2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題九 選做大題 2.9.2 不等式選講課件 文.ppt

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9 2不等式選講 選修4 5 2 3 4 5 6 1 絕對(duì)值三角不等式 1 定理1 若a b是實(shí)數(shù) 則 a b a b 當(dāng)且僅當(dāng)ab 0時(shí) 等號(hào)成立 2 性質(zhì) a b a b a b 3 定理2 若a b c是實(shí)數(shù) 則 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) a b b c 0時(shí) 等號(hào)成立 7 2 絕對(duì)值不等式的解法 1 含絕對(duì)值的不等式 x a a 0 的解法 x a x a或x0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 利用 零點(diǎn)分段法 求解 體現(xiàn)了分類討論的思想 通過構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)的圖象求解 體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 8 9 4 不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法 綜合法 分析法 反證法 放縮法等 1 比較法 求差比較法 求商比較法 求差比較法 由于a b a b 0 ab 只要證明a b 0即可 求商比較法 由a b 0 1且a 0 b 0 因此當(dāng)a 0 b 0時(shí)要證明a b 只要證明 1即可 2 分析法 從待證不等式出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式 已知條件 定理等 10 3 綜合法 從已知條件出發(fā) 利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理 經(jīng)過推理論證 推導(dǎo)出所要證明的不等式成立 即 由因?qū)す?的方法 這種證明不等式的方法稱為綜合法 5 柯西不等式 11 考向一 考向二 考向三 解不等式 求參數(shù)范圍 全方位探究 例1 2018廣東梅州二模 23 已知函數(shù)f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范圍 當(dāng)x2時(shí) 由f x 1解得x 2 所以f x 1的解集為 x x 1 12 考向一 考向二 考向三 13 考向一 考向二 考向三 解題心得1 解含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式 一般解法是零點(diǎn)分段法 即令各個(gè)絕對(duì)值式子等于0 求出各自零點(diǎn) 把零點(diǎn)在數(shù)軸上從小到大排列 然后按零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對(duì)值 進(jìn)而將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式 2 在不等式恒成立的情況下 求參數(shù)的取值范圍 可以采取分離參數(shù) 通過求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得 14 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f x x m 2x 1 m 0 1 當(dāng)m 1時(shí) 解不等式f x 3 2 當(dāng)x m 2m2 時(shí) 不等式f x x 1 恒成立 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 15 考向一 考向二 考向三 16 考向一 考向二 考向三 例2已知函數(shù)f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范圍 17 考向一 考向二 考向三 解 1 當(dāng)a 1時(shí) 不等式f x g x 等價(jià)于x2 x x 1 x 1 4 0 當(dāng)x 1時(shí) 式化為x2 3x 4 0 無解 當(dāng) 1 x 1時(shí) 式化為x2 x 2 0 從而 1 x 1 2 當(dāng)x 1 1 時(shí) g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等價(jià)于當(dāng)x 1 1 時(shí)f x 2 又f x 在 1 1 的最小值必為f 1 與f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范圍為 1 1 18 考向一 考向二 考向三 解題心得1 對(duì)于求參數(shù)范圍問題 可將已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化 得到含有參數(shù)的不等式恒成立 此時(shí)通過求函數(shù)的最值得到關(guān)于參數(shù)的不等式 解不等式得參數(shù)范圍 2 解答此類問題應(yīng)熟記以下轉(zhuǎn)化 f x a恒成立 f x min a f x a有解 f x max a f x a無解 f x max a f x a無解 f x min a 19 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 2018河南濮陽(yáng)三模 23 已知函數(shù)f x x 1 x 2 g x x2 x a 1 當(dāng)a 5時(shí) 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 2 3 求a的取值范圍 20 考向一 考向二 考向三 解 1 