2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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3.2　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解分類變量的意義.2.了解22列聯(lián)表的意義.3.了解隨機(jī)變量K2的意義.4.通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法． 知識點(diǎn)一　分類變量及22列聯(lián)表 思考　山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時(shí)間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動方式，結(jié)果整理成下表： 體育 文娛 合計(jì) 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合計(jì) 270 520 790 如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？ 答案　可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計(jì)分析定量判斷． 梳理　(1)分類變量 變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表 ①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表． ②22列聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為22列聯(lián)表)為下表. y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 知識點(diǎn)二　等高條形圖 1．與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征． 2．如果通過直接計(jì)算或等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系． 知識點(diǎn)三　獨(dú)立性檢驗(yàn) 1．定義：利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 2．K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法 (1)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. (2)利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k. (3)如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． 1．列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．(　√　) 2．事件A與B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無關(guān)，即兩個事件互不影響．(　　) 3．K2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．(　√　) 類型一　等高條形圖的應(yīng)用 例1　為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下： 組別 陽性數(shù) 陰性數(shù) 總計(jì) 鉛中毒病人 29 7 36 對照組 9 28 37 總計(jì) 38 35 73 試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？ 考點(diǎn)　定性分析的兩類方法 題點(diǎn)　利用圖形定性分析 解　等高條形圖如圖所示： 其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率． 由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系． 反思與感悟　在等高條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例.兩個比例的值相差越大，X與Y有關(guān)系成立的可能性就越大． 跟蹤訓(xùn)練1　網(wǎng)絡(luò)對現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對中學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1 000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用圖形判斷學(xué)生經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績有關(guān)嗎？ 考點(diǎn)　定性分析的兩類方法 題點(diǎn)　利用圖形定性分析 解　根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表： 經(jīng)常上網(wǎng) 不經(jīng)常上網(wǎng) 總計(jì) 不及格 80 120 200 及格 120 680 800 總計(jì) 200 800 1 000 得出等高條形圖如圖所示： 比較圖中陰影部分的高可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率，因此可以認(rèn)為經(jīng)常上網(wǎng)與學(xué)習(xí)成績有關(guān)． 類型二　獨(dú)立性檢驗(yàn) 例2　某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 喜歡甜品 不喜歡甜品 合計(jì) 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 合計(jì) 70 30 100 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 解　將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 K2的觀測值k＝ ＝ ＝≈4.762. 因?yàn)?.762>3.841，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”． 反思與感悟　(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn) 在22列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，關(guān)系越強(qiáng)． (2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法 ①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k0. ②利用公式K2＝計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值k. ③如果k≥k0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”． 跟蹤訓(xùn)練2　某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表； (2)判斷是否有99%的把握說明對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)系． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 解　(1)22列聯(lián)表如下所示： 贊同 不贊同 總計(jì) 老教師 10 10 20 青年教師 24 6 30 總計(jì) 34 16 50 (2)假設(shè)“對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)”． 由公式得K2＝≈4.963<6.635， 所以沒有99%的把握認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡有關(guān)． 類型三　獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用 例3　(2017全國Ⅱ改編)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如圖： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計(jì)A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2＝. 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 題點(diǎn)　分類變量與統(tǒng)計(jì)、概率的綜合性問題 解　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”， 由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)， 則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62， 故P(B)的估計(jì)值為0.62， 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)5＝0.66， 故P(C)的估計(jì)值為0.66， 則事件A的概率估計(jì)值為P(A)＝P(B)P(C)＝0.620.66＝0.409 2， ∴A發(fā)生的概率為0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得到列聯(lián)表： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 總計(jì) 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計(jì) 96 104 200 則K2＝≈15.705， 由15.705>6.635， 故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． 反思與感悟　兩個分類變量相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)等高條形圖法：在等高條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X＝x1的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X＝x2的個體中具有Y＝y(tǒng)1的個體所占的比例.