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專題跟蹤檢測(cè)(十二) 直線與圓
一、全練保分考法——保大分
1.過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為( )
A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0
解析:選B ∵過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,
∴點(diǎn)(3,1)在圓(x-1)2+y2=r2上,
∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k==,
∴切線的斜率為-2,
則圓的切線方程為y-1=-2(x-3),
即2x+y-7=0.
2.圓心在直線x+2y=0上的圓C與y軸的負(fù)半軸相切,圓C截x軸所得的弦長(zhǎng)為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.(x-2)2+(y+)2=8
B.(x-)2+(y+2)2=8
C.(x-2)2+(y+)2=8
D.(x-)2+(y+2)2=8
解析:選A 法一:設(shè)圓心為(r>0),半徑為r.由勾股定理()2+2=r2,解得r=2,∴圓心為(2,-),∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+)2=8.
法二:四個(gè)圓的圓心分別為(2,-),(,-2),(2,-),(,-2),將它們逐一代入x+2y=0,只有A選項(xiàng)滿足.
3.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )
A.內(nèi)切 B.相交
C.外切 D.相離
解析:選B 由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因?yàn)閳AM截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度為2,所以圓心M到直線x+y=0的距離d==(a>0),解得a=2,即圓M的圓心為(0,2),又知圓N的圓心為(1,1),半徑r=1,所以|MN|=,則R-r<
0),則r=6=4,
所以圓C的方程為(x-4)2+y2=16.
法二:設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1>0,x2>0),由題設(shè)知x+y=x+y.
又y=2x1,y=2x2,故x+2x1=x+2x2,
即(x1-x2)(x1+x2+2)=0,
由x1>0,x2>0,可知x1=x2,故A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心C在x軸上.
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(r,0)(r>0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為,于是2=2r,解得r=4,所以圓C的方程為(x-4)2+y2=16.
7.設(shè)M,N分別為圓O1:x2+y2-12y+34=0和圓O2:(x-2)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),則M,N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是________.
解析:圓O1的方程可化為x2+(y-6)2=2,其圓心為O1(0,6),半徑r1=.圓O2的圓心O2(2,0),半徑r2=2,則|O1O2|==2,則|MN|max=2+2+,|MN|min=2-2-,故M,N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是[2-2-,2+2+].
答案:[2-2-,2+2+]
8.過(guò)點(diǎn)P(-3,1),Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2+y2=1相切,則a的值為_(kāi)_______.
解析:點(diǎn)P(-3,1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P′(-3,-1),
所以直線P′Q的方程為x-(a+3)y-a=0,
由題意得直線P′Q與圓x2+y2=1相切,
所以=1,
解得a=-.
答案:-
9.已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),且圓心在x軸的正半軸上,直線l:y=x-1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2,則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(kāi)_______________.
解析:由題意,設(shè)所求的直線方程為x+y+m=0,圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0),
則由題意知2+2=(a-1)2,
解得a=3或-1(舍去),
故圓心坐標(biāo)為(3,0),
因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上,
所以3+0+m=0,
解得m=-3,
故所求的直線方程為x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
10.(2018全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|
=(x1+1)+(x2+1)=.
由題設(shè)知=8,
解得k=1或k=-1(舍去).
因此l的方程為y=x-1.
(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),
所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),
即y=-x+5.
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),
則
解得或
因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
11.(2018成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線Г:y=x2-mx+2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A,B,曲線Г與y軸交于點(diǎn)C.
(1)是否存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)求證:過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn).
解:由曲線Г:y=x2-mx+2m(m∈R),
令y=0,得x2-mx+2m=0.設(shè)A(x1,0),B(x2,0),
則可得Δ=m2-8m>0,
解得m>8或m<0,x1+x2=m,x1x2=2m.
令x=0,得y=2m,即C(0,2m).
(1)若存在以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C,則=0,
得x1x2+4m2=0,
即2m+4m2=0,
所以m=0(舍去)或m=-.
所以m=-,
此時(shí)C(0,-1),AB的中點(diǎn)M即圓心,
半徑r=|CM|=,
故所求圓的方程為2+y2=.
(2)證明:設(shè)過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓的方程為
x2+y2-mx+Ey+2m=0,
將點(diǎn)C(0,2m)代入可得E=-1-2m,
所以過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為
x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,
整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.
令可得或
故過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓過(guò)定點(diǎn)(0,1)和.
12.(2019屆高三廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C與y軸相切,且過(guò)點(diǎn)M(1,),N(1,-).
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),且直線OA與直線OB的斜率之積為-2.求證:直線l恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)M(1,),N(1,-),
所以圓心C在線段MN的垂直平分線上,即在x軸上,
故設(shè)圓心為C(a,0),易知a>0,
又圓C與y軸相切,所以圓C的半徑r=a,
所以圓C的方程為(x-a)2+y2=a2.
因?yàn)辄c(diǎn)M(1,)在圓C上,
所以(1-a)2+()2=a2,解得a=2.
所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.
(2)證明:記直線OA的斜率為k(k≠0),則其方程為y=kx.
聯(lián)立消去y,得(k2+1)x2-4x=0,
解得x1=0,x2=.
所以A.
由kkOB=-2,得kOB=-,
直線OB的方程為y=-x,
在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用-代換k,得B.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),=,得k2=2,此時(shí)直線l的方程為x=.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),≠,即k2≠2,
則直線l的斜率為
===.
故直線l的方程為y-=,
即y=,
所以直線l過(guò)定點(diǎn).
綜上,直線l恒過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開(kāi)分
1.已知圓C:x2+y2=1,點(diǎn)P(x0,y0)在直線l:3x+2y-4=0上,若在圓C上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,使+=,則x0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選C 如圖,∵+=,
∴OP與AB互相垂直平分,
∴圓心到直線AB的距離
<1,
∴x+y<4.?、?
又3x0+2y0-4=0,
∴y0=2-x0,
代入①得x+2<4,
解得00,-0,得b2<2+2k2.①
由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-,x1x2=.②
由k1k2===3,
得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2,
即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0. ③
將②代入③,整理得b2=3-k2. ④
由④得b2=3-k2≥0,解得-≤k≤. ⑤
由①和④,解得k<-或k>. ⑥
要使k1,k2,k有意義,則x1≠0,x2≠0,
所以0不是方程(*)的根,
所以b2-2≠0,即k≠1且k≠-1. ⑦
由⑤⑥⑦,得k的取值范圍為
[-,-1)∪∪∪(1, ].
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