當(dāng)a 5時(shí) 不等式f x g x 等價(jià)于 x 1 x 2 x2 x 5 當(dāng)x 1時(shí) 式化為x2 x 2 0 無解 當(dāng) 1 x 2時(shí) 式化為x2 3x 4 0 得 1 x 2 2 當(dāng)x 2 3 時(shí) f x 3 所以f x g x 的解集包含 2 3 等價(jià)于x 2 3 時(shí)g x 3 又g x x2 x a在 2 3 上的最大值為g 3 6 a 所以g 3 3 即6 a 3 得a 3 所以a的取值范圍為 3 21 考向一 考向二 考向三 例3 2018湖南衡陽(yáng)一模 文23 設(shè)函數(shù)f x x 2 x a x R 1 若a 1 試求f x 4的解集 2 若a 0 且關(guān)于x的不等式f x x有解 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 22 考向一 考向二 考向三 解題心得在不等式f x g x 有解或恒成立時(shí) 求不等式中所含參數(shù)的取值范圍或最值 可分別作出函數(shù)f x 和g x 的圖象 根據(jù)圖象找到不等式f x g x 有解或恒成立的條件 從而得出參數(shù)的取值范圍或最值 23 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 2018全國(guó)卷3 理23 設(shè)函數(shù)f x 2x 1 x 1 1 畫出y f x 的圖象 2 當(dāng)x 0 時(shí) f x ax b 求a b的最小值 24 考向一 考向二 考向三 y f x 的圖象如圖所示 2 由 1 知 y f x 的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2 且各部分所在直線斜率的最大值為3 故當(dāng)且僅當(dāng)a 3且b 2時(shí) f x ax b在 0 成立 因此a b的最小值為5 25 考向一 考向二 考向三 例4 2018全國(guó)卷1 理23 已知f x x 1 ax 1 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 時(shí)不等式f x x成立 求a的取值范圍 26 考向一 考向二 考向三 解題心得在不等式f x g x 成立下 求不等式中所含參數(shù)的取值范圍 可對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論 看參數(shù)在哪些范圍內(nèi)不等式能成立 然后把使不等式成立的參數(shù)的范圍合并在一起即可 27 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知f x x a 3x 其中a R 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 3x 2x 1 的解集 2 若不等式f x 0的解集為 x x 1 求a的值 28 考向一 考向二 考向三 解 1 a 1時(shí) f x x 1 3x 由f x 2x 1 3x 得 x 1 2x 1 0 故 x 1 2x 1 解得 2 x 0 不等式的解集為 x 2 x 0 29 考向一 考向二 考向三 不等式的證明例5 2018山東濰坊三模 文23 已知函數(shù)f x x 4 不等式f x 8 2x 2 的解集為M 1 求M 2 設(shè)a b M 證明 f ab f 2a f 2b 30 考向一 考向二 考向三 1 解 將f x x 4 代入f x 8 2x 2 得 x 4 2x 2 8 當(dāng)x 4時(shí) 不等式轉(zhuǎn)化為 x 4 2x 2 8 解得x8 解得x8 解得x 2 所以此時(shí)x 2 綜上 M x x2 31 考向一 考向二 考向三 2 證明因?yàn)閒 2a f 2b 2a 4 2b 4 2a 4 2b 4 2a 2b 所以要證f ab f 2a f 2b 只需證 ab 4 2a 2b 即證 ab 4 2 2a 2b 2 即證a2b2 8ab 16 4a2 8ab 4b2 即證a2b2 4a2 4b2 16 0 即證 a2 4 b2 4 0 因?yàn)閍 b M 所以a2 4 b2 4 所以 a2 4 b2 4 0成立 所以原不等式成立 32 考向一 考向二 考向三 解題心得不等式證明的常用方法是 比較法 綜合法與分析法 其中運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí) 主要是運(yùn)用基本不等式證明 與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明常用絕對(duì)值三角不等式 證明過程中一方面要注意不等式成立的條件 另一方面要善于對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化 變形 33 考向一 考向二 考向三 34 考向一 考向二 考向三 35 考向一 考向二 考向三 求代數(shù)式的最值例6 2018河北唐山一模 文23 設(shè)函數(shù)f x x 1 x 的最大值為m 1 求m的值 36 考向一 考向二 考向三 37 考向一 考向二 考向三 解題心得若題設(shè)條件有 或者經(jīng)過化簡(jiǎn)題設(shè)條件得到 兩個(gè)正數(shù)和或兩個(gè)正數(shù)積為定值 則可利用基本不等式求兩個(gè)正數(shù)積的最大值或兩個(gè)正數(shù)和的最小值 38 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6 2018湖南衡陽(yáng)二模 理23 已知a 0 b 0 c 0 若函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 解 1 f x x a x b c x a x b c a b c a b c 當(dāng)且僅當(dāng) a x b時(shí) 等號(hào)成立 f x 的最小值為a b c a b c 4 39 考向一 考向二 考向三