(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題七 數(shù)列講義 理(重點(diǎn)生含解析).doc
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專題七 數(shù)列卷卷卷2018等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及最值T17等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式T17Sn與an的關(guān)系、等比數(shù)列求和T142017等差數(shù)列的基本運(yùn)算T4數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式T3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)T9等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用、創(chuàng)新問題T12等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法求和T15等比數(shù)列的通項(xiàng)公式T142016等差數(shù)列的基本運(yùn)算T3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、創(chuàng)新問題T17數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式T17等比數(shù)列的基本運(yùn)算及二次函數(shù)最值問題T15縱向把握趨勢(shì)卷3年6考,題型為選擇題和填空題,難度適中涉及等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算,Sn與an的關(guān)系,預(yù)計(jì)2019年會(huì)以解答題的形式考查等差、等比數(shù)列的基本關(guān)系及等差、等比數(shù)列的判定與證明卷3年4考,題型既有選擇題、填空題和解答題,涉及數(shù)學(xué)文化、等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法預(yù)計(jì)2019年高考題仍以考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算為主,同時(shí)考查數(shù)列求和問題,且三種題型均有可能卷3年4考,題型既有選擇題、填空題,也有解答題,涉及等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算、數(shù)列求和問題,難度適中預(yù)計(jì)2019年高考會(huì)以小題的形式考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及基本運(yùn)算,難度適中橫向把握重點(diǎn)1.高考主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的基本運(yùn)算,兩類數(shù)列求和方法(裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合),主要突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用2.若以解答題形式考查,數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查,試題難度中等;若以客觀題考查,難度中等的題目較多,但有時(shí)也出現(xiàn)在第12題或16題位置上,難度偏大,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起關(guān)注.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì)題組全練1(2017全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524,S648,則an的公差為()A1B2C4 D8解析:選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則由得即解得d4.2已知等比數(shù)列an滿足a13,a1a3a521,則a3a5a7()A21 B42C63 D84解析:選B設(shè)an的公比為q,由a13,a1a3a521,得1q2q47,解得q22(負(fù)值舍去)a3a5a7a1q2a3q2a5q2(a1a3a5)q221242.3(2017全國(guó)卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項(xiàng)的和為()A24 B3C3 D8解析:選A設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6a,即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11,所以d22d0.又d0,則d2,所以an前6項(xiàng)的和S661(2)24.4若an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a10,a2 017a2 0180,a2 017a2 0180,則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是()A2 017 B2 018C4 034 D4 035解析:選C因?yàn)閍10,a2 017a2 0180,a2 017a2 0180,所以d0,a2 0170,a2 0180,所以S4 0340,S4 0354 035a2 0180,所以使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是4 034.5(2018全國(guó)卷)等比數(shù)列an中,a11,a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63,求m.解:(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2,解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1,則Sn.由Sm63,得(2)m188,此方程沒有正整數(shù)解若an2n1,則Sn2n1.由Sm63,得2m64,解得m6.綜上,m6.系統(tǒng)方法1等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(組):把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組),求出a1和d(q)后代入相應(yīng)的公式計(jì)算2等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題(3)利用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí),要注意整體思想的應(yīng)用(如第2題),可以減少計(jì)算量,此方法還適用于求函數(shù)值、求函數(shù)的解析式等問題.