2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.6 圓錐曲線的綜合問題課件 文.ppt

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第九章平面解析幾何 高考文數(shù) 考點(diǎn)一定點(diǎn)與定值問題1 定點(diǎn)問題解析幾何中證明直線過定點(diǎn) 一般是先選擇一個(gè)參數(shù)建立直線系方程 然后再根據(jù)直線系方程過定點(diǎn)時(shí)方程的成立與參數(shù)沒有關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于x y的方程組 以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn) 2 定值問題 1 解析幾何中的定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法 證明過程可總結(jié)為 變量 函數(shù) 定值 具體操作步驟如下 9 6圓錐曲線的綜合問題 知識(shí)清單 i 變量 選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?ii 函數(shù) 把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù) iii 定值 把得到的函數(shù)解析式化簡 消去變量得到定值 2 求定值問題常見的方法 i 從特殊入手 求出定值 再證明這個(gè)值與變量無關(guān) ii 直接推理 計(jì)算 并在推理 計(jì)算的過程中消去變量 從而得到定值 考點(diǎn)二參變量的取值范圍與最值問題1 求最值問題常見的方法 1 幾何法 若題中給出的條件有明顯的幾何特征 則考慮用圖象 性質(zhì)來解決 2 代數(shù)法 若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯 則可以建立目標(biāo)函數(shù) 再求這個(gè)函數(shù)的最值 求函數(shù)的最值常見的方法有配方法 判別式法 基本不等式法 單調(diào)性法 三角換元法等 2 求定值 最值等圓錐曲線綜合問題的四重視 1 重視定義在解題中的作用 2 重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用 3 重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用 4 重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用 3 求參數(shù)的取值范圍根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式 再求參數(shù)的范圍 考點(diǎn)三存在性問題1 存在性問題的解題步驟 1 先假設(shè)存在 引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式 組 2 解此方程或不等式 組 若有解 則存在 若無解 則不存在 2 解答此類問題要充分注意解題的規(guī)范性 知識(shí)拓展求有關(guān)圓錐曲線的最值問題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 1 圓錐曲線上本身存在最值問題 如 i 橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a 長軸長 ii 雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2a 實(shí)軸長 iii 橢圓的焦半徑的取值范圍為 a c a c a c與a c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短與最長距離 iv 拋物線的頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近 2 圓錐曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題 常把兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題 有時(shí)也用圓錐曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題解決 3 圓錐曲線上的點(diǎn)到定直線的距離的最值問題解法同上或用平行切線法 4 當(dāng)點(diǎn)在圓錐曲線上時(shí) 求相關(guān)式子 目標(biāo)函數(shù) 的取值范圍 常把參數(shù)方程代入轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題 或根據(jù)平面幾何知識(shí) 或引入一個(gè)參數(shù) 有幾何意義 轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行處理 5 由直線 系 和圓錐曲線 系 的位置關(guān)系 求直線方程中或圓錐曲線方程中某個(gè)參數(shù) 系數(shù) 滿足的范圍 解決方法是把所求參數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于另一變?cè)暮瘮?shù)求解 