2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc
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一 二維形式的柯西不等式 [課時(shí)作業(yè)] [A組 基礎(chǔ)鞏固] 1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a＋b的取值范圍是( ) A．[－2，2 ] B．[－2，2 ] C．[－， ] D．(－， ] 解析：∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2， 即20≥(a＋b)2，∴－2 ≤a＋b≤2. 答案：A 2．函數(shù)y＝2＋的最大值是( ) A．3 B． C. D．4 解析：y2＝2 ≤[22＋()2]＝6＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)2＝， 即x＝時(shí)等號成立． ∴y的最大值為. 答案：C 3．如果實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b為常數(shù)，那么mx＋ny的最大值為( ) A. B． C. D． 解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，當(dāng)m＝n＝， x＝y(tǒng)＝時(shí)，(mx＋ny)max＝. 答案：B 4．若a＋b＝1，則2＋2的最小值為( ) A．1 B．2 C. D． 解析：2＋2 ＝a2＋2＋＋b2＋2＋. ∵a＋b＝1， ∴a2＋b2＝(a2＋b2)(1＋1) ≥(a＋b)2＝， 又＋≥≥＝8， 以上兩個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號成立 ∴2＋2 ≥＋2＋2＋8＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號成立，取到最小值. 答案：C 5．若長方形ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接長方形，則長方形ABCD周長的最大值為( ) A．2R B．2R C．4R D．4R 解析：如圖，設(shè)內(nèi)接長方形ABCD的長為x，則寬為，于是ABCD的周長l＝2(x＋)＝2(1x＋1)． 由柯西不等式得 l≤2[x2＋()2](12＋12) ＝22R＝4R. 當(dāng)且僅當(dāng)x1＝1， 即x＝R時(shí)等號成立． 此時(shí)＝ ＝R， 即四邊形ABCD為正方形，故周長為最大的內(nèi)接長方形是正方形，其周長為4R. 答案：D 6．若存在實(shí)數(shù)x使＋>a成立，常數(shù)a的取值范圍為________． 解析：＋＝＋1， 由柯西不等式得(＋1)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64， 所以＋≤8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時(shí)取“＝”， 于是，常數(shù)a的取值范圍是(－∞，8)． 答案：(－∞，8) 7．設(shè)xy>0，則(x2＋)(y2＋)的最小值為________． 解析：原式＝ ≥2＝9. 答案：9 8．設(shè)實(shí)數(shù)x， y滿足3x2＋2y2＝6，則2x＋y的最大值為________． 解析：∵[(x)2＋(y)2]≥(2x＋y)2， ∴|2x＋y|≤ ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝x， 即3x＝4y且3x2＋2y2＝6時(shí)，等號成立，而此方程組有解． ∴2x＋y的最大值為. 答案： 9．已知θ為銳角，a，b>0，求證：(a＋b)2≤＋. 證明：設(shè)m＝，n＝(cos θ，sin θ)， 則|a＋b|＝|cos θ＋sin θ| ＝|mn|≤|m||n|＝＝， ∴(a＋b)2≤＋. 10．設(shè)a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值． 解析：∵(a＋b) ＝[()2＋()2] ≥2＝(1＋1)2＝4. ∴2≥4，即≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)取等號， ∴當(dāng)a＝b＝1時(shí)，＋的最小值為2. [B組 能力提升] 1．設(shè)a1、a2、b1、b2∈R，則下列不等式中，柯西不等式用錯的是( ) A．(a＋b)(a＋b)≥(a1a2＋b1b2)2 B．(a＋b)(a＋b)≥(a1b2＋b1a2)2 C．(a＋b)(a＋b)≥(a1b1＋a2b2)2 D．(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2 答案：C 2．設(shè)xy>0，則的最小值為________． 解析：原式＝[x2＋()2][()2＋y2]≥(x＋y)2＝9. 答案：9 3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是________． 解析：(＋)2＝(1＋1)2≤( 12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2|41＋2|＝12. 答案：12 4．已知a，b，c為正數(shù)，且滿足acos2θ＋bsin2θ下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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