以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題題組全練1張丘建算經(jīng)卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾初日織五尺,今一月日織九匹三丈”其意思為今有一女子擅長(zhǎng)織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布則該女子最后一天織布的尺數(shù)為()A18 B20C21 D25解析:選C依題意得,織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列,設(shè)為an,其中a15,前30項(xiàng)和為390,于是有390,解得a3021,即該織女最后一天織21尺布2(2017全國(guó)卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞C5盞 D9盞解析:選B每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列,記為an,則前7項(xiàng)的和S7381,公比q2,依題意,得S7381,解得a13.3我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中,有已知長(zhǎng)方形面積求一邊的算法,其方法的前兩步為:第一步:構(gòu)造數(shù)列1,.第二步:將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n,得數(shù)列(記為)a1,a2,a3,an.則a1a2a2a3an1an等于()An2 B(n1)2Cn(n1) Dn(n1)解析:選Ca1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)系統(tǒng)方法解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化問題的3步驟等差、等比數(shù)列的判定與證明由題知法(2017全國(guó)卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22,S36.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn1,Sn,Sn2是否成等差數(shù)列解(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得故an的通項(xiàng)公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn,故Sn1,Sn,Sn2成等差數(shù)列類題通法證明an是等差或等比數(shù)列的基本方法等差數(shù)列(1)利用定義,證明an1an(nN*)為一常數(shù);(2)利用等差中項(xiàng),證明2anan1an1(n2)等比數(shù)列(1)利用定義,證明(nN*)為一常數(shù);(2)利用等比中項(xiàng),證明aan1an1(n2)應(yīng)用通關(guān)(2018全國(guó)卷)已知數(shù)列an滿足a11,nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1,b2,b3;(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;(3)求an的通項(xiàng)公式解:(1)由條件可得an1an.將n1代入得,a24a1,而a11,所以a24.將n2代入得,a33a2,所以a312.從而b11,b22,b34.(2)數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列由條件可得,即bn12bn,又b11,所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1,所以ann2n1.數(shù)列求和 多維例析角度一公式法求和(2018廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a11,an1,nN*.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè)T2n,求T2n.解(1)證明:由an1,得,所以.又a11,則1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列(2)設(shè)bn,由(1)得,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以,即bn,所以bn1bn.又b1,所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以T2nb1b2bnn(2n23n)類題通法公式法求數(shù)列和問題需過“三關(guān)”角度二分組求和法求和(2018珠海模擬)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a,公差為d,nN*,且不等式ax23x20)由已知b2b312,得b1(qq2)12,而b12,所以q2q60.又因?yàn)閝0,解得q2.所以bn2n.由b3a42a1,可得3da18.由S1111b4,可得a15d16.由,解得a11,d3,由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n6n2,b2n124n1,得a2nb2n1(3n1)4n,故Tn24542843(3n1)4n,4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1,得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.故Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為4n1.類題通法錯(cuò)位相減法求數(shù)列和問題的步驟重難增分(一)數(shù)列遞推公式的應(yīng)用考法全析一、曾經(jīng)這樣考1利用an與Sn的關(guān)系求Sn(2015全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a11,an1SnSn1,則Sn_.解析:由已知得an1Sn1SnSn1Sn,兩邊同時(shí)除以Sn1Sn,得1,故數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,則1(n1)(1)n,所以Sn.答案:?jiǎn)⑺季S本題通過等式an1SnSn1考查了an與Sn關(guān)系的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用,通過構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求解一般地,對(duì)于既有an,又有Sn的數(shù)列題,應(yīng)充分利用公式an有時(shí)將an轉(zhuǎn)化為Sn,有時(shí)將Sn轉(zhuǎn)化為an,要根據(jù)題中所給條件靈活變動(dòng)應(yīng)注意對(duì)n1的檢驗(yàn)二、還可能這樣考2累加法或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)已知數(shù)列an滿足a12,anan1n(n2,nN*),則an_.解析:由題意可知,a2a12,a3a23,anan1n(n2),以上式子累加得,ana123n.因?yàn)閍12,所以an2(23n)2(n2)因?yàn)閍12滿足上式,所以an.