2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題19 利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.doc

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專題19 利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 在近幾年的高考試卷中，以基本函數(shù)為背景的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢(shì)．注重在知識(shí)的交匯點(diǎn)命題，與三角函數(shù)、解三角形、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)列等相結(jié)合，綜合考查函數(shù)方程思想及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的理解運(yùn)用；考查分析與解決問(wèn)題的能力、應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)新能力. 1、使用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 （1）題目特點(diǎn)：敘述中體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系（涉及的量也許有多個(gè)，但均能夠用兩個(gè)核心變量進(jìn)行表示）.以其中一個(gè)為自變量，則另一個(gè)變量可視為自變量的函數(shù)，進(jìn)而搭建出函數(shù)模型，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)： ① 分段函數(shù)：當(dāng)自變量的不同取值導(dǎo)致解析式不同時(shí)，可通過(guò)建立分段函數(shù)來(lái)體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的關(guān)系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對(duì)應(yīng)不同的計(jì)算方式，則通常要用分段函數(shù)進(jìn)行表示. ② 導(dǎo)數(shù)：在求最值的過(guò)程中，若函數(shù)解析式不是常見(jiàn)的函數(shù)（二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)等），則可利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可構(gòu)造和為定值或積為定值）可通過(guò)均值不等式迅速的找到最值. ④ 分式函數(shù)的值域問(wèn)題：可通過(guò)分離常數(shù)對(duì)分式進(jìn)行變形，并利用換元將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)求解 （3）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系： ① 面積問(wèn)題：可通過(guò)尋底找高進(jìn)行求解，例如： 平行四邊形面積底高 梯形面積（上底下底）高 三角形面積底高 ② 商業(yè)問(wèn)題： 總價(jià)單價(jià)數(shù)量 利潤(rùn)營(yíng)業(yè)額成本貨物單價(jià)數(shù)量成本 ③ 利息問(wèn)題： 利息本金利率 本息總和本金利息本金利率本金 （4）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意變量的取值范圍應(yīng)與實(shí)際情況相符，例如：涉及到個(gè)數(shù)時(shí)，變量應(yīng)取正整數(shù).涉及到錢，速度等問(wèn)題，變量的取值應(yīng)該為正數(shù). 2、使用線性規(guī)劃模型解決實(shí)際問(wèn)題 （1）題目特點(diǎn)：敘述中也有兩個(gè)核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關(guān)系，且所求是關(guān)于兩個(gè)核心變量的表達(dá)式，這類問(wèn)題通常使用線性規(guī)劃模型來(lái)解決問(wèn)題 （2）與函數(shù)模型的不同之處 ① 函數(shù)模型：體現(xiàn)兩核心變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)一個(gè)變量的范圍求另一個(gè)變量的范圍（或最值） ② 線性規(guī)劃模型：體現(xiàn)關(guān)于兩變量的不等關(guān)系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個(gè)變量的表達(dá)式的最值. （3）解題步驟：根據(jù)題目敘述確定未知變量（通常選擇兩個(gè)核心變量，其余變量用這兩個(gè)進(jìn)行表示），并列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決 （4）注意事項(xiàng)：在實(shí)際問(wèn)題中，變量的取值有可能為整數(shù)，若最優(yōu)解不是整數(shù)，則可在最優(yōu)解附近尋找?guī)讓?duì)整點(diǎn)，代入到目標(biāo)函數(shù)中并比較大小 3、使用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 （1）題目特點(diǎn)：題目以幾何圖形（主要是三角形）作為基礎(chǔ)，條件多與邊角相關(guān) （2）需要用到的數(shù)學(xué)工具與知識(shí)點(diǎn)： ① 正弦定理：設(shè)三邊所對(duì)的角分別為，則有 ② 余弦定理（以和對(duì)角為例）， ③ 三角函數(shù)表達(dá)式的化簡(jiǎn)與變形 ④ 函數(shù)的值域 （3）解題技巧與注意事項(xiàng)： ① 在求邊角問(wèn)題時(shí)，應(yīng)把所求的邊或角放在合適的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內(nèi)角的三角函數(shù)值進(jìn)行表示 ③ 在圖形中要注意變量的取值范圍 【經(jīng)典例題】 例1．【2018屆上海市松江、閔行區(qū)高三下學(xué)期（二模）】某公司利用線上、實(shí)體店線下銷售產(chǎn)品，產(chǎn)品在上市天內(nèi)全部售完.