《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例
[課時(shí)作業(yè)]
[A組 基礎(chǔ)鞏固]
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+
1)時(shí),第一步即證下述哪個(gè)不等式成立( )
A.1<2 B.1+<2
C.1++<2 D.1+<2
解析:∵n∈N+,且n>1,
∴第一步n=2,左邊=1++,右邊=2,
即1++<2,應(yīng)選C.
答案:C
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>成立時(shí),起始值n0至少應(yīng)取( )
A.7 B.8
C.9 D.10
解析:1+++++…+=,
n-1=6,n=7,故n0=8.
答案:B
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明 “Sn=+++…+>1(n∈N+)”時(shí),S1等于( )
A. B.
C. + D.++
解析:因?yàn)镾1的首項(xiàng)為=,末項(xiàng)為=,所以S1=++,故選D.
答案:D
4.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),有f(k)滿足:當(dāng)“f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么下列命題總成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k<5時(shí),均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)42,因此對于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.
答案:D
5.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立,那么可推得( )
A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立
B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立
D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立
解析:與“如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”等價(jià)的命題為“如果當(dāng)n=k+1時(shí)命題不成立,則當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),命題也不成立”.故知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,可推得當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立,故選C.
答案:C
6.觀察下列式子:1+<,1++<,1+++<,…,可歸納出一般性結(jié)論:________.
解析:由題意得1+++…+<(n∈N+).
答案:1+++…+<(n∈N+)
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明+cos α+cos 3α+…+cos(2n-1)α=(k∈N+,a≠kπ,n∈N+),在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是________.
答案:+cos α
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n+1≥n2+n+2(n∈N+)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證________.
答案:n=1時(shí),22≥12+1+2,即4=4
9.證明不等式:1+++…+<2(n∈N+ ).
證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即
1+++…+<2(k∈N+).
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+++…++<2+=,
現(xiàn)在只需證明<2,
即證:2<2k+1,
兩邊平方,整理得0<1,顯然成立.
∴<2成立.
即1+++…++<2成立.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由(1)(2)知,對于任何正整數(shù)n原不等式都成立.
10.設(shè)Sn=+++…+(n∈N+),設(shè)計(jì)算S1,S2,S3,并猜想Sn的表達(dá)式,然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.
解析:∵S1===,
S2=+==,
S3=++==,
……
猜想Sn=(n∈N+).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊S1==,右邊==,等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)等式成立,即
+++…+=,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
+++…++=+
===,
這就是說,
當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.
由(1)(2)可知,
等式Sn=對n∈N+都成立.
[B組 能力提升]
1.觀察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,
1+++…+>,…,由此猜測第n(n∈N+)個(gè)不等式為( )
A.1+++…+>
B.1+++…+>
C.1+++…+>
D.1+++…+>
解析:∵1,3,7,15,31,…的通項(xiàng)公式為an=2n-1,
∴不等式左邊應(yīng)是1+++…+.
∵,1,,2,,…的通項(xiàng)公式為bn=,
∴不等式右邊應(yīng)是.
答案:C
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“++…+>(n>2,n∈N+)”時(shí)的過程中,由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊( )
A.增加了一項(xiàng)
B.增加了兩項(xiàng),
C.增加了兩項(xiàng),,又減少了一項(xiàng)
D.增加了一項(xiàng),又減少了一項(xiàng)
解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊=++…+.
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=++…+=++…+++.
故由n=k到n=k+1時(shí),不等式的左邊增加了兩項(xiàng),又減少了一項(xiàng).
答案:C
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式,其中證n=k+1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是:+>+( )>,括號中應(yīng)填的式子是________.
解析:由>k+2,聯(lián)系不等式的形式可知,應(yīng)填k+2.
答案:k+2
4.設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,則M,N的大小關(guān)系為________(提示:利用貝努利不等式,令x=).
解析:令x=,∵M(jìn)=(a+b)n,N=an+nan-1b,
∴=(1+x)n,=1+nx.
∵a>0,b>0,∴x>0.
由貝努利不等式得(1+x)n>1+nx.
∴>,∴M>N
答案:M>N
5.對于一切正整數(shù)n,先猜出使tn>n2成立的最小的正整數(shù)t,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,并再證明不等式:n(n+1)>lg(123…n).
證明:猜想當(dāng)t=3時(shí),對一切正整數(shù)n使3n>n2成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
當(dāng)n=1時(shí),31=3>1=12,命題成立.
假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),3k>k2成立,
則有3k≥k2+1.
對n=k+1,3k+1=33k=3k+23k
>k2+2(k2+1)>3k2+1.
∵(3k2+1)-(k+1)2
=2k2-2k=2k(k-1)≥0,
∴3k+1>(k+1)2,
∴對n=k+1,命題成立.
由上知,當(dāng)t=3時(shí),對一切n∈N+,命題都成立.
再用數(shù)學(xué)歸納法證明:
n(n+1)>lg(123…n).
當(dāng)n=1時(shí),1(1+1)=>0=lg 1,命題成立.
假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),
k(k+1)>lg(123…k)成立.
當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)(k+2)
=k(k+1)+2(k+1)
>lg(123…k)+lg 3k+1
>lg(123…k)+lg(k+1)2
=lg[123…k(k+1)],命題成立.
由上可知,對一切正整數(shù)n,命題成立.
6.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,公比q=3,Sn是它的前n項(xiàng)和.
求證:≤.
證明:由已知,得Sn=3n-1,
≤等價(jià)于≤,即3n≥2n+1.(*)
法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明上面不等式成立.
①當(dāng)n=1時(shí),左邊=3,右邊=3,所以(*)成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),(*)成立,即3k≥2k+1,那么當(dāng)n=k+1時(shí),
3k+1=33k≥3(2k+1)=6k+3≥2k+3=2(k+1)+1,
所以當(dāng)n=k+1時(shí),(*)成立.
綜合①②,得3n≥2n+1成立.
所以≤.
法二:當(dāng)n=1時(shí),左邊=3,右邊=3,所以(*)成立.
當(dāng)n≥2時(shí),3n=(1+2)n=C+C2+C22+…+C2n=1+2n+…>1+2n,所以(*)成立.
所以≤.
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