2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）4.5 解三角形課件 理.ppt

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第四章基本初等函數(shù) 三角函數(shù) 4 5解三角形 高考理數(shù) 考點(diǎn)一正弦定理和余弦定理 知識清單 考點(diǎn)二正 余弦定理的應(yīng)用1 有關(guān)概念 1 仰角和俯角在視線和水平線所成的角中 視線在水平線上方的角叫仰角 在水平線 下方的角叫俯角 如圖a 2 方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫方位角 如B點(diǎn)的方位角為 如圖b 3 方向角 相對于某一正方向的水平角 如圖c a 北偏東 指北方向 順時針旋轉(zhuǎn) 到達(dá)目標(biāo)方向 b 東北方向 指北偏東45 4 坡角 坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角 如圖d 角 為坡角 坡度 坡面的鉛直高度與 水平寬度之比叫做坡度 或坡比 如圖d i為坡比 2 三角形的面積公式設(shè) ABC的三邊為a b c 三邊所對的三個角分別為A B C 面積為S 1 S ah h表示邊BC上的高 2 S absinC acsinB bcsinA 3 S 2R2sinAsinBsinC R為 ABC外接圓的半徑 4 S r a b c r為 ABC內(nèi)切圓的半徑 5 S 3 解斜三角形在實際中的應(yīng)用解斜三角形在實際中的應(yīng)用非常廣泛 如測量 航海等方面都可能用到 解題的一般步驟 1 分析題意 準(zhǔn)確理解題意 分清已知與所求 2 根據(jù)題意畫出示意圖 3 將需要求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中 通過合理運(yùn)用正弦 定理 余弦定理等有關(guān)知識求解 4 檢驗所得的結(jié)果是否具有實際意義 對解進(jìn)行取舍 并寫出答案 4 已知兩邊a b及其中一邊a的對角A 由正弦定理 可求出另一邊b的對角B 由C A B 可求出C 再由 可求出c 而通過 求B時 可能有一解 兩解或無解的情況 其判斷方法如下表 例1 2017課標(biāo)全國 17 12分 ABC的內(nèi)角A B C的對邊分別為a b c 已知sinA cosA 0 a 2 b 2 1 求c 2 設(shè)D為BC邊上一點(diǎn) 且AD AC 求 ABD的面積 解題導(dǎo)引 解析 1 由已知可得tanA 所以A 在 ABC中 由余弦定理得28 4 c2 4ccos 即c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 2 由題設(shè)可得 CAD 所以 BAD BAC CAD 故 ABD面積與 ACD面積的比值為 1 又 ABC的面積為 4 2sin BAC 2 所以 ABD的面積為 在判斷三角形的形狀時 一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系或邊與邊之間的關(guān)系 再用三角變換或代數(shù)式的恒等變形 如因式分解法 配方法等 求解 注意等式兩邊的公因式不要約掉 要移項提取公因式 否則會有漏掉一種形狀的可能 例2在 ABC中 a b c分別表示三個內(nèi)角A B C的對邊 如果 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 判斷三角形的形狀 利用正 余弦定理判斷三角形的形狀 解題導(dǎo)引 解析解法一 已知等式可化為a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 2a2cosAsinB 2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化為sin2AcosAsinB sin2BcosBsinA sinAsinB sinAcosA sinBcosB 0 sin2A sin2B 由0 2A 2 0 2B 2 得2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC為等腰三角形或直角三角形 解法二 同解法一可得2a2cosAsinB 2b2sinAcosB 由正 余弦定理 可得a2b b2a a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 ABC為等腰三角形或直角三角形 評析判斷三角形形狀可通過邊和角兩種途徑進(jìn)行判斷 應(yīng)根據(jù)題目條件選用合適的策略 1 若用邊的關(guān)系 則有 若A為銳角 則b2 c2 a2 0 若A為直角 則b2 c2 a2 0 若A為鈍角 則b2 c2 a2 0 2 利用正 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系 通過三角恒等變換得出內(nèi)角的關(guān)系 從而判斷出三角形的形狀 此時要注意應(yīng)用A B C 這個結(jié)論 1 幾種常見題型測量距離問題 測量高度問題 測量角度問題 計算面積問題 航海問題 物理問題等 2 解題時需注意的幾個問題 1 要注意仰角 俯角 方位 向 角等名詞 并能準(zhǔn)確地找出這些角 2 要注意將平面幾何中的性質(zhì) 定理與正 余弦定理結(jié)合起來 發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件 正 余弦定理的實際應(yīng)用策略 3 解三角形應(yīng)用題的方法 1 解三角形應(yīng)用題的一般步驟 2 解三角形應(yīng)用題的兩種情形 實際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 實際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個 或兩個以上 三角 形 這時需作出這些三角形 先解夠條件的三角形 然后逐步求出其他三角形中的解 有時需設(shè)出未知量 從幾個三角形中列出方程 解方程得出所要求的解 3 解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題 畫出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形 如等邊三角形 直角三角形等 這樣可以優(yōu)化解題過程 解三角形時 為避免誤差的積累 應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù) 原始數(shù)據(jù) 少用間接求出的量 例3 2017河南六市聯(lián)考 18 某地棚戶區(qū)改造建筑用地的平面示意圖如圖所示 經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定 棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面 該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶區(qū)建筑用地 測量可知邊界AB AD 4萬米 BC 6萬米 CD 2萬米 1 請計算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及AC的長 2 因地理條件的限制 邊界AD DC不能變更 而邊界AB BC可以調(diào)整 為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率 請在弧上設(shè)計一點(diǎn) 使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地APCD的面積最大 并求出最大值 解題導(dǎo)引 方法點(diǎn)撥本題主要考查三角形在實際生活中的應(yīng)用 1 在 ABC和 ADC中 靈活利用余弦定理求解即可 2 設(shè)出AP CP的長 在 APC中 結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可