答案:?jiǎn)⑺季S(1)本題數(shù)列的遞推公式可轉(zhuǎn)化為an1anf (n),通常采用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法累加法(逐差相加法)求解即先將遞推公式化成an1anf (n),然后分別把n1,2,3,n1代入上式,便會(huì)得到(n1)個(gè)等式,最后添加關(guān)于a1的等式,把n個(gè)等式相加之后,就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)對(duì)于遞推公式可轉(zhuǎn)化為f (n)的數(shù)列,因?yàn)槠漕愃朴诘缺葦?shù)列,故通常采用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法累乘法(逐商相乘法)求解即分別將n1,2,3,n1代入上式,便會(huì)得到(n1)個(gè)等式,最后添加關(guān)于a1的等式,這n個(gè)等式相乘之后,就會(huì)直接得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式如增分集訓(xùn)第2題3構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)已知數(shù)列an滿足a12,an1(nN*),則an_.解析:因?yàn)閍n1,所以.因?yàn)閍12,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以(n1),故an.答案:?jiǎn)⑺季S(1)本題遞推公式是形如an1的遞推關(guān)系,可采用取倒數(shù)的方法,將遞推式變形為,從而可構(gòu)造出數(shù)列,其首項(xiàng)為,公差為.(2)對(duì)于遞推式an1panq(p,q為常數(shù)),當(dāng)p1時(shí),an為等差數(shù)列;當(dāng)p0,q0時(shí),an為等比數(shù)列;當(dāng)p0,q0時(shí),可利用待定系數(shù)法,將遞推式轉(zhuǎn)化為an1p,從而可構(gòu)造出數(shù)列,其首項(xiàng)為a1(不等于0),公比為p.如增分集訓(xùn)第3題增分集訓(xùn)1(2018全國(guó)卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1,則S6_.解析:Sn2an1,當(dāng)n2時(shí),Sn12an11,anSnSn12an2an1,即an2an1.當(dāng)n1時(shí),a1S12a11,得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a1為1,公比q為2的等比數(shù)列,Sn12n,S612663.答案:632已知在數(shù)列an中,an1an(nN*),且a14,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析:由an1an,得,故,(n2),以上式子累乘得,.因?yàn)閍14,所以an(n2)因?yàn)閍14滿足上式,所以an.答案:3(2019屆高三陜西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知數(shù)列an中,a13,且點(diǎn)Pn(an,an1)(nN*)在直線4xy10上,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析:因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an,an1)在直線4xy10上,所以4anan110.所以an14.因?yàn)閍13,所以a1.故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為4的等比數(shù)列所以an4n1,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1.答案:4n1重難增分(二)數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題典例細(xì)解(2017全國(guó)卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440B330C220 D110解析設(shè)第一項(xiàng)為第1組,接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組,再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組,依此類推,則第n組的項(xiàng)數(shù)為n,前n組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意可知,N100,令100,得n14,nN*,即N出現(xiàn)在第13組之后易得第n組的所有項(xiàng)的和為2n1,前n組的所有項(xiàng)的和為n2n1n2.設(shè)滿足條件的N在第k1(kN*,k13)組,且第N項(xiàng)為第k1組的第t(tN*)個(gè)數(shù),若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,則第k1組的前t項(xiàng)的和2t1應(yīng)與2k互為相反數(shù),即2t1k2,2tk3,tlog2(k3),當(dāng)t4,k13時(shí),N4955時(shí),N440.故所求N的最小值為440.答案A啟思維本題在創(chuàng)新情境中考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式,是具有綜合拓展性的客觀題的壓軸題數(shù)列試題的創(chuàng)新多是材料背景創(chuàng)新,通常融入“和”與“通項(xiàng)”的關(guān)系,與生產(chǎn)生活、社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合,考查考生的閱讀能力的同時(shí),也考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的邏輯推理、計(jì)算能力,培養(yǎng)了考生的創(chuàng)新意識(shí)另外,創(chuàng)新遷移類型試題還有以下特點(diǎn):(1)新知識(shí)“開幕”,別開生面,新的知識(shí)主要是新的符號(hào)、定義、法則、圖表等,或介紹新的思維方法,著眼于應(yīng)用;(2)類比、推廣;(3)以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為材料,“偷梁換柱”“移花接木”,創(chuàng)設(shè)新情境,演化新問題(2013全國(guó)卷)設(shè)AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,AnBnCn的面積為Sn,n1,2,3,.若b1c1,b1c12a1,an1an,bn1,cn1,則()ASn為遞減數(shù)列BSn為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列,S2n為遞減數(shù)列DS2n1為遞減數(shù)列,S2n為遞增數(shù)列解析由bn1,cn1,得bn1cn1an(bncn),(*)bn1cn1(bncn),由an1an得ana1,代入(*)得bn1cn1a1(bncn),bn1cn12a1(bncn2a1),b1c12a12a12a10,bncn2a1|BnCn|a1,所以點(diǎn)An在以Bn,Cn為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1的橢圓上(如圖)由b1c1得b1c10,所以|bn1cn1|(bncn),即|bncn|(b1c1)n1,所以當(dāng)n增大時(shí)|bncn|變小,即點(diǎn)An向點(diǎn)A處移動(dòng),即邊BnCn上的高增大,又|BnCn|ana1不變,所以Sn為遞增數(shù)列答案B啟思維交匯問題是將各主干知識(shí)“聯(lián)姻”“牽手”、交叉滲透等綜合考查主干知識(shí)的常見問題,覆蓋面廣本題將數(shù)列與幾何交匯,增大了試題難度,較好地考查了考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