2018高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末復(fù)習(xí)提升練習(xí) 蘇教版選修1 -2.doc
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第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1．復(fù)數(shù)的概念 (1)虛數(shù)單位i；(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)． 2．復(fù)數(shù)集 3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； (4)除法：＝ ＝＋i(z2≠0)； (5)實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況； (6)特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：in(n為正整數(shù))的周期性運(yùn)算； (1i)2＝2i； 若ω＝－i，則ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 4．共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模 (1)若z＝a＋bi，則＝a－bi，z＋為實(shí)數(shù)，z－為純虛數(shù)(b≠0)． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝， 且z＝|z|2＝a2＋b2. 5．復(fù)數(shù)的幾何形式 (1)用點(diǎn)Z(a，b)表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量O表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，Z稱為z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)(坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0)． (2) 任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a，b)，也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量. 6．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量、不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)． (2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量、的終點(diǎn)，并指向Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 題型一 分類討論思想的應(yīng)用 當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部含有字母時(shí)，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類討論．分別確定什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)．當(dāng)x＋yi沒(méi)有說(shuō)明x，y∈R時(shí)，也要分情況討論． 例1 已知復(fù)數(shù)z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，試求實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，z分別為(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)． 解 (1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有 ∴∴當(dāng)a＝6時(shí)，z為實(shí)數(shù)． (2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，則有 ∴∴a≠1且a≠6， 即當(dāng)a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)時(shí)，z為虛數(shù)． (3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，則有 ∴ ∴不存在實(shí)數(shù)a，使z為純虛數(shù)． 跟蹤演練1 當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)為實(shí)數(shù)； (2)為純虛數(shù)； (3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi)； (4)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x－y＝0上． 解 (1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. (2)z為純虛數(shù)，則 即故a＝0. (3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則 ∴ ∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依題設(shè)(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. 題型二 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法．本章中，復(fù)數(shù)本身的幾何意義、復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．它們得以相互轉(zhuǎn)化．涉及的主要問(wèn)題有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置、復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的最值問(wèn)題等． 例2 已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A、B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z. 解 設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，如圖． ∵OA∥BC，OC＝BA， ∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|， 即 解得或 ∵OA≠BC， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故z＝－5. 跟蹤演練2 已知復(fù)數(shù)z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i||1－i|3＝2. (2)如圖所示，由|z|＝1可知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓，而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2，－2)． 所以|z－z1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2，－2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值． 由圖知|z－z1|max＝|z1|＋r(r為圓半徑)＝2＋1. 題型三 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 在求復(fù)數(shù)時(shí)，常設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，把復(fù)數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x，y滿足的條件，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基本思想在本章中非常重要． 例3 已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，均為實(shí)數(shù)，且(z＋ai)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解 設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實(shí)數(shù)，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i為實(shí)數(shù)， ∴x＝4.∴z＝4－2i， 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限． ∴解得2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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