圓錐曲線中的定點(diǎn) 定值問題的求解方法1 圓錐曲線中的定點(diǎn) 定值問題往往與圓錐曲線中的 常數(shù) 有關(guān) 如橢圓的長 短軸的長 雙曲線的虛 實(shí)軸的長 拋物線的焦參數(shù)等 可通過直接計(jì)算求解 也可用 特殊位置法 和 相關(guān)曲線系數(shù) 求解 2 解決定點(diǎn) 定值問題常用的思想有兩種 從特殊入手 求含參變量的定點(diǎn) 定值 再證明這個(gè)定點(diǎn) 定值與變量無關(guān) 直接推理計(jì)算 并在計(jì)算的過程中消去變量 從而得到定點(diǎn) 定值 例1 2016北京 19 14分 已知橢圓C 1過A 2 0 B 0 1 兩點(diǎn) 1 求橢圓C的方程及離心率 2 設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上 直線PA與y軸交于點(diǎn)M 直線PB與x軸交于點(diǎn)N 求證 四邊形ABNM的面積為定值 方法技巧 解題導(dǎo)引 1 由點(diǎn)A B的坐標(biāo)得a b的值得橢圓C的方程與離心率 2 設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo) 寫出直線PA和直線PB的方程分別求出M N兩點(diǎn)的縱 橫坐標(biāo) 寫出BM與AN的長度表示出四邊形的面積S化簡 確定S的值為定值 解析 1 由題意得 a 2 b 1 所以橢圓C的方程為 y2 1 3分 又c 所以離心率e 5分 2 證明 設(shè)P x0 y0 x0 0 y0 0 則 4 4 6分 又A 2 0 B 0 1 所以 直線PA的方程為y x 2 令x 0 得yM 從而 BM 1 yM 1 9分 直線PB的方程為y x 1 令y 0 得xN 從而 AN 2 xN 2 12分 所以四邊形ABNM的面積S AN BM 2 從而四邊形ABNM的面積為定值 14分 例2 2017山西臨汾一中月考 20 已知橢圓C y2 1 a 0 過橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓x2 y2 相切 1 求橢圓C的方程 2 設(shè)M是橢圓C的上頂點(diǎn) 過點(diǎn)M分別作直線MA MB交橢圓C于A B兩點(diǎn) 設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1 k2 且k1 k2 2 證明 直線AB過定點(diǎn) 解題導(dǎo)引 1 由 a 0 和 0 1 直線方程利用直線與圓相切求得a2得橢圓C的方程 2 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí) 求出A B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí) 設(shè)出直線AB的方程設(shè)A x1 y1 B x2 y2 聯(lián)立橢圓方程 得x1 x2與x1x2利用斜率公式表示出k1 k2 2 從而得出k與m的關(guān)系代入直線AB的方程得出直線AB過的定點(diǎn) 解析 1 直線過點(diǎn) a 0 和 0 1 直線的方程為x ay a 0 直線與圓x2 y2 相切 解得a2 2 橢圓C的方程為 y2 1 2 證明 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí) 設(shè)A x0 y0 則B x0 y0 由k1 k2 2得 2 解得x0 1 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí) 設(shè)AB的方程為y kx m m 1 A x1 y1 B x2 y2 由 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 得x1 x2 x1 x2 由k1 k2 2 2 2 即 2 2k x1x2 m 1 x1 x2 2 2k 2m2 2 m 1 4km 即 1 k m2 1 km m 1 由m 1 得 1 k m 1 km k m 1 所以y kx m m 1 x m m x 1 y x 故直線AB過定點(diǎn) 1 1 綜上 直線AB過定點(diǎn) 1 1 圓錐曲線中的最值和范圍問題的求解方法1 幾何法 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義 則考慮利用圖形性質(zhì)來解決 此法稱為幾何法 2 代數(shù)法 根據(jù)題目構(gòu)造關(guān)于變量的等式或不等式 從而采用方程思想或函數(shù)思想求解最值或范圍的方法稱為代數(shù)法 利用代數(shù)法解決最值和范圍問題的常見思路 利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系 從而確定參數(shù)的范圍 利用已知參數(shù)范圍 求新參數(shù)的范圍 解決這類問題的核心為構(gòu)建所求變量與已知變量的函數(shù)關(guān)系式 利用隱含的不等關(guān)系建立不等式 從而求出所需要的參數(shù)范圍 利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式 從而求出參數(shù)的取值范圍 