2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-3-2 空間兩點(diǎn)間的距離公式.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-3-2 空間兩點(diǎn)間的距離公式 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式,會用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決問題. 2.通過探究空間兩點(diǎn)間的距離公式,靈活運(yùn)用公式,初步意識到將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決問題的基本思想方法,培養(yǎng)類比、遷移和化歸的能力. 3.通過棱與坐標(biāo)軸平行的特殊長方體的頂點(diǎn)的坐標(biāo),類比平面中兩點(diǎn)之間的距離的求法,探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式,充分體會數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)積極參與、大膽探索的精神. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：空間兩點(diǎn)間的距離公式. 教學(xué)難點(diǎn):一般情況下,空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo). 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 我們知道,數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差的絕對值,即d=|x1-x2|；平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離是d=.同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)怎樣計(jì)算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學(xué)習(xí)空間兩點(diǎn)間的距離公式. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是什么？它是如何推導(dǎo)的？ ②設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點(diǎn),它到原點(diǎn)的距離是多少？應(yīng)怎樣計(jì)算？ ③給你一塊磚,你如何量出它的對角線長,說明你的依據(jù). ④同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,你猜想空間兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)怎樣計(jì)算？ ⑤平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示什么圖形？在空間中方程x2+y2+z2=r2表示什么圖形？ ⑥試根據(jù)②③推導(dǎo)兩點(diǎn)之間的距離公式. 活動：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點(diǎn)撥.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問題的思路,要全面考慮,大膽猜想,發(fā)散思維.①學(xué)生回憶學(xué)過的數(shù)學(xué)知識,回想當(dāng)時的推導(dǎo)過程；②解決這一問題,可以采取轉(zhuǎn)化的方法,轉(zhuǎn)化成我們學(xué)習(xí)的立體幾何知識來解；③首先考慮問題的實(shí)際意義,直接度量,顯然是不可以的,我們可以轉(zhuǎn)化為立體幾何的方法,也就是求長方體的對角線長.④回顧平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式,可類比猜想相應(yīng)的公式；⑤學(xué)生回憶剛剛學(xué)過的知識,大膽類比和猜想;⑥利用③的道理,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系和立體幾何知識,進(jìn)行推導(dǎo). 討論結(jié)果：①平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理來推導(dǎo)的. 圖1 ②如圖1,設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點(diǎn),過A作AB⊥xOy平面,垂足為B,過B分別作BD⊥x軸,BE⊥y軸,垂足分別為D,E.根據(jù)坐標(biāo)的含義知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原點(diǎn)的距離是d=. ③利用求長方體的對角線長的方法,分別量出這塊磚的三條棱長,然后根據(jù)對角線長的平方等于三條邊長的平方的和來算. ④由于平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是d=,是同名坐標(biāo)的差的平方的和再開方,所以我們猜想,空間兩點(diǎn)之間的距離公式是d=,即在原來的基礎(chǔ)上,加上縱坐標(biāo)差的平方. ⑤平面直角坐標(biāo)系中的方程x2+y2=r2表示以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓;在空間x2+y2+z2=r2表示以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面;后者正是前者的推廣. 圖2 ⑥如圖2,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),我們來計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離. 我們分別過P1P2作xOy平面的垂線,垂足是M,N,則M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=. 再過點(diǎn)P1作P1H⊥P2N,垂足為H,則|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根據(jù)勾股定理,得|P1P2|==.因此空間中點(diǎn)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離為|P1P2|=. 于是空間兩點(diǎn)之間的距離公式是d=.它是同名坐標(biāo)的差的平方的和的算術(shù)平方根. 應(yīng)用示例 例1 已知A(3,3,1), B(1,0,5),求： (1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度； (2)到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件. 活動：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,已知的兩點(diǎn)A、B都是空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),我們直接利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.知識本身不難,但是我們計(jì)算的時候必須認(rèn)真,決不能因?yàn)榇中膶?dǎo)致結(jié)果錯誤. 解:(1)設(shè)M(x,y,z)是線段AB的中點(diǎn),則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x==2,y==,z==3.所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,,3). 根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,得 d(A,B)=, 所以AB的長度為. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y,z)到A,B的距離相等, 所以有下面等式： . 化簡得4x+6y-8z+7=0, 因此,到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件是4x+6y-8z+7=0. 點(diǎn)評:通過本題我們可以得出以下兩點(diǎn)： ①空間兩點(diǎn)連成的線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式是平面上中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的推廣,而平面上中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式又可看成空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的特例. ②到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面. 變式訓(xùn)練 在z軸上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1)的距離相等. 解:設(shè)M(0,0,z),由題意得|MA|=|MB|, , 整理并化簡,得z=-3,所以M(0,0,-3). 例2 證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的△ABC是一等腰三角形. 活動：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,證明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,根據(jù)邊長來確定. 證明：由兩點(diǎn)間距離公式得： |AB|= |BC|=, |CA|=. 由于|BC|=|CA|=,所以△ABC是一等腰三角形. 點(diǎn)評:判斷三角形的形狀一般是根據(jù)邊長來實(shí)現(xiàn)的,因此解決問題的關(guān)鍵是通過兩點(diǎn)間的距離公式求出邊長. 變式訓(xùn)練 三角形△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試證明△ABC是一直角三角形. 活動：學(xué)生先思考或交流,然后解答,教師及時提示引導(dǎo),要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,利用勾股定理的逆定理來判定. 解:因?yàn)槿齻€頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|==3, |BC|=, |CA|==3. 又因?yàn)閨AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則|AB|的最小值為( ) A.0 B. C. D. 活動：學(xué)生閱讀題目,思考解決問題的方法,教師提示,要求|AB|的最小值,首先我們需要根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|,然后再根據(jù)一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|= = =. 當(dāng)x=時,|AB|的最小值為. 故正確選項(xiàng)為B. 答案：B 點(diǎn)評:利用空間兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)求最值是常用的方法. 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4. 拓展提升 已知三棱錐P—ABC(如圖4),PA⊥平面ABC,在某個空間直角坐標(biāo)系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),畫出這個空間直角坐標(biāo)系并求出直線AB與x軸所成的較小的角. 圖3 解:根據(jù)已知條件,畫空間直角坐標(biāo)系如圖3： 以射線AC為y軸正方向,射線AP為z軸正方向,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,過點(diǎn)B作BE⊥Ox,垂足為E,∵B(m,m,0),∴E(m,0,0). 在Rt△AEB中,∠AEB=90,|AE|=m,|EB|=m, ∴tan∠BAE==.∴∠BAE=30, 即直線AB與x軸所成的較小的角為30. 課堂小結(jié) 1.空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)與理解. 2.空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用. 3.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,綜合利用兩點(diǎn)間的距離公式. 作業(yè) 習(xí)題4.3 A組3,B組1、2、3. 板書設(shè)計(jì) 4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式 平面兩點(diǎn)間的距離公式 例1 空間兩點(diǎn)間的距離公式 變式 例2 變式 教學(xué)反思 本節(jié)課從平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式入手,創(chuàng)設(shè)問題情景,不難把平面上的知識推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認(rèn)識過程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,在例題中,設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力,本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過適當(dāng)?shù)膭?chuàng)設(shè)情境,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本節(jié)課以問題為紐帶,以探究活動為載體,使學(xué)生在問題的指引下、教師的指導(dǎo)下把探究活動層層展開、步步深入,充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想.把學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強(qiáng)了信心.