2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)及解三角形 1.1.1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件 文.ppt

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第一講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 熱點題型1函數(shù)y Asin x 的性質(zhì) 感悟經(jīng)典 典例 1 已知函數(shù)f x sin x cos x 0 在上單調(diào)遞減 且滿足f f 0 則 A 2B 3C 4D 5 2 已知函數(shù)f x sin x R 下面結(jié)論錯誤的是 A 函數(shù)f x 的最小正周期為 B 函數(shù)f x 是偶函數(shù)C 函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x 對稱D 函數(shù)f x 在區(qū)間 上是增函數(shù) 3 已知函數(shù)f x 4cos x sin 0 的最小正周期為 1 求 的值 2 討論f x 在區(qū)間 上的單調(diào)性 聯(lián)想解題 1 利用輔助角公式化一 求出復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間 再由f x 在區(qū)間上遞減列不等式求得 的范圍 繼而得出 x k k Z 從而可求 的值 2 看到f x sin 想到化為f x cos2x 3 看到三角函數(shù)的周期 想到把解析式化為y Asin x k A 0 0 的形式 可知周期為T 看到討論三角函數(shù)的單調(diào)性 想到利用基本初等函數(shù)y sinx的單調(diào)性求解 規(guī)范解答 1 選A f x sin x cos x 2sin 由 2k x 2k k Z 取k 0 得 x 由于f x 在區(qū)間上單調(diào)遞減 所以解得1 因為f f 0 所以x 為f x 2sin的一個對稱中心的橫坐標(biāo) 所以 k k Z 則 3k 1 k Z 又1 所以 2 2 選C f x sin cos2x 故其最小正周期為 故A正確 易知函數(shù)f x 是偶函數(shù) B正確 由函數(shù)f x cos2x的圖象可知 函數(shù)f x 的圖象關(guān)于直線x 不對稱 C錯誤 由函數(shù)f x 的圖象易知 函數(shù)f x 在 上是增函數(shù) D正確 3 1 f x 2cos x sin x cos x sin2 x cos2 x 1 2sin 因為最小正周期為 所以 1 2 由 1 知f x 2sin 由 2x 解得 x 由 2x 解得 x 因為x 所以f x 在 上單調(diào)遞增 在 上單調(diào)遞減 規(guī)律方法 三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 1 奇偶性 k k Z 時 函數(shù)y Asin x 為奇函數(shù) k k Z 時 函數(shù)y Asin x 為偶函數(shù) 2 周期性 y Asin x 存在周期性 其最小正周期為T 3 單調(diào)性 根據(jù)y sint和t x 0 的單調(diào)性來研究 由 2k x 2k k Z 得單調(diào)增區(qū)間 由 2k x 2k k Z 得單調(diào)減區(qū)間 4 對稱性 利用y sinx的對稱中心為 k 0 k Z 來解 令 x k k Z 求得其對稱中心 利用y sinx的對稱軸為x k k Z 來解 令 x k k Z 得其對稱軸 對點訓(xùn)練 1 2016 山東高考 函數(shù)f x sinx cosx cosx sinx 的最小正周期是 A B C D 2 解析 選B f x sinx cosx cosx sinx 3sinxcosx sin2x cos2x sinxcosx sin2x cos2x 2sin 所以 最小正周期是 2 函數(shù)y sinx cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析 因為y sinx cosx sin 由2k x 2k k Z 解得2k x 2k k Z 所以函數(shù)的增區(qū)間為 k Z 又x 所以單調(diào)增區(qū)間為 答案 熱點題型2由圖象求函數(shù)y Asin x 的解析式 感悟經(jīng)典 典例 1 函數(shù)f x 2sin x 的部分圖象如圖所示 則 的值分別是 A 2 B 2 C 4 D 4 2 函數(shù)f x Asin x 的部分圖象如圖所示 若x1 x2 且f x1 f x2 x1 x2 則f x1 x2 A 1B C D 聯(lián)想解題 1 看到最高點 想到振幅 看到對稱中心 對稱軸想到周期以及相位 2 看到點的坐標(biāo) 想到代入法 規(guī)范解答 1 選A 因為 所以 2 又因為2 2k k Z 且 所以 2 選D 由圖象可得A 1 解得 2 所以f x sin 2x 代入點可得sin 所以 k 所以 k k Z 又 所以 所以f x sin 所以sin 1 