利用函數(shù)的值域 確定參數(shù)的取值范圍 例3 2017浙江 21 15分 如圖 已知拋物線x2 y 點(diǎn)A B 拋物線上的點(diǎn)P x y 過點(diǎn)B作直線AP的垂線 垂足為Q 1 求直線AP斜率的取值范圍 2 求 PA PQ 的最大值 解題導(dǎo)引 1 設(shè)直線AP的斜率為k由斜率公式及拋物線方程表示斜率k由x的范圍得k的取值范圍 2 解法一 聯(lián)立直線AP與直線BQ的方程得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)利用距離公式表示出 PA 與 PQ 利用函數(shù)思想及導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)求得 PA PQ 的最大值解法二 連接BP 將 AP PQ 轉(zhuǎn)化為 利用坐標(biāo)表示出 與 從而將 AP PQ 轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)求得 AP PQ 的最大值 解析 1 設(shè)直線AP的斜率為k k x 因?yàn)?x 所以直線AP斜率的取值范圍是 1 1 2 解法一 聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ 因?yàn)?PA k 1 PQ xQ x 所以 PA PQ k 1 k 1 3 令f k k 1 k 1 3 因?yàn)閒 k 4k 2 k 1 2 所以f k 在區(qū)間上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 因此當(dāng)k 時(shí) PA PQ 取得最大值 解法二 如圖 連接BP AP PQ AP PB cos BPQ 易知P x x2 則 2x 1 2x2 2x2 2x x2 x x4 x2 x4 x2 x AP PQ x4 x2 x 設(shè)f x x4 x2 x 則f x 4x3 3x 1 x 1 2x 1 2 f x 在上為增函數(shù) 在上為減函數(shù) f x max f 1 故 AP PQ 的最大值為 方法總結(jié)在解析幾何中 遇到求兩線段長度之積的最值或取值范圍時(shí) 一般用以下方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化 1 直接法 求出各點(diǎn)坐標(biāo) 用兩點(diǎn)間的距離公式 轉(zhuǎn)化為某個(gè)參變量 如直線斜率 截距 點(diǎn)的橫 縱坐標(biāo)等 的函數(shù) 再求函數(shù)的最值或值域 2 向量法 三點(diǎn)共線時(shí) 轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積 再轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的橫 或縱 坐標(biāo)的函數(shù) 最后求函數(shù)的最值或值域 3 參數(shù)法 把直線方程化為參數(shù)方程 與曲線方程聯(lián)立 由韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為直線的斜率 或直線的截距 的函數(shù) 最后求函數(shù)的最值或值域 圓錐曲線中存在性問題的求解方法此類問題一般分為探究條件 探究結(jié)論兩種 若探究條件 則可先假設(shè)條件成立 再驗(yàn)證結(jié)論是否成立 成立則存在 否則不存在 若探究結(jié)論 則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式 再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論 往往涉及對(duì)參數(shù)的討論 例4 2017湘中名校聯(lián)考 20 如圖 曲線C由上半橢圓C1 1 a b 0 y 0 和部分拋物線C2 y x2 1 y 0 連接而成 C1與C2的公共點(diǎn)為A B 其中C1的離心率為 1 求a b的值 2 過點(diǎn)B的直線l與C1 C2分別交于點(diǎn)P Q 均異于點(diǎn)A B 是否存在直線l 使得以PQ為直徑的圓恰好過點(diǎn)A 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 解題導(dǎo)引 1 在C1 C2的方程中 令y 0 可得出b的值 由e 及a2 c2 b2可得a的值 2 設(shè)出直線l的方程 分別與兩曲線方程聯(lián)立 并消元 用l的斜率k表示點(diǎn)P Q的坐標(biāo) 利用 0求得k的值 寫出符合條件的直線方程 解析 1 在C1 C2的方程中 令y 0 可得b 1 故A 1 0 B 1 0 是上半橢圓C1的左 右頂點(diǎn) 由e 及a2 c2 b2 1可得a 2 a 2 b 1 2 存在 由 1 知 上半橢圓C1的方程為 x2 1 y 0 由題易知 直線l與x軸不重合也不垂直 設(shè)其方程為y k x 1 k 0 代入C1的方程 整理得 k2 4 x2 2k2x k2 4 0 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 xP yP 直線l過點(diǎn)B x 1是方程 的一個(gè)根 由求根公式 得xP 從而yP