2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1 空間幾何體 1.1.2 棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征課件 新人教B版必修2.ppt

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1 1 2棱柱 棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征 目標(biāo)導(dǎo)航 新知探求 課堂探究 新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成 點擊進(jìn)入情境導(dǎo)學(xué) 知識探究 1 多面體的有關(guān)概念 1 多面體是由所圍成的幾何體 圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的 叫做多面體的棱 棱和棱的公共點叫做多面體的 連接叫做多面體的對角線 若干個平面多邊形 面 相鄰的兩個面的公共邊 頂點 不在同一個面上的兩個頂點的線段 2 把一個多面體的任意一個面延展為平面 如果其余的各面都在這個平面的同一側(cè) 則這樣的多面體叫做 多面體至少有個面 多面體按照分別叫做四面體 五面體 六面體 3 一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形 包含它的內(nèi)部 叫做這個幾何體的 2 棱柱棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征 有兩個面 其余每相鄰兩個面的交線都 棱柱的叫做棱柱的底面 其余各面叫做棱柱的側(cè)面 兩側(cè)面的叫做棱柱的側(cè)棱 叫做棱柱的高 棱柱按底面多邊形邊數(shù)分為等 側(cè)棱與底面的棱柱叫做斜棱柱 側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱 底面是的直棱柱叫做正棱柱 底面是的棱柱叫做平行六面體 側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體 底面是矩形的直平行六面體是長方體 的長方體是正方體 凸多面體 4 圍成它的面的個數(shù) 截面 互相平行 互相平行 兩個互相平行的面 公共邊 兩底面之間的距離 三棱柱 四棱柱 不垂直 正多邊形 平行四邊形 棱長都相等 3 棱錐 1 棱錐的主要結(jié)構(gòu)特征 有一個面是 其余各面都是有的三角形 棱錐中有公共頂點的各三角形叫做棱錐的側(cè)面 叫做棱錐的頂點 相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱 叫做棱錐的底面 叫做棱錐的高 2 棱錐按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐 四棱錐等 如果棱錐的底面是 且它的頂點在過底面中心且與底面的直線上 則這個棱錐叫做正棱錐 正棱錐各側(cè)面都是 叫做棱錐的斜高 多邊形 一個公共頂點 各側(cè)面的公共頂點 多邊形 頂點到底面的距離 正多邊形 垂直 全等的等腰三角形 等腰三 角形底邊上的高 4 棱臺 1 棱錐被的平面所截 截面和底面間的部分叫做棱臺 分別叫做棱臺的下底面 上底面 其他各面叫做棱臺的側(cè)面 叫做棱臺的側(cè)棱 兩底面間的距離叫做棱臺的高 平行于底面 原棱錐 的底面與截面 相鄰兩側(cè)面的公共邊 2 由截得的棱臺叫做正棱臺 正棱臺各側(cè)面都是 這些等腰梯形的高叫做棱臺的 正棱錐 全等的等腰梯形 斜高 拓展延伸 1 棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個本質(zhì)特征 1 有兩個面互相平行 2 其余各面每相鄰兩面的公共邊都互相平行 這兩個特征保證了棱柱的底面全等 側(cè)棱互相平行 二者缺一不可 若說有兩個面相互平行 其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱 則是錯誤的說法 如圖 此幾何體就不是棱柱 2 棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐是多面體中較重要的一種 它有兩個本質(zhì)特征 1 有一個面是多邊形 2 其余的各面是有一個公共頂點的三角形 二者缺一不可 因此要注意 有一個面是多邊形 其余各面都是三角形 的幾何體未必是棱錐 如圖 此多面體有一面是四邊形 其余各面都是三角形 但它不是棱錐 一個棱錐至少有四個面 所以三棱錐也叫四面體 正棱錐是一種特殊棱錐 判斷一棱錐是正棱錐必須滿足下面兩個條件 一是底面是正多邊形 二是底面水平放置時 它的頂點與底面正多邊形的中心都在鉛垂線上 這也是掌握正棱錐定義的兩個要點 3 棱臺棱臺是用平行于棱錐底面的平面截得的 因此判斷一個幾何體是否為棱臺 關(guān)鍵是看側(cè)棱延長后能否交于一點 另外 棱臺的上下底面是相似的多邊形 因此就產(chǎn)生了一系列的比例問題 是考查的重點內(nèi)容 詮釋 正棱錐具有如下性質(zhì) 各側(cè)棱都相等 各側(cè)面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底邊上的高相等 棱錐的高 斜高和斜足與底面中心的連線組成一個直角三角形 棱錐的高 側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形 自我檢測 1 下列命題中正確的是 A 有兩個面平行 其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B 有兩個面平行 