力,其實(shí)質(zhì)是考查數(shù)列的遞推關(guān)系式、橢圓的定義及性質(zhì),此題對(duì)考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象要求較高知能升級(jí)1數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn):(1)以數(shù)列知識(shí)為紐帶,在數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何的交匯處命題,主要考查利用函數(shù)觀點(diǎn)、不等式的方法解決數(shù)列問題,往往涉及與數(shù)列相關(guān)的不等式證明、參數(shù)的范圍等(2)以數(shù)列知識(shí)為背景的新概念、創(chuàng)新型問題,除了需要用到數(shù)列知識(shí)外,還要運(yùn)用函數(shù)、不等式等相關(guān)知識(shí)和方法,特別是題目條件中的“新知識(shí)”是解題的鑰匙,此類問題往往思維難度較大,通常作為壓軸題出現(xiàn)2解決此類問題的關(guān)鍵是理解題意,將核心問題提煉出來(lái),運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)、解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解,主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用增分集訓(xùn)1斐波那契數(shù)列an滿足:a11,a21,anan1an2(n3,nN*)若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里,每一小格子的邊長(zhǎng)為1,記前n項(xiàng)所占的格子的面積之和為Sn,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為cn,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()ASn1aan1anBa1a2a3anan21Ca1a3a5a2n1a2n1D4(cncn1)an2an1解析:選C對(duì)于選項(xiàng)A,由題圖可知,S2a2a3,S3a3a4,S4a4a5,則Sn1an1an2an1(an1an)aan1an,故A項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)B,a1a2a3anan21an1an1a1a2a3an1an11a1a2a3an2an1a1a2a3an3an11a1a31121,故B項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)n1時(shí),a1a21,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,4(cncn1)4(anan1)(anan1)an2an1,故D項(xiàng)正確2已知函數(shù)f (x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,當(dāng)x0時(shí),f (x)2,對(duì)任意的x,yR,f (x)f (y)f (xy)2成立,若數(shù)列an滿足a1f (0),且f (an1)f ,nN*,則a2 018的值為()A2 B.C. D.解析:選C令xy0得f (0)2,所以a12.設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)數(shù),且x10,因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),f (x)2,所以f (x2x1)2,即f (x2)f (x2x1x1)f (x2x1)f (x1)22f (x1)2f (x1),所以f (x)在R上是減函數(shù)因?yàn)閒 (an1)f ,所以an1,即1,所以3,因?yàn)?,所以是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,所以3n1,即an.所以a2 018.3數(shù)列an中,a1,an1(nN*),若不等式tan0恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_解析:由an1,得1,又2,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,則n1,即an,從而不等式tan0恒成立等價(jià)于tn4恒成立,易知當(dāng)n2時(shí),n4取得最小值,所以t,即t.所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.答案:高考大題通法點(diǎn)撥數(shù)列問題重在“歸”化歸思維流程策略指導(dǎo) 利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列,高考中通??疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問題,應(yīng)對(duì)的策略就是通過化歸思想,將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n,bn是等差數(shù)列,且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(2)令cn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.破題思路第(1)問求什么想什么求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式,想到求首項(xiàng)b1和公差d給什么用什么題目中給出an的前n項(xiàng)和Sn,anbnbn1.用Sn3n28n求出an,由bnbn1an的關(guān)系求b1,d差什么找什么要求bn的通項(xiàng)公式,還需要求b1和d.可令bnbn1an中的n1和n2,建立b1和d的方程組求解第(2)問求什么想什么求cn的前n項(xiàng)和Tn,想到根據(jù)cn的通項(xiàng)公式的特征選擇求和公式給什么用什么已知cn,用第(1)問中所求an及bn可化簡(jiǎn)得cn規(guī)范解答(1)由題意知當(dāng)n2時(shí),anSnSn16n5.當(dāng)n1時(shí),a1S111,符合上式所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.由Tnc1c2cn,得Tn3222323(n1)2n1,2Tn3223324(n1)2n2,兩式作差,得Tn3222232n1(n1)2n233n2n2,所以Tn3n2n2.關(guān)鍵點(diǎn)撥等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型設(shè)置中間問題分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的邏輯次序注意解題細(xì)節(jié)在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,如果等比數(shù)列的公比不能確定,則要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項(xiàng)問題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018福州模擬)已知數(shù)列an中,a11,a22,an13an2an1(n2,nN*)設(shè)bnan1an.