據(jù)統(tǒng)計(jì)，線上日銷售量、線下日銷售量（單位：件）與上市時(shí)間 天的關(guān)系滿足： ，產(chǎn)品每件的銷售利潤(rùn)為(單位：元)（日銷售量線上日銷售量線下日銷售量）. （1）設(shè)該公司產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)為，寫出的函數(shù)解析式； （2）產(chǎn)品上市的哪幾天給該公司帶來(lái)的日銷售利潤(rùn)不低于元？ 【答案】(1)(2)第5天至第15天該公司日銷售利潤(rùn)不低于元. 【解析】試題分析： （1）由題意分類討論，分別求得銷售量，然后與相應(yīng)的利潤(rùn)相乘可得利潤(rùn)函數(shù)的解析式為 （2）結(jié)合(1)中的利潤(rùn)函數(shù)分類討論求解二次不等式可得第5天至第15天給該公司帶來(lái)的日銷售利潤(rùn)不低于元. 綜上可得： （2）當(dāng)時(shí)，由，解得； 當(dāng)時(shí)，由，解得； 當(dāng)時(shí)，由，無(wú)解. 故第5天至第15天給該公司帶來(lái)的日銷售利潤(rùn)不低于元. 點(diǎn)睛：(1)很多實(shí)際問(wèn)題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型. (2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值． 例2.【2018年江蘇省高考沖刺預(yù)測(cè)卷一】秸稈還田是當(dāng)今世界上普通重視的一項(xiàng)培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時(shí)還有增肥增產(chǎn)作用.某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時(shí)讓秸稈還田，花137600元購(gòu)買了一臺(tái)新型聯(lián)合收割機(jī)，每年用于收割可以收入6萬(wàn)元（已減去所用柴油費(fèi)）；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費(fèi)維修保養(yǎng)，所付費(fèi)用（元）與使用年數(shù)的關(guān)系為：（，且），已知第二年付費(fèi)1800元，第五年付費(fèi)6000元.} （Ⅰ）試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用（元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系； （Ⅱ）這臺(tái)收割機(jī)使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-維修保養(yǎng)費(fèi)用-購(gòu)買機(jī)械費(fèi)用） 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14. 【解析】試題分析：根據(jù)第二年付費(fèi)元，第五年付費(fèi)元可得關(guān)于的方程組，解出即可得到 則依題意，， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào). 所以這臺(tái)收割機(jī)使用14年，可使年均收益最大. 例3．【2018屆廣東省六校（廣州二中，深圳實(shí)驗(yàn)，珠海一中，中山紀(jì)念，東莞中學(xué)，惠州一中）高三下第三次聯(lián)考】某小店每天以每份5元的價(jià)格從食品廠購(gòu)進(jìn)若干份食品，然后以每份10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的食品還可以每份1元的價(jià)格退回食品廠處理. (Ⅰ)若小店一天購(gòu)進(jìn)16份，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式； (Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. (i)小店一天購(gòu)進(jìn)16份這種食品，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望； (ii)以小店當(dāng)天利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你認(rèn)為一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)食品16份還是17份？ 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案見(jiàn)解析；(ii)17份. 的大小可得選擇的結(jié)論． X 62 71 80 P 0．1 0．2 0．7 ∴元． （ii）若小店一天購(gòu)進(jìn)17份食品，表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么的分布列為 Y 58 67 76 85 P 0．1 0．2 0．16 0．54 ∴的數(shù)學(xué)期望為元． 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出， 即購(gòu)進(jìn)17份食品時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16份時(shí)的平均利潤(rùn)． ∴所以小店應(yīng)選擇一天購(gòu)進(jìn)17份． 例4．【2018屆江蘇省無(wú)錫市高三上期末】如圖，點(diǎn)為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點(diǎn)，與平行，設(shè). （1）證明：觀光專線的總長(zhǎng)度隨的增大而減??； （2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當(dāng)取何值時(shí)，觀光專線的修建總成本最低？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）. ，求出，分兩區(qū)間 討論的單調(diào)性，以證明為極小值點(diǎn). 試題解析： （1）由題意，，所以， 又， 所以觀光專線的總長(zhǎng)度 ，， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 所以在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 所以，當(dāng)時(shí)，最小. 答：當(dāng)時(shí)，觀光專線的修建總成本最低. 