即圖中最高點的坐標(biāo)為 又x1 x2 且f x1 f x2 x1 x2 所以x1 x2 2 所以f x1 x2 sin 規(guī)律方法 由圖象求解析式的方法 1 求A 由圖象上最高 最低點的縱坐標(biāo)確定 或利用圖象上某點坐標(biāo)代入解析式求解 2 求 由圖象觀察一個 個 個 周期 利用T 求得 3 求 方法一 代入法 把圖象上某點的坐標(biāo)代入解析式 利用 的范圍 確定k 進而確定 方法二 五點法 如圖 任選一點可求 x1 0 x2 x3 x4 x5 2 對點訓(xùn)練 如圖 某地一天 從6 14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y Asin x b A 0 0 0 則這段曲線的函數(shù)解析式為 解析 從題圖中可以看出 6 14時是函數(shù)y Asin x b的半個周期 又 14 6 所以 所以A 30 10 10 b 30 10 20 又 10 2 解得 所以y 10sin 20 x 6 14 答案 y 10sin 20 x 6 14 熱點題型3函數(shù)y Asin x 的圖象及變換 感悟經(jīng)典 典例 1 為得到函數(shù)y sin的圖象 只需要將函數(shù)y cos2x的圖象 A 向左平移個單位B 向右平移個單位C 向左平移個單位D 向右平移個單位 2 將函數(shù)f x sin 2x 的圖象向左平移個單位 所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱 則 的一個可能取值為 A B C 0D 3 已知函數(shù)f x sin2xsin cos2xcos sin 0 其圖象過點 1 求 的值 2 將函數(shù)y f x 的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 縱坐標(biāo)不變 得到函數(shù)y g x 的圖象 求函數(shù)g x 在上的最大值和最小值 聯(lián)想解題 1 把函數(shù)y sin的解析式化為cos2 再把函數(shù)y cos2x的圖象向右平移個單位可得y cos2的圖象 得出結(jié)論 2 f x sin 2x y sin y sin的圖象關(guān)于y軸對稱 k k Z k k Z 3 看到三角變換 想到三角恒等變換的公式 化簡函數(shù)表達式為y Asin x k A 0 0 的形式 看到三角函數(shù)圖象變換 想到從基本三角函數(shù)y sinx出發(fā) 經(jīng)過平移變換 伸縮變換得到正弦型函數(shù)y Asin x k的圖象 規(guī)范解答 1 選B 函數(shù)y sin cos cos cos cos2 故把函數(shù)y cos2x的圖象向右平移個單位可得y cos2的圖象 2 選B 將函數(shù)f x sin 2x 的圖象向左平移個單位 得到函數(shù)y sin sin 2x 的圖象 再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱 可得 k 即 k k Z 則 的一個可能取值為 3 1 因為已知函數(shù)圖象過點 所以有 sinsin cos2cos sin 0 即有1 sin cos cos sin 0 所以 解得 2 由 1 知 所以f x sin2xsin cos2xcos sin sin2x cos2x sin2x sin 所以g x sin 因為x 所以4x 所以當(dāng)4x 時 g x 取最大值 當(dāng)4x 時 g x 取最小值 所以函數(shù)g x 在上的最大值為 最小值為 規(guī)律方法 1 函數(shù)f x sin x 的圖象平移變換的兩種方法 1 y sinx的圖象向左平移 個單位得y sin x 再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變 得y sin x 的圖象 2 把y sinx的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變 得y sin x的圖象 向左平移個單位得y sin x 的圖象 2 平移變換和伸縮變換都是針對x而言 即x本身加減多少值 而不是依賴于 x加減多少值 對點訓(xùn)練 1 2016 北京高考 將函數(shù)y sin圖象上的點P向左平移s s 0 個單位長度得到點P 若點P 位于函數(shù)y sin2x的圖象上 則 A t s的最小值為B t s的最小值為C t s的最小值為D t s的最小值為 解析 選A 點P在y sin上 所以t sin sin P向左平移s s 0 個單位長度得到點P 代入y sin2x得sin 所以cos2s 2s 2k s k k Z 又因為s 0 所以s的最小值為 2 設(shè)函數(shù)f x cos x 0 將y f x 的圖象向右平移個單位長度后 所得的圖象與原圖象重合 則 的最小值等于 A B 3C 6D 9 解析 選C 根據(jù)題意 得nT n N 所以n n N 所以 6n n N 所以當(dāng)n 1時 取得最小值6 提分備選 設(shè)函數(shù)f x sin x cos x 0 的周期為 1 用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象 