(1)證明:數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2)設(shè)cn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)的和Sn.解:(1)證明:因?yàn)閍n13an2an1(n2,nN*),bnan1an,所以2,又b1a2a1211,所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知bn12n12n1,因?yàn)閏n,所以cn,所以Snc1c2cn.總結(jié)升華對(duì)于數(shù)列的備考:一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系,這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ);二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí),熟悉其基本概念、公式和性質(zhì),這是解決數(shù)列問題的根本;三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題,掌握解決此類問題的通法;四是在知識(shí)的復(fù)習(xí)和解題過程中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等 專題跟蹤檢測(cè)(對(duì)應(yīng)配套卷P180)一、全練保分考法保大分1已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次為a,a2,3a,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk110,則k的值為()A9B11C10 D12解析:選C由a,a2,3a成等差數(shù)列,得公差為2,且2(a2)a3a,解得a2,所以Sk2k2k2k110,解得k10或k11(舍去)2(2018云南模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列,若a11,a33,a55依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q()A2 B1C1 D2解析:選C依題意,注意到2a3a1a5,2a36a1a56,即有2(a33)(a11)(a55),即a11,a33,a55成等差數(shù)列;又a11,a33,a55依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,因此有a11a33a55(若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則該數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列),q1.3中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難次日腳痛減一半,六朝方得至其關(guān)要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思是“有一個(gè)人走378里,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”則第三天走了()A60里 B48里C36里 D24里解析:選B由題意得每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列an,其中q,S6378,則S6378,解得a1192,所以a319248.4已知遞減的等差數(shù)列an中,a31,a1,a4,a6成等比數(shù)列若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則S7的值為()A14 B9C5 D1解析:選A設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題可知d0.由a2a41,得a1,a31.S37,a1a2a317,即6q2q10,解得q或q(舍去)故q.答案:8在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,am1am12am(m2),數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn.若T2m1512,則m的值為_解析:由等比數(shù)列的性質(zhì),得am1am1a2am.又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),所以am2.又T2m1(am)2m122m1512,所以2m19,所以m5.答案:59設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a11,anan1(nN*),則S2n1_.解析:因?yàn)閍11,anan1(nN*),所以S2n1a1(a2a3)(a2n2a2n1)1.答案: 10(2018成都模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a23,S416,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,a23,S416,a1d3,4a16d16,解得a11,d2.an2n1.(2)由題意,bn,Tnb1b2bn.11(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)已知a12,a24,數(shù)列bn滿足:bn12bn2且an1anbn.(1)求證:數(shù)列bn2是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解:(1)證明:由題知,2,b1a2a1422,b124,數(shù)列bn2是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可得,bn242n1,故bn2n12.an1anbn,a2a1b1,a3a2b2,a4a3b3,anan1bn1.累加得,ana1b1b2b3bn1(n2),an2(222)(232)(242)(2n2)2(n1)2n12n,故an2n12n(n2)a12符合上式,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n12n(nN*)12已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a26,前n項(xiàng)和為Sn,bn是等比數(shù)列,b22,a1b312,S3b119.(1)求an,bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bncos(an)的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)數(shù)列an是等差數(shù)列,a26,S3b13a2b118b119,b11,b22,數(shù)列bn是等比數(shù)列,bn2n1.b34,a1b312,a13,a26,數(shù)列an是等差數(shù)列,an3n.(2)由(1)得,令Cnbncos(an)(1)n2n1,Cn1(1)n12n,2,又C11,數(shù)列bncos(an)是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,Tn1(2)n二、強(qiáng)化壓軸考法拉開分1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a12,Sn14an2,則a12()A20 480 B49 152C60 152 D89 150解析:選B由S24a12,得a1a24a12,聯(lián)立a12,解得a28.