【點(diǎn)睛】在一定條件下“成本最低”、“用料最省”、“面積最大”、“效率最高“等問(wèn)題，在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常遇到，在數(shù)學(xué)上這類問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見(jiàn)的求最值的方法外，還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值，但無(wú)論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行. 例5.如圖所示，甲船以每小時(shí)的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距 ．當(dāng)甲船航行 到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西 方向的處，此時(shí)兩船相距 ，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少？ 【答案】. 【解析】試題分析：連接，先得是等邊三角形，求出，在中使用余弦定理求出的長(zhǎng)，除以航行時(shí)間得出速度． 試題解析：如圖，連結(jié),由題意知, .所以. 又， 答：乙船每小時(shí)航行 . 例6.【2018屆江蘇省南通、徐州、揚(yáng)州等六市高三二?！繉⒁昏F塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形（B，C全等），用來(lái)制成一個(gè)柱體．現(xiàn)有兩種方案： 方案①：以為母線，將A作為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面； 方案②：以為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個(gè)底面． （1）設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑； （2）設(shè)的長(zhǎng)為dm，則當(dāng)為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？ 【答案】(1) ；(2) . 【解析】試題分析：（1）設(shè)所得圓柱的半徑為，根據(jù)矩形薄鐵皮的面積為100，即可求得的值； 試題解析：（1）設(shè)所得圓柱的半徑為，則， 解得． （2）設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為dm，則即 方法一： 所得正四棱柱的體積 記函數(shù)則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ∴當(dāng)時(shí)， ． ∴當(dāng)， 時(shí)， dm3． （2）當(dāng)為時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大． 例7.【2018屆江蘇省南通市高三上第一次調(diào)研】如圖，某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成，一部分是邊長(zhǎng)為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道， ， 將廣場(chǎng)分割為個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上， 分別與， 相交于點(diǎn)， .（道路寬度忽略不計(jì)） （1）若經(jīng)過(guò)圓心，求點(diǎn)到的距離； （2）設(shè)， . ①試用表示的長(zhǎng)度； ②當(dāng)為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大. 【答案】（1）（2）①最小值為②當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大 半圓的方程為 ， 由得. 所以，點(diǎn)到的距離為. （2）①由題意，得. 直線的方程為 ， 令，得 . 直線的方程為， 令，得 . 所以 . 設(shè)，則， . . 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立. 所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為. 答：當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大. 例8.【2018屆山東省棗莊市第八中學(xué)東校區(qū)高三1月月考】現(xiàn)有一塊大型的廣告宣傳版面，其形狀是右圖所示的直角梯形.某廠家因產(chǎn)品宣傳的需要，擬投資規(guī)劃出一塊區(qū)域（圖中陰影部分）為產(chǎn)品做廣告，形狀為直角梯形（點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)在線段上）.已知， ，其中曲線段是以為頂點(diǎn)， 為對(duì)稱軸的拋物線的一部分. （1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，分別求出曲線段與線段的方程； （2）求該廠家廣告區(qū)域的最大面積. 【答案】(1) ， ；(2)最大值是 則， ， ， ， 曲線段的方程為： ； 線段的方程為： ； （2）設(shè)點(diǎn)，則需，即, 令，得， . ∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). ∴. ∴廠家廣告區(qū)域的面積最大值是. 點(diǎn)睛:本題利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建系設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)即可表示出面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可求出最值. 例9. 時(shí)下網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價(jià)格:（單位：元/套）滿足的關(guān)系式，其中為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套． （1）求的值； （2）假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數(shù)），試確定銷售價(jià)格的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大．（保留1位小數(shù)） 【答案】（1）10；（2）約為3.3. 