2019高考數(shù)學二輪復(fù)習 第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用課件 理.ppt

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第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 總綱目錄 考點一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 例 2018課標全國 文 21 12分 已知函數(shù)f x aex lnx 1 1 設(shè)x 2是f x 的極值點 求a 并求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 證明 當a 時 f x 0 解析 1 f x 的定義域為 0 f x aex 由題設(shè)知 f 2 0 所以a 從而f x ex lnx 1 f x ex 當02時 f x 0 所以f x 在 0 2 上單調(diào)遞減 在 2 上單調(diào)遞增 2 當a 時 f x lnx 1 設(shè)g x lnx 1 則g x 當01時 g x 0 所以x 1是g x 的最小值點 故當x 0時 g x g 1 0 因此 當a 時 f x 0 方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法 1 證明f x g x x a b 可以構(gòu)造函數(shù)F x f x g x 若f x 0 則F x 在 a b 上是增函數(shù) 同時若F a 0 由增函數(shù)的定義可知 x a b 時 有F x 0 即證明了f x g x 方法歸納 用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法 1 利用單調(diào)性 若f x 在 a b 上是增函數(shù) 則 x a b 有f a f x f b x1 x2 a b 且x1 x2 有f x1 f x2 對于減函數(shù)有類似結(jié)論 2 利用最值 若f x 在某個范圍D內(nèi)有最大值M 或最小值m 則 x D 有f x M 或f x m 3 證明f x g x 可構(gòu)造函數(shù)F x f x g x 證明F x 0 設(shè)函數(shù)f x ax2 lnx 曲線y f x 在x 2處與直線2x 3y 0垂直 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 當x 1時 證明 f x e1 x 解析 1 函數(shù)f x 的定義域為 0 f x 2ax 由已知 得f 2 即4a 所以a 所以f x x 由f x 0 得x 1 由f x 1 則g x x e1 x e1 x 令h x ex 1 x x 1 則h x ex 1 1 當x 1時 h x 0 所以h x 在 1 上為增函數(shù) 所以h x h 1 0 所以 e1 x 0 即 e1 x 所以g x x 而x 0 所以g x 0 所以g x 在 1 上為增函數(shù) 所以g x g 1 0 即f x e1 x 考點二利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立 存在性問題 例1 2018陜西質(zhì)檢一 設(shè)函數(shù)f x lnx k R 1 若曲線y f x 在點 e f e 處的切線與直線x 2 0垂直 求f x 的單調(diào)性和極小值 其中e為自然對數(shù)的底數(shù) 2 若對任意的x1 x2 0 f x1 f x2 x1 x2恒成立 求k的取值范圍 解析 1 由條件 得f x x 0 曲線y f x 在點 e f e 處的切線與直線x 2 0垂直 f e 0 即 0 k e f x x 0 由f x 0 得x e f x 在 0 e 上單調(diào)遞減 在 e 上單調(diào)遞增 當x e時 f x 取得極小值 且極小值為f e lne 2 f x 的極小值為2 2 由題意知 對任意的x1 x2 0 f x1 x10 則h x 在 0 上單調(diào)遞減 h x 1 0在 0 上恒成立 當x 0時 k x2 x 恒成立 k 故k的取值范圍是 方法歸納破解此類以函數(shù)為背景的不等式恒成立問題需要 一構(gòu)造 一分類 一構(gòu)造 是指通過不等式的同解變形 構(gòu)造一個與背景函數(shù)相關(guān)的函數(shù) 一分類 是指在不等式恒成立問題中 常需對參數(shù)進行分類討論 求出參數(shù)的范圍 有時也可以利用分離參數(shù)法 即將不等式分離參數(shù) 轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題 利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值 一般地 a f x 對x D恒成立 只需a f x max a f x 對x D恒成立 只需a f x min 設(shè)a R 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 設(shè)g x f x f x 若 x 1 3 有g(shù) x 0 求實數(shù)a的取值范圍 解析 1 f x 3ax2 6x 當a 0時 f x 6x 令f x 0 得x0 當a 0時 令f x 0 得x 或x0 得0 綜上所述 當a 0時 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 當a 0時 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 單調(diào)遞減區(qū)間為 當a 0時 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 2 依題意 x 1 3 ax3 3x2 3ax2 6x 0 等價于不等式a 在x 1 3 有解 令h x x 1 3 則h x 0 所以h x 在 1 3 上是減函數(shù) 所以h x 的最大值為h 1 所以a 即實數(shù)a的取值范圍為 考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根 例 2018課標全國 文 21 12分 已知函數(shù)f x x3 a x2 x 1 1 若a 3 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 證明 f x 只有一個零點 解析 1 當a 3時 f x x3 3x2 3x 3 f x x2 6x 3 令f x 0 解得x 3 2或x 3 2 當x 3 2 3 2 時 f x 0 當x 3 2 3 2 時 f x 0 所以f x 0等價于 3a 0 設(shè)g x 3a 則g x 0 當且僅當x 0時g x 0 所以g x 在 上單調(diào)遞增 故g x 至多有一個零點 從而f x 至多有一個零點 又f 3a 1 6a2 2a 6 0 故f x 有一個零點 綜上 f x 只有一個零點 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點的方法 方法一 1 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值 2 根據(jù)函數(shù)f x 的性質(zhì)作出圖象 3 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 方法二 1 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值 2 分類討論 判斷函數(shù)零點的個數(shù) 方法總結(jié) 方法歸納 三步解決方程解 或曲線公共點 的個數(shù)問題第一步 將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)問題 進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸 或直線y k 在該區(qū)間上的交點個數(shù)問題 第二步 利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性 極值 端點值等性質(zhì) 進而畫出其圖象 第三步 結(jié)合圖象求解 已知函數(shù)f x ex 1 g x x 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) e 2 71828 1 證明 函數(shù)h x f x g x 在區(qū)間 1 2 上有零點 2 求方程f x g x 的根的個數(shù) 并說明理由 解析 1 由題意 可得h x f x g x ex 1 x 所以h 1 e 30 所以h 1 h 2 0 所以函數(shù)h x 在區(qū)間 1 2 上有零點 2 方程f x g x 的根的個數(shù)為2 理由如下 由 1 可知 h x f x g x ex 1 x 由g x x知x 0 而h 0 0 則x 0為h x 的一個零點 又h x 在 1 2 內(nèi)有零點 所以h x 在 0 上至少有兩個零點 又h x ex 1 記 x ex 1 則 x ex 當x 0 時 x 0 所以 x 在 0 上單調(diào)遞增 易知 x 在 0 內(nèi)只有一個零點 則h x 在 0 上有且只有兩個零點 所以方程f x g x 的根的個數(shù)為2