又an2Sn2Sn14an14an,an22an12(an12an),數(shù)列an12an是以a22a14為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,an12an42n12n1,1,1,數(shù)列是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,1(n1)n,ann2n,a121221249 152.2已知a11,ann(an1an)(nN*),則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是()A2n1 B.n1Cn2 Dn解析:選D因?yàn)閍nn(an1an)nan1nan,所以nan1(n1)an,所以,所以ana11n.3(2018鄭州模擬)已知數(shù)列an滿足a11,|an1an|.若a2n1a2n1,a2n20,a2n2a2na2n2a2n,所以a2n1a2n2a2n1a2n.而|a2n1a2n2|,|a2n1a2n|,即|a2n1a2n2|a2n1a2n|.綜合,得a2n1a2n0,即a2n1a2n.裂項(xiàng),得a2na2n1.綜上可得,數(shù)列(1)nan的前40項(xiàng)的和為(a2a1)(a4a3)(a40a39).4(2019屆高三河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則,將某些數(shù)染成紅色先染1;再染兩個(gè)偶數(shù)2,4;再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;再染9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,則在這個(gè)紅色子數(shù)列中,由1開始的第2 018個(gè)數(shù)是()A3 971 B3 972C3 973 D3 974解析:選B由題意可知,第1組有1個(gè)數(shù),第2組有2個(gè)數(shù),根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,可知前n組共有個(gè)數(shù)由于2 0162 0182 080,因此,第2 018個(gè)數(shù)是第64組的第2個(gè)數(shù)由于第1組最后一個(gè)數(shù)是1,第2組最后一個(gè)數(shù)是4,第3組最后一個(gè)數(shù)是9,第n組最后一個(gè)數(shù)是n2,因此,第63組最后一個(gè)數(shù)為632,6323 969,第64組為偶數(shù)組,其第1個(gè)數(shù)為3 970,第2個(gè)數(shù)為3 972,故選B.5(2019屆高三南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a13且當(dāng)n2時(shí),2anSnSn1(nN*),則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析:當(dāng)n2時(shí),由2anSnSn1可得2(SnSn1)SnSn1,即,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,(n1),Sn.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1,又a13,an答案:6(2018開封模擬)已知數(shù)列an滿足2(1)nan2(1)nan11(1)n3n(nN*),則a25a1_.解析:2(1)nan2(1)nan11(1)n3n,當(dāng)n2k(kN*)時(shí),a2k3a2k116k,當(dāng)n2k1(kN*)時(shí),3a2k1a2k16k3,a2k1a2k14k1,a25(a25a23)(a23a21)(a3a1)a1(4121)(4111)(411)a1412a1300a1,a25a1300.答案:300三、加練大題考法少失分1已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S70,a32a212(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由已知得解得所以an4n16.(2)由(1)知an4n16,所以,所以Sn,兩邊同乘以,得Sn,兩式相減,得Sn1,所以Sn2.2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Tn(nN*)(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足bnlog2an,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,定義x為不小于x的最小整數(shù),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Rn.解:(1)因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為Tn,所以a1T1.當(dāng)n2時(shí),anTnTn12n3,當(dāng)n1時(shí),a1符合上式故an2n3.(2)由(1)可知,bnlog2ann3,則數(shù)列bn是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Snn,則.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),單調(diào)遞增,所以2,當(dāng)2n5時(shí),0,當(dāng)n6時(shí),所以R12,當(dāng)2n5時(shí),Rn20002,當(dāng)n6時(shí),Rn2(n5)1n7,所以Rn3已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*),且a23,S525.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn,記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn1.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍23,S525,所以解得所以an2n1.(2)證明:由(1)知,an2n1,所以Snn2.所以bn.所以Tnb1b2b3bn10.由題意得所以3q25q20.因?yàn)閝0,所以q2,x11,因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1.(2)過P1,P2,Pn1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1,記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn,由題意得bn2n1(2n1)2n2,所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.- 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- 通用版2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題七 數(shù)列講義 理重點(diǎn)生,含解析 通用版 2019 高考 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 第一 部分 專題 數(shù)列 講義 重點(diǎn) 解析
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