【解析】解：（1）將代入關(guān)系式可得： （2）思路：依題意可得售出一套，所得利潤(rùn)為元，所以總的利潤(rùn) ，其中，利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，進(jìn)而可求得最大值點(diǎn) 在取得最大值，即 例10.如圖，在海岸線一側(cè)有一休閑游樂(lè)場(chǎng)，游樂(lè)場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數(shù)的圖像，圖像的最高點(diǎn)為，邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段，且∥，游樂(lè)場(chǎng)的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧 （1）求曲線的函數(shù)表達(dá)式 （2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現(xiàn)準(zhǔn)備從入口，修一條筆直的景觀路到，求景觀路的長(zhǎng)度 （3）如圖，在扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上，且，求平行 四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時(shí)的值 【答案】（1）；（2）；（3）時(shí)，的最大值為 . 【解析】解：（1）由可知， 對(duì)于， （2）由已知可得 或 解得：或，由可得： （3）由圖可知， 時(shí)，的最大值為 【精選精練】 1．【2018年北京市門頭溝一模】某電力公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報(bào)價(jià)三項(xiàng)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評(píng)分的，按照綜合得分的高低進(jìn)行綜合排序，綜合排序高者中標(biāo)。分值權(quán)重表如下： 總分 技術(shù) 商務(wù) 報(bào)價(jià) 100% 50% 10% 40% 技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實(shí)力來(lái)決定的。報(bào)價(jià)表則相對(duì)靈活，報(bào)價(jià)標(biāo)的評(píng)分方法是：基準(zhǔn)價(jià)的基準(zhǔn)分是68分，若報(bào)價(jià)每高于基準(zhǔn)價(jià)1%，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣0.8分，最低得分48分；若報(bào)價(jià)每低于基準(zhǔn)價(jià)1%，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加0.8分，最高得分為80分。若報(bào)價(jià)低于基準(zhǔn)價(jià)15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基礎(chǔ)上扣0.8分。在某次招標(biāo)中，若基準(zhǔn)價(jià)為1000（萬(wàn)元）。甲、乙兩公司綜合得分如下表： 公司 技術(shù) 商務(wù) 報(bào)價(jià) 甲 80分 90分 分 乙 70分 100分 分 甲公司報(bào)價(jià)為1100（萬(wàn)元），乙公司的報(bào)價(jià)為800（萬(wàn)元）則甲，乙公司的綜合得分，分別是 A. 73，75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4 【答案】A 點(diǎn)睛：對(duì)及時(shí)定義的題目，關(guān)鍵是讀懂題意，正確根據(jù)新定義化簡(jiǎn)或求值，注意與區(qū)別原有定義的區(qū)別. 2．【2018屆山西省孝義市高三下學(xué)期一?！繂?wèn)題“今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問(wèn)共織幾何？”源自南北朝張邱建所著的《張邱建算經(jīng)》，該問(wèn)題的答案是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】A 【解析】由已知可得該女子三十日每日織布數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為，且，則，故選A. 3．【衡水金卷調(diào)研卷（五）】河南洛陽(yáng)的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】最下層的“浮雕像”的數(shù)量為，依題有：公比，解得，則， ，從而，故選C. 4．【2018屆青海省西寧市高三下學(xué)期（一模）】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)均輸》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位）.這個(gè)問(wèn)題中，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ） A. （） B. （） C. （） D. ，（ ） 【答案】D 5．【2019屆高考全程訓(xùn)練】某研究所計(jì)劃利用“神舟十一號(hào)”飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃搭載新產(chǎn)品，要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品質(zhì)量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)產(chǎn)生收益來(lái)決定具體安排，通過(guò)調(diào)查，搭載每件產(chǎn)品有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 因素 產(chǎn)品 產(chǎn)品 備注 研制成本、搭載費(fèi)用之和/萬(wàn)元 20 30 計(jì)劃最大投資 金額300萬(wàn)元產(chǎn)品質(zhì)量/千克 10 5 最大搭載 質(zhì)量110千克預(yù)計(jì)收益/萬(wàn)元 80 60 —— 則使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大時(shí)， 兩種產(chǎn)品的搭載件數(shù)分別為(　　) A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4 【答案】A 由解得,故M(9,4)． 所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為zmax＝809＋604＝960，此時(shí)搭載產(chǎn)品A有9件，產(chǎn)品B有4件． 