2 說明函數(shù)f x 的圖象可由y sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到 解析 f x sin x cos x 又因為T 所以 即 2 所以f x 2sin 1 令z 2x 則y 2sin 2sinz 列表 并描點畫出圖象 2 方法一 把y sinx的圖象上所有的點向左平移個單位 得到y(tǒng) sin的圖象 再把y sin的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍 縱坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) sin的圖象 最后把y sin上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍 橫坐標(biāo)不變 即可得到f x 2sin的圖象 方法二 將y sinx的圖象上每一點的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍 縱坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) sin2x的圖象 再將y sin2x的圖象向左平移個單位 得到y(tǒng) sin2 sin的圖象 再將y sin的圖象上每一點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍 橫坐標(biāo)保持不變 得到f x 2sin的圖象 直觀想象 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題中的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 相關(guān)鏈接 利用數(shù)形結(jié)合思想能解決的三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題的常見類型 1 求函數(shù)定義域 值域 2 判斷單調(diào)性 利用單調(diào)性比較大小 求最值 3 求單調(diào)區(qū)間 對稱軸或中心 4 求A 的值或范圍 5 解決方程 不等式問題一般解題思路是利用三角函數(shù)圖象 結(jié)合有關(guān)性質(zhì)求解 典例 函數(shù)y 的定義域為 規(guī)范解答 方法一 要使函數(shù)有意義 必須使sinx cosx 0 利用圖象 在同一坐標(biāo)系中畫出 0 2 上y sinx和y cosx的圖象 如圖所示 在 0 2 內(nèi) 滿足sinx cosx的x為 再結(jié)合正弦 余弦函數(shù)的周期是2 所以原函數(shù)的定義域為 方法二 利用三角函數(shù)線 畫出滿足條件的終邊范圍 如圖陰影部分所示 所以定義域為方法三 sinx cosx sin 0 將x 視為一個整體 由正弦函數(shù)y sinx的圖象和性質(zhì)可知2k x 2k k Z 解得2k x 2k k Z 所以定義域為答案 通關(guān)題組 1 若函數(shù)f x sin x 0 在區(qū)間上單調(diào)遞增 在區(qū)間上單調(diào)遞減 則 等于 A B C 2D 3 解析 選B 因為f x sin x 0 過原點 所以當(dāng)0 x 即0 x 時 y sin x是遞增的 當(dāng) x 即 x 時 y sin x是遞減的 由f x sin x 0 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減知 所以 2 已知函數(shù)y sin x 的部分圖象如圖所示 則 A 1 B 1 C 2 D 2 解析 選D 方法一 觀察函數(shù)的圖象可知 圖象過點和 所以所以解得 方法二 觀察函數(shù)的圖象可知 是四分之一個周期 所以函數(shù)的最小正周期是 所以 2 排除A B 再由2 得 3 函數(shù)f x Asin x A 0 0 的部分圖象如圖所示 則函數(shù)f x 的解析式為 解析 由題圖可知A 方法一 所以T 故 2 因此f x sin 2x 又對應(yīng)五點法作圖中的第三個點 因此2 所以 故f x sin 方法二 以為第二個 零點 為最小值點 列方程組解得故f x sin 答案 f x sin 4 設(shè)函數(shù)f x sin 2cos2 1 1 求f x 的最小正周期 2 若函數(shù)y g x 與y f x 的圖象關(guān)于直線x 1對稱 求當(dāng)x 時 y g x 的最大值 解析 1 故f x 的最小正周期為T 8 2 方法一 在y g x 的圖象上任取一點 x g x 它關(guān)于x 1的對稱點為 2 x g x 由題設(shè)條件 知點 2 x g x 在y f x 的圖象上 從而g x f 2 x sin 當(dāng)0 x 時 因此y g x 在區(qū)間上的最大值為g x max cos 方法二 區(qū)間關(guān)于x 1的對稱區(qū)間為 且y g x 與y f x 的圖象關(guān)于直線x 1對稱 故y g x 在上的最大值為y f x 在上的最大值 由 1 知f x sin 當(dāng) x 2時 因此y g x 在上的最大值為g x max sin