2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教版.ppt

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第4節(jié)直接證明與間接證明 數(shù)學(xué)歸納法 考綱展示 知識梳理自測 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 解題規(guī)范夯實(shí) 知識梳理自測把散落的知識連起來 1 綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系 提示 1 分析法的特點(diǎn)是從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其逐步推理 實(shí)際上是尋求它成立的充分條件 2 綜合法的特點(diǎn)是從 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 實(shí)際上是尋找它成立的必要條件 3 分析法易于探索解題思路 綜合法易于過程表述 在應(yīng)用中視具體情況擇優(yōu)選之 教材導(dǎo)讀 2 用反證法證明問題的一般步驟有哪些 提示 1 反設(shè) 否定結(jié)論 假定所要證的結(jié)論不成立 而結(jié)論的反面成立 2 歸謬 推導(dǎo)矛盾 將 反設(shè) 作為條件 由此出發(fā) 經(jīng)過正確的推理導(dǎo)出矛盾 與已知條件 已知的公理 定義 定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾 3 定論 肯定結(jié)論 矛盾產(chǎn)生的原因在于 反設(shè) 的謬誤 既然結(jié)論的反面不成立 從而肯定了結(jié)論成立 3 數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系 提示 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù) 兩個(gè)步驟缺一不可 否則就會導(dǎo)致錯(cuò)誤 第一步中 驗(yàn)算n n0中的n0不一定為1 根據(jù)題目要求 有時(shí)可為2或3等 知識梳理 1 直接證明 1 綜合法定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出的證明方法 2 分析法定義 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 已知條件 定理 定義 公理等 為止的證明方法 所要證明的結(jié)論成立 判定一個(gè)明顯成立的條件 2 間接證明 反證法一般地 假設(shè)原命題 即在原命題的條件下 結(jié)論不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這樣的證明方法叫做反證法 3 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 1 歸納奠基 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 n0 N 時(shí)命題成立 2 歸納遞推 假設(shè)時(shí)命題成立 證明當(dāng)時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟 就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 不成立 假設(shè)錯(cuò)誤 原命題成立 n k k n0 k N n k 1 雙基自測 1 利用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 a a2 an 1 a 1 n N 時(shí) 在驗(yàn)證n 1成立時(shí) 左邊應(yīng)該是 A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 C 2 命題 對于任意角 cos4 sin4 cos2 的證明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 過程應(yīng)用了 A 分析法 B 綜合法 C 綜合法 分析法結(jié)合使用 D 間接證法 B 解析 在證明過程中使用了大量的公式和結(jié)論 有平方差公式 同角的關(guān)系式 所以在證明過程中 使用了綜合法的證明方法 3 要證a2 b2 1 a2b2 0 只要證明 A 2ab 1 a2b2 0 D 解析 a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 故選D 4 用反證法證明 三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角 時(shí) 假設(shè)正確的是 A 假設(shè)至少有一個(gè)鈍角 B 假設(shè)一個(gè)鈍角也沒有 C 假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 D 假設(shè)一個(gè)銳角也沒有或至少有兩個(gè)鈍角 C 解析 由于命題 三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角 的否定為 三角形的內(nèi)角至少有兩個(gè)鈍角 故用反證法證明命題 三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角 時(shí) 應(yīng)假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 故選C 5 下列說法正確的序號是 綜合法是直接證明 分析法是間接證明 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件 用反證法證明結(jié)論 a b 時(shí) 應(yīng)假設(shè) a b 反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定 推出矛盾 綜合法的理論依據(jù)是演繹推理中的三段論推理 解析 綜合法與分析法均為直接證明 分析法是尋求結(jié)論成立的充分條件 中 a b 的否定是 a b 中反證法是只否定結(jié)論 因此 均不正確 答案 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識 考點(diǎn)一 綜合法 例1 導(dǎo)學(xué)號38486225已知a b c為正實(shí)數(shù) a b c 1 求證 a2 b2 c2 反思?xì)w納 1 綜合法是 由因?qū)Ч?的證明方法 它是一種從已知到未知 從題設(shè)到結(jié)論 的邏輯推理方法 即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷 命題 出發(fā) 經(jīng)過一系列的中間推理 最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性 2 綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理 考點(diǎn)二 分析法 證明 因?yàn)閙 0 所以1 m 0 所以要證原不等式成立 只需證明 a mb 2 1 m a2 mb2 即證m a2 2ab b2 0 即證 a b 2 0 而 a b 2 0顯然成立 故原不等式得證 反思?xì)w納 1 分析法是 執(zhí)果索因 的證明方法 它是從結(jié)論入手 由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件 而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 定義 公理 定理 法則 公式等 或要證命題的已知條件時(shí)命題得證 2 用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí) 要注意書寫格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即要證 就要證 等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論 再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立 考點(diǎn)三 反證法 考點(diǎn)四 數(shù)學(xué)歸納法 例4 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 并且滿足2Sn n an 0 n N 猜想 an 的通項(xiàng)公式 并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 反思?xì)w納利用數(shù)列的遞推關(guān)系式 求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 猜測其通項(xiàng)公式 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明 是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合的一種解決數(shù)列通項(xiàng)公式的重要方法 也是 歸納 猜想 證明 問題的重要解題模式 求解此類問題時(shí) 在準(zhǔn)確歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)要注意應(yīng)用數(shù)列的遞推關(guān)系式 由n k推到n k 1時(shí)的情況 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 備選例題 2 猜想f n 與g n 的大小關(guān)系 并給出證明 解 2 由 1 猜想f n g n 下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明 當(dāng)n 1 2 3時(shí) 不等式顯然成立 例2 設(shè)a b c是互不相等的正數(shù) 求證 1 a4 b4 c4 abc a b c 解題規(guī)范夯實(shí)把典型問題的解決程序化 1 證明 2 xn xn 1 3 2 求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式 審題指導(dǎo) 滿分展示 答題模板第一步 使用數(shù)學(xué)歸納法證明第一問 先驗(yàn)證n 1時(shí)結(jié)論成立 第二步 在歸納假設(shè)下 證明當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論也成立 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理作出命題對一切正整數(shù)都成立的結(jié)論 第三步 通過構(gòu)造輔助數(shù)列的方法解決第二問 第四步 把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項(xiàng) 并求出其通項(xiàng)公式 第五步 把輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式