兩個比例的值相差越大，X與Y有關(guān)系成立的可能性就越大． (2)觀測值法：通過22列聯(lián)表，先計(jì)算K2的觀測值k，然后借助k的含義判斷“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度． 跟蹤訓(xùn)練3　為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的22列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計(jì) 男生 6 女生 10 合計(jì) 48 已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為. (1)請將上面的22列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)； (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由； (3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的分布列與均值． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 題點(diǎn)　分類變量與統(tǒng)計(jì)、概率的綜合性問題 解　(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計(jì) 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合計(jì) 32 16 48 (2)由K2＝≈4.286. 因?yàn)?.286>3.841，所以，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)． (3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2. 其概率分別為 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 故X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值為E(X)＝0＋＋＝1. 1．某機(jī)構(gòu)調(diào)查中學(xué)生的近視情況，了解到某校150名男生中有80名近視，140名女生中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說服力(　　) A．平均數(shù) B．方差 C．回歸分析 D．獨(dú)立性檢驗(yàn) 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想 答案　D 2．對于分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k，下列說法正確的是(　　) A．k越大，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 B．k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 C．k越接近于0，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小 D．k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想 答案　B 解析　k越大，“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小，則“X與Y有關(guān)系”的可信程度越大，k越小，“X與Y有關(guān)系”的可信程度越?。? 3．用等高條形圖粗略估計(jì)兩個分類變量是否相關(guān)，觀察下列各圖，其中兩個分類變量關(guān)系最強(qiáng)的是(　　) 考點(diǎn)　定性分析的兩類方法 題點(diǎn)　利用圖形定性分析 答案　D 解析　由等高條形圖易知，D選項(xiàng)兩個分類變量關(guān)系最強(qiáng)． 4．若在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是(　　) A．100個吸煙者中至少有99人患有肺癌 B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌 C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 答案　D 解析　獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是一個統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)的結(jié)果只是說明事件發(fā)生的可能性的大小，具體到一個個體，則不一定發(fā)生． 5．高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”．下表是一次針對高三文科學(xué)生的調(diào)查所得的數(shù)據(jù). 總成績好 總成績不好 總計(jì) 數(shù)學(xué)成績好 478 a 490 數(shù)學(xué)成績不好 399 24 423 總計(jì) b c 913 (1)計(jì)算a，b，c的值； (2)文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系嗎？ 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 解　(1)由478＋a＝490，得a＝12. 由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36. 由b＋c＝913，得b＝913－36＝877. (2)計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值 k＝≈6.233>5.024， 因?yàn)镻(K2≥5.024)≈0.025， 所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系． 1．列聯(lián)表與等高條形圖 列聯(lián)表由兩個分類變量之間頻率大小差異說明這兩個變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，而利用等高條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系． 2．對獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，如果K2的值很大，說明假設(shè)不合理．K2越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大． 一、選擇題 1．下面是一個22列聯(lián)表： y1 y2 總計(jì) x1 a 21 73 x2 8 25 33 總計(jì) b 46 106 則表中a，b的值分別為(　　) A．94,96 B．52,50 C．52,60 D．54,52 考點(diǎn)　分類變量與列聯(lián)表 題點(diǎn)　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 答案　C 2．為了研究高中學(xué)生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系，運(yùn)用22列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得K2＝7.01，則認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握約為(　　) A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 答案　C 解析　易知K2＝7.01>6.635，對照臨界值表知，有99%的把握認(rèn)為喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系． 3．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，兩個分類變量“X與Y有關(guān)系”的可信度為99%，則隨機(jī)變量K2的觀測值k的取值范圍是(　　) A．[3.841,5.024) B．[5.024,6.635) C．[6.635,7.879) D．[7.879,10.828) 考點(diǎn)　分類變量與列聯(lián)表 題點(diǎn)　求觀測值 答案　C 4．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表： 優(yōu)秀 及格 總計(jì) 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 總計(jì) 19 71 90 則隨機(jī)變量K2的觀測值約為(　　) A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 考點(diǎn)　分類變量與列聯(lián)表 題點(diǎn)　求觀測值 答案　A 解析　根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得隨機(jī)變量K2的觀測值k＝≈0.600.故選A. 5．在22列聯(lián)表中，兩個比值相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大，那么這兩個比值為(　　) A.與 B.與 C.與 D.與 考點(diǎn)　定性分析的兩類方法 題點(diǎn)　利用圖形定性分析 答案　A 解析　由題意，＝＝，因?yàn)閨ad－bc|的值越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大，故選A. 6．有兩個分類變量X，Y，其列聯(lián)表如下所示， Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a,15－a均為大于5的整數(shù)，若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X，Y有關(guān)，則a的值為(　　) A．8 B．9 C．8或9 D．6或8 考點(diǎn)　分類變量與列聯(lián)表 題點(diǎn)　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 答案　C 解析　根據(jù)公式，得K2的觀測值 k＝ ＝>3.841，根據(jù)a>5且15－a>5， a∈Z，求得當(dāng)a＝8或9時(shí)滿足題意． 7．