(jī)變量 的均值與方差的方法 1 理解 的意義 寫出 可能取的全部值 2 求 取每個(gè)值的概率 3 寫出 的分布列 4 由均值的定義求E 5 由方差的定義求D 活學(xué)活用2 2015 溫州市調(diào)研 從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中 每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn) 直到摸出的球中有紅球 不放回 則試驗(yàn)結(jié)束 1 求第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率 2 記試驗(yàn)次數(shù)為X 求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E X 考向三超幾何分布例3近年空氣質(zhì)量逐步惡化 霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多 大氣污染危害加重 大氣污染可引起心悸 呼吸困難等心肺疾病 為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān) 在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表 下面的臨界值表供參考 思路點(diǎn)撥 1 先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù) 從而得出表格中的各個(gè)數(shù)據(jù) 2 利用2 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2 然后利用臨界值表進(jìn)行判斷 3 先確定 的取值 利用超幾何分布的概率公式求其每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率 列出分布列 最后代入期望與方差的計(jì)算公式求解 解 1 列聯(lián)表補(bǔ)充如下 拓展提高 1 超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn) 超幾何分布是不放回抽樣問題 隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù) 2 超幾何分布的應(yīng)用超幾何分布是一個(gè)重要分布 其理論基礎(chǔ)是古典概型 主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品 摸不同類別的小球等概率模型 活學(xué)活用3某校高一年級(jí)共有學(xué)生320人 為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間 指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間 情況 學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查 根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù) 單位 分鐘 按照以下區(qū)間分為7組 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 得到頻率分布直方圖如圖 已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的有4人 1 求n的值 2 若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間少于45分鐘 則學(xué)校需要減少作業(yè)量 根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù) 學(xué)校是否需要減少作業(yè)量 注 統(tǒng)計(jì)方法中 同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表 3 問卷調(diào)查完成后 學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談 了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況 并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人 設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 1 由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0 02和0 06 則n 0 02 0 06 4 解得n 50 2 設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi 由題圖知p1 0 02 p2 0 06 p3 0 3 p4 0 4 p5 0 12 p6 0 08 p7 0 02 則由xi 50 pi可得x1 1 x2 3 x3 15 x4 20 x5 6 x6 4 x7 1 則高一學(xué)生每天平均自主支配時(shí)間是 規(guī)范答題9離散型隨機(jī)變量的分布列 期望與方差典例 2013 湖南高考 某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn) 指縱 橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn) 處都種了一株相同品種的作物 根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)一株該種作物的年收獲量Y 單位 kg 與它的 相近 作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示 這里 兩株作物 相近 是指它們之間的直線距離不超過1米 1 從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物 求它們恰好 相近 的概率 2 從所種作物中隨機(jī)選取一株 求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望 滿分展示 答題模板 第一步 弄清題目意思 找到內(nèi)部及邊界各個(gè)點(diǎn) 第二步 計(jì)算出從三角形地塊內(nèi)部及邊界各取一株作物結(jié)果種數(shù)及相近的種數(shù) 第三步 數(shù)出各點(diǎn)相近點(diǎn)的株數(shù) 分類 第四步 求每類的概率 第五步 列出分布列 第六步 計(jì)算期望 跟蹤訓(xùn)練 2015 北京東城模擬 為迎接6月6日的 全國愛眼日 某高中學(xué)校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取16名學(xué)生 經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖 以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖 小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉 如圖 若視力測(cè)試結(jié)果不低于5 0 則稱為 好視力 1 寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù) 2 求從這16人中隨機(jī)選取3人 至少有2人是 好視力 的概率 3 以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù) 若從該校 人數(shù)很多 任選3人 記X表示抽到 好視力 學(xué)生的人數(shù) 求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 思維升華 方法與技巧 1 對(duì)于隨機(jī)變量X的研究 需要了解隨機(jī)變量將取哪些值以及取這些值或取某一個(gè)集合內(nèi)的值的概率 對(duì)于離散型隨機(jī)變量 它的分布正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率 2 求離散型隨機(jī)變量的分布列 首先要根據(jù)具體情況確定 的取值情況 然后利用排列 組合與概率知識(shí)求出 取各個(gè)值的概率 3 求期望與方差基本方法 1 已知隨機(jī)變量的分布列求它的期望 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 可直接按定義 公式 求解 2 已知隨機(jī)變量 的期望 方差 求 的線性函數(shù) a b的期望 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 可直接用 的期望 方差的性質(zhì)求解 3 如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布 如二點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布等 可直接利用它們的期望 方差公式求解 失誤與防范 1 掌握離散型隨機(jī)變量的分布列 須注意 1 分布列的結(jié)構(gòu)為兩行 第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值 第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率 看每一列 實(shí)際上是上為 事件 下為 事件發(fā)生的概率 只不過 事件 是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的 每完成一列 就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率 2 要會(huì)根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的分布列的正誤 2 在沒有準(zhǔn)確判斷概率分布列模型之前不能亂套公式 3 對(duì)于應(yīng)用問題 必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析 一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來 再進(jìn)行分析 求出隨機(jī)變量的概率分布列 然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期望 方差或標(biāo)準(zhǔn)差