其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱 C 一個棱柱至少有五個面 六個頂點 九條棱 D 棱柱的側(cè)棱長有的都相等 有的不都相等 C 解析 根據(jù)棱柱的概念性質(zhì)可知 2 下列說法中正確的是 A 由五個面圍成的多面體只能是四棱錐 B 棱錐的高線可能在幾何體之外 C 僅有一組對面平行的六面體是棱臺 D 有一個面是多邊形 其余各面是三角形的幾何體是棱錐 B 解析 對A 五面體也可能是三棱柱 對C 僅有一組對面平行的六面體也可能是四棱柱 對D 棱錐的定義中其余各面都有一個公共頂點 故B正確 選B 類型一 多面體的概念 課堂探究 素養(yǎng)提升 例1 1 命題 一個幾何體有兩個面平行 其余各面為四邊形 則此幾何體為棱柱 是否正確 2 命題 一個幾何體有兩個面平行 其余各面為梯形 則此幾何體為棱臺 是否正確 解 1 不正確 其余各面為四邊形 不能反映出夾在兩平行平面間的每相鄰兩個面的交線都互相平行 2 不正確 棱臺是由平行于棱錐底面的平面所截 即如果是棱臺 則各側(cè)棱延長必交于一點 此命題不能反映出側(cè)棱延長后交于一點 如圖滿足命題條件 但不是棱臺 方法技巧棱柱是多面體中最簡單的一種 對棱柱的概念應(yīng)正確理解 準(zhǔn)確把握 它有兩個本質(zhì)特征 有兩個面 底面 互相平行 其余各面 側(cè)面 中每相鄰兩個面的公共邊 側(cè)棱 都互相平行 因此 棱柱有兩個面互相平行 其余各面都是平行四邊形 但是要注意 有兩個面互相平行 其余各面都是平行四邊形的幾何體 不一定是棱柱 變式訓(xùn)練1 1 下面四個幾何體中 是棱臺的為 解析 棱臺是由棱錐用平行于底面的平面截得而成 故棱臺具有 1 側(cè)棱延長后交于一點 2 有兩個互相平行的底面 3 側(cè)面均為梯形 由以上分析可知選C 類型二 棱柱 棱錐 棱臺的概念及其結(jié)構(gòu)特征 例2 一個棱柱是正四棱柱的條件是 A 底面是正方形 有兩個側(cè)面是矩形 B 底面是正方形 有兩個側(cè)面垂直于底面 C 底面是菱形 且有一個頂點處的兩條棱互相垂直 D 底面是正方形 每個側(cè)面都是全等的矩形 解析 對于A 滿足了底面是正方形 但兩個側(cè)面是矩形并不能保證另兩個側(cè)面也是矩形 對于B 垂直于底面的側(cè)面中不是所有直線都垂直于底面 因此 不能保證側(cè)棱垂直于底面 對于C 底面是菱形但不一定是正方形 同時側(cè)棱也不一定和底面垂直 對于D 側(cè)面全等且為矩形 保證了側(cè)棱與底面垂直 底面是正方形 保證了底面是正多邊形 因而符合正棱柱的定義和基本特征 故選D 方法技巧判斷正棱柱 要嚴(yán)格按照定義及它們的基本特征去分析 正棱柱的基本特征是 1 底面是正多邊形 2 側(cè)棱與底面垂直 變式訓(xùn)練2 1 下列結(jié)論中 正三棱錐的頂點在底面的射影到底面各頂點的距離相等 有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 兩個底面平行且相似 其余各面都是梯形的多面體是棱臺 底面是正三角形 其余各個面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐 正確結(jié)論的序號是 解析 正三棱錐的頂點在底面的射影是底面的中心 也是三角形的外心 是各邊中垂線的交點 滿足到各頂點的距離相等 故 正確 如圖1在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 面AA1D1D 面BB1C1C為矩形 但不滿足側(cè)棱與底面垂直 故 錯誤 根據(jù)棱臺的定義可知 棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點 而 不能保證各側(cè)棱的延長線交于一點 故 錯誤 如圖2的三棱錐P ABC中 ABC為正三角形 PA PB AB BC AC PC 此三棱錐滿足 中的條件 但顯然不是正三棱錐 故 錯誤 答案 類型三 棱柱 棱錐 棱臺中的有關(guān)計算 例3 如圖 正四棱臺AC 的高是17cm 兩底面的邊長分別是4cm和16cm 求這個棱臺的側(cè)棱長和斜高 方法技巧解決此類與正棱臺有關(guān)的基本量 如側(cè)棱 斜高 高等 計算 常有如下兩種策略 1 充分利用正棱臺中的3個直角梯形化成平面圖形處理 即 斜高 上下底的邊心距以及上下底中心的連線組成的直角梯形 側(cè)棱 兩底面相應(yīng)的外接圓半徑和兩底面中心連線組成的直角梯形 斜高 側(cè)棱和上下兩底面相應(yīng)邊的一半組成的直角梯形 2 棱臺是由棱錐被平行于底面的平面所截而得到的 所以可以還臺于錐來解決有關(guān)棱臺的問題 即 補(bǔ)形 的思想 問題可轉(zhuǎn)化為棱錐中的直角三角形處理 變式訓(xùn)練3 1 已知一個正三棱錐的高為h 側(cè)棱長為l 求這個正三棱錐的底面邊長和斜高 類型四 多面體的截面圖與展開圖 例4 如圖所示 正三棱錐S ABC的側(cè)棱長為1 ASB 30 M N為棱SB和SC上的點 求 AMN的周長的最小值 思路點撥 將側(cè)面展開化歸為平面幾何問題 將正三棱錐沿側(cè)棱SA剪開 然后將其側(cè)面展開在一個平面上 如圖所示 連接AA 設(shè)AA 交SB于M 交SC于N 顯然 AMN的周長l AM MN NA AA 也就是說當(dāng)AM MN NA NA 在一條直線上時 對應(yīng)的截面三角形周長最短 則AA 的長就是截面 AMN周長的最小值 方法技巧求幾何體表面上兩點之間的最短距離可通過將幾何體表面展開為平面圖形 利用平面上兩點間距離來求解 但應(yīng)注意展開的方法和技巧 變式訓(xùn)練4 1 如圖 直三棱柱ABB1 DCC1中 ABB1 90 AB 4 BC 2 CC1 1 DC上有一動點P 則 APC1周長的最小值是 謝謝觀賞