某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)量大 認(rèn)為作業(yè)量不大 合計(jì) 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合計(jì) 26 24 50 則推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”這種推斷犯錯誤的概率不超過(　　) A．0.01 B．0.025 C．0.005 D．0.001 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 答案　B 解析　由公式得K2的觀測值k＝≈5.059>5.024.∵P(K2≥5.024)＝0.025，∴犯錯誤的概率不超過0.025. 二、填空題 8．在吸煙與患肺病是否相關(guān)的判斷中，有下面的說法：①若K2的觀測值k>6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? ②從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺??； ③從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，是指有5%的可能性使得推斷錯誤． 其中說法正確的是________． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想 答案?、? 解析　K2是檢驗(yàn)吸煙與患肺病相關(guān)程度的量，是相關(guān)關(guān)系，而不是確定關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率，故說法①不正確；說法②中對“確定容許推斷犯錯誤概率的上界”理解錯誤；說法③正確． 9．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 　專業(yè) 性別　　 非統(tǒng)計(jì)專業(yè) 統(tǒng)計(jì)專業(yè) 男 13 10 女 7 20 為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝≈4.844，因?yàn)镵2>3.841，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯的可能性最大為__________． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 答案　5% 解析　因?yàn)镵2>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)，出錯的可能性為5%. 10．2014年世界杯期間，某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊(duì)進(jìn)行調(diào)查，對高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表： 不喜歡西班牙隊(duì) 喜歡西班牙隊(duì) 總計(jì) 高于40歲 p q 50 不高于40歲 15 35 50 總計(jì) a b 100 若工作人員從所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個，取到喜歡西班牙隊(duì)的人的概率為，則有超過________的把握認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān)． 附：K2＝. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)及其基本思想 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法 答案　95% 解析　設(shè)“從所有人中任意抽取一個，取到喜歡西班牙隊(duì)的人”為事件A，由已知得P(A)＝＝， 所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60. K2＝＝≈4.167>3.841. 故有超過95%的把握認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān)． 三、解答題 11．研究人員選取170名青年男女大學(xué)生的樣本，對他們進(jìn)行一種心理測驗(yàn)．發(fā)現(xiàn)有60名女生對該心理測驗(yàn)中的最后一個題目的反應(yīng)是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的項(xiàng)目上作肯定的有22名，否定的有88名．問：性別與態(tài)度之間是否存在某種關(guān)系？分別用條形圖和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷． 考點(diǎn)　定性分析的兩類方法 題點(diǎn)　利用圖形定性分析 解　建立性別與態(tài)度的22列聯(lián)表如下： 肯定 否定 總計(jì) 男生 22 88 110 女生 22 38 60 總計(jì) 44 126 170 根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，可求出男生中作肯定態(tài)度的頻率為＝0.2，女生中作肯定態(tài)度的頻率為≈0.37.作等高條形圖如圖，其中兩個深色條形的高分別表示男生和女生中作肯定態(tài)度的頻率，比較圖中深色條形的高可以發(fā)現(xiàn)，女生中作肯定態(tài)度的頻率明顯高于男生中作肯定態(tài)度的頻率，因此可以認(rèn)為性別與態(tài)度有關(guān)系． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到K2的觀測值k＝≈5.622>5.024. 因此，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別和態(tài)度有關(guān)系． 12．某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)抽取了55名市民，得到數(shù)據(jù)如下表所示： 喜歡 不喜歡 合計(jì) 大于40歲 20 5 25 20歲至40歲 10 20 30 合計(jì) 30 25 55 (1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)？ (2)用分層抽樣的方法從喜歡“人文景觀”景點(diǎn)的市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查，將這6名市民作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1位大于40歲的市民和1位20歲至40歲的市民的概率． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 題點(diǎn)　分類變量與統(tǒng)計(jì)、概率的綜合性問題 解　(1)由公式K2＝得，觀測值k≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)． (2)由題意知抽取的6人中大于40歲的市民有4個，20歲至40歲的市民有2個，分別記為B1，B2，B3，B4，C1，C2， 從中任選2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15個，其中恰有1位大于40歲的市民和1 位20歲至40歲的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8個，所以恰有1位大于40歲的市民和1位20歲至40歲的市民的概率為. 四、探究與拓展 13．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其中22列聯(lián)表為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)的可能性最大的一組是(　　) A．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a(chǎn)＝5，b＝3，c＝4，d＝2 C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a(chǎn)＝3，b＝2，c＝4，d＝5 考點(diǎn)　分類變量與列聯(lián)表 題點(diǎn)　求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù) 答案　D 解析　對于同一樣本，|ad－bc|越小，說明x與y相關(guān)性越弱，而|ad－bc|越大，說明x與y相關(guān)性越強(qiáng)，通過計(jì)算知，對于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2.對于選項(xiàng)D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，顯然7>2. 14．2017年世界第一屆輪滑運(yùn)動會(the first edtion of Roller Games)在南京舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者分別有10人和6人喜愛輪滑，其余不喜愛．得到22列聯(lián)表如下. 喜愛輪滑 不喜愛輪滑 總計(jì) 男 10 6 16 女 6 8 14 總計(jì) 16 14 30 (1)根據(jù)22列聯(lián)表，判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與喜愛輪滑有關(guān)？ (2)從女志愿者中抽取2人參加接待工作，若其中喜愛輪滑的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和均值． 考點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立性檢驗(yàn)與線性回歸方程、均值的綜合應(yīng)用 解　(1)假設(shè)：是否喜愛輪滑與性別無關(guān)．由已知數(shù)據(jù)可求得K2的觀測值為 k＝≈1.157 5<2.706. 因此不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為喜愛輪滑與性別有關(guān)． (2)喜愛輪滑的人數(shù)ξ的可能取值為0,1,2， 則P(ξ＝0)＝＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以喜愛輪滑的人數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 所以喜愛輪滑的人數(shù)ξ的均值為E(ξ)＝0＋1＋2＝.