故選A. 點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得. 6．【2018屆廣東省廣州市廣州大學(xué)附屬中學(xué)、鐵一中學(xué)、廣州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高三上學(xué)期期中】如圖，是半徑為，的扇形，是弧上的點(diǎn)，是扇形的內(nèi)棱矩形，經(jīng)，若，且當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大，則的值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意，則，，，則 點(diǎn)睛：此類題目是三角函數(shù)問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)的恒等變換，得到三角函數(shù)的解析式，進(jìn)一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題易錯(cuò)點(diǎn)在于一是圖象的變換與解析式的對(duì)應(yīng)，二是忽視設(shè)定角的范圍，難度不大，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等. 7．【2018屆山東K12聯(lián)盟高三開(kāi)年迎春考試】公元五世紀(jì)張丘建所著《張丘建算經(jīng)》卷中第1題為：今有戶出銀一斤八兩一十二銖，今以家有貧富不等，今戶別作差品，通融出之，最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩，問(wèn)戶幾何？題目的意思是：每戶應(yīng)交稅銀1斤8兩12銖，若考慮貧富的差別，家最貧者交8兩，戶別差為3兩，則戶數(shù)為_(kāi)_________．（1斤兩，1兩銖） 【答案】12 【解析】將本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，1斤8兩12銖=24.5兩，設(shè)戶數(shù)為n，則，所以。 8．要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米200元,側(cè)面造價(jià)是每平方米100元,則該容器的最低總造價(jià)是________元. 【答案】1600 【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的底面的長(zhǎng)為xm，則寬為m，總造價(jià)為y元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時(shí)，等號(hào)成立， 故答案為1600元 9．【2018屆（衡水金卷調(diào)研卷）五】我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個(gè)題目：“問(wèn)有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一個(gè)三角形沙田，三邊分別為里， 里， 里，假設(shè)里按米計(jì)算，則該三角形沙田外接圓的半徑為_(kāi)__________米. 【答案】 【解析】 10．十九大指出中國(guó)的電動(dòng)汽車革命早已展開(kāi)，通過(guò)以新能源汽車替代汽/柴油車，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃.年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且.由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完. （1）求出2018年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額-成本） （2）2018年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn). 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，即年生產(chǎn)百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬(wàn)元. 【解析】試題分析：（1）利用給定的公式“利潤(rùn)=銷售額-成本”計(jì)算利潤(rùn)，因?yàn)槌杀竞瘮?shù)是分段函數(shù)，故需要分類計(jì)算得到利潤(rùn)函數(shù)為.（2）當(dāng)時(shí)，，這是二次函數(shù)，其最大值為；當(dāng)時(shí)，，最大值為，因此年生產(chǎn)百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬(wàn)元. （2）當(dāng)時(shí)，， ∴當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，； ∴當(dāng)時(shí)，即年生產(chǎn)百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬(wàn)元. 11．【2018屆上海市虹口區(qū)高三上學(xué)期期末】如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的矩形，矩形兩邊， 緊靠?jī)蓷l互相垂直的路上．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)修一條直線的路，這條路不能穿過(guò)古建筑群，且與另兩條路交于點(diǎn)和． （1）設(shè)（），將的面積表示為的函數(shù)； （2）求的面積（）的最小值． 【答案】（1）;（2）4． （2）設(shè) 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)， 取得最小值4． 12．【2017課標(biāo)3，文18】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。 （1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率； （2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出的所有可能值，并估計(jì)大于零的概率． 【答案】（1）；（2） （2）的可能值列表如下： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 300 900 900 900 低于：； ：； 不低于： ∴大于0的概率為.