2018高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件 蘇教版選修1 -2.ppt

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第2章 推理與證明 2 1合情推理與演繹推理2 1 1合情推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 了解合情推理的含義 能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 2 了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我 點(diǎn)點(diǎn)落實(shí) 2 課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn) 個(gè)個(gè)擊破 3 當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂訓(xùn)練 體驗(yàn)成功 知識(shí)鏈接 1 歸納推理和類(lèi)比推理的結(jié)論一定正確嗎 答歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍 其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的 而是或然性的 結(jié)論不一定正確 類(lèi)比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征 推測(cè)正在被研究中的事物的特征 所以類(lèi)比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性 不一定可靠 2 由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎 答一般來(lái)說(shuō) 由合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 未必可靠 例如 費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1 歸納推理 1 定義 從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論的推理稱(chēng)為歸納推理 歸納推理的思維過(guò)程大致是 實(shí)驗(yàn) 觀察 概括 推廣 猜測(cè)一般性結(jié)論 2 歸納推理的特點(diǎn) 歸納推理是從到的推理 由歸納推理得到的結(jié)論正確 歸納推理是一種具有的推理 特殊 一般 不一定 創(chuàng)造性 2 類(lèi)比推理 1 類(lèi)比推理的定義 根據(jù)對(duì)象之間在某些方面的或 推演出它們?cè)谄渌矫嬉不?像這樣的推理通常稱(chēng)為類(lèi)比推理 簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比法 兩個(gè) 或兩類(lèi) 相同 相似 相同 相似 2 類(lèi)比推理的思維過(guò)程 3 合情推理合情推理是根據(jù) 以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程 和是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理 已有的事實(shí) 正確的結(jié)論 實(shí)驗(yàn)和實(shí) 踐的結(jié)果 歸納推理 類(lèi)比推理 要點(diǎn)一歸納推理的應(yīng)用例1觀察如圖所示的 三角數(shù)陣 1 第1行22 第2行343 第3行4774 第4行51114115 第5行 記第n n 1 行的第2個(gè)數(shù)為an n 2 n N 請(qǐng)仔細(xì)觀察上述 三角數(shù)陣 的特征 完成下列各題 1 第6行的6個(gè)數(shù)依次為 解由數(shù)陣可看出 除首末兩數(shù)外 每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和 且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù) 61625 25166 2 依次寫(xiě)出a2 a3 a4 a5 解a2 2 a3 4 a4 7 a5 11 3 歸納出an 1與an的關(guān)系式 解 a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4由此歸納 an 1 an n 規(guī)律方法對(duì)于數(shù)陣問(wèn)題的解決方法 既要清楚每行 每列數(shù)的特征 又要對(duì)上 下行 左 右列間的關(guān)系進(jìn)行研究 找到規(guī)律 問(wèn)題即可迎刃而解 跟蹤演練1根據(jù)下列條件 寫(xiě)出數(shù)列中的前4項(xiàng) 并歸納猜想它的通項(xiàng)公式 1 a1 3 an 1 2an 1 解由已知可得a1 3 22 1 a2 2a1 1 2 3 1 7 23 1 a3 2a2 1 2 7 1 15 24 1 a4 2a3 1 2 15 1 31 25 1 猜想an 2n 1 1 n N 2 a1 a an 1 a1 1 3 對(duì)一切n N an 0 且 要點(diǎn)二類(lèi)比推理的應(yīng)用例2如圖所示 在 ABC中 射影定理可表示為a b cosC c cosB 其中a b c分別為角A B C的對(duì)邊 類(lèi)比上述定理 寫(xiě)出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想 解如右圖所示 在四面體P ABC中 設(shè)S1 S2 S3 S分別表示 PAB PBC PCA ABC的面積 依次表示面PAB 面PBC 面PCA與底面ABC所成二面角的大小 我們猜想射影定理類(lèi)比推理到三維空間 其表現(xiàn)形式應(yīng)為S S1 cos S2 cos S3 cos 規(guī)律方法 1 類(lèi)比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要 選擇適當(dāng)?shù)念?lèi)比對(duì)象 可以從幾何元素的數(shù)目 位置關(guān)系 度量等方面入手 由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類(lèi)比得到空間中的相關(guān)結(jié)論 2 平面圖形與空間圖形的類(lèi)比 要點(diǎn)三平面圖形與空間圖形的類(lèi)比例3三角形與四面體有下列相似性質(zhì) 1 三角形是平面內(nèi)由直線(xiàn)段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形 四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形 2 三角形可以看作是由一條線(xiàn)段所在直線(xiàn)外一點(diǎn)與這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)所圍成的圖形 四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)所圍成的圖形 通過(guò)類(lèi)比推理 根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫(xiě)下表 解 規(guī)律方法將平面幾何中的三角形 長(zhǎng)方形 圓 面積等和立體幾何中的三棱錐 長(zhǎng)方體 球 體積等進(jìn)行類(lèi)比 是解決和處理立體幾何問(wèn)題的重要方法 跟蹤演練3類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的 三邊相等 三內(nèi)角相等 的性質(zhì) 可推出正四面體的下列哪些性質(zhì) 你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?各棱長(zhǎng)相等 同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等 各個(gè)面都是全等的正三角形 相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等 各個(gè)面都是全等的正三角形 同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等 解析由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征 推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理 叫類(lèi)比推理 上述三個(gè)結(jié)論均符合推理結(jié)論 故均正確 答案 1 下列推理中 是歸納推理的有 A B為定點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA PB 2a AB 得P的軌跡為橢圓 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 1 2 3 4 科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇 解析從S1 S2 S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是從特珠到一般的推理 答案 1 2 3 4 1 2 3 4 2 下圖為一串白黑相間排列的珠子 按這種規(guī)律往下排起來(lái) 那么第36顆珠子的顏色是 1 2 3 4 解析由圖知 三白二黑周而復(fù)始相繼排列 36 5 7余1 第36顆珠子的顏色為白色 答案白色 3 將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣 123456789101112131415 1 2 3 4 按照以上排列的規(guī)律 第n行 n 3 從左向右的第3個(gè)數(shù)為 1 2 3 4 1 2 3 4 4 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù) 如三角形數(shù)1 3 6 10 第n個(gè)三角形數(shù)為 記第n個(gè)k邊形數(shù)為N n k k 3 以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式 1 2 3 4 三角形數(shù)N n 3 n2 n 正方形數(shù)N n 4 n2 五邊形數(shù)N n 5 n2 n 六邊形數(shù)N n 6 2n2 n 可以推測(cè)N n k 的表達(dá)式 由此計(jì)算N 10 24 1 2 3 4 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推測(cè) 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí) 1 2 3 4 1100 100 1000 答案1000 課堂小結(jié)1 合情推理是指 合乎情理 的推理 數(shù)學(xué)研究中 得到一個(gè)新結(jié)論之前 合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論 證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前 合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向 合情推理的過(guò)程概括為 一般來(lái)說(shuō) 由合情推理所獲得的結(jié)論 僅僅是一種猜想 其可靠性還需進(jìn)一步證明 2 歸納推理與類(lèi)比推理都屬合情推理 1 歸納推理 由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征 推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理 或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理 稱(chēng)為歸納推理 它是一種由部分到整體 由個(gè)別到一般的推理 2 類(lèi)比推理 由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征 推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理 它是一種由特殊到特殊的推理