2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.2.1 實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義作業(yè) 北師大版選修1 -1.doc

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4.2.1 實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1.做直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)刻t到t＋Δt時(shí)，物體的位移為Δs，那么 為(　　) A．從時(shí)刻t到t＋Δt時(shí)，物體的平均速度 B．該物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度 C．Δt時(shí)刻時(shí)，該物體的速度 D．從時(shí)刻t到t＋Δt時(shí)，位移的平均變化率 解析：選B. 表示運(yùn)動(dòng)的物體在t時(shí)刻位移的導(dǎo)數(shù)，也即該時(shí)刻的瞬時(shí)速度． 2.自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是s＝gt2(g為重力加速度)，則物體在下落3 s到4 s之間的平均變化率是(取g＝10 m/s2)(　　) A．30 B．32 C．35 D．40 解析：選C.v＝＝＝g＝35. 3.李華在參加一次同學(xué)聚會(huì)時(shí)，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華想：如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時(shí)間內(nèi)倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)h(t)，則函數(shù)h(t)的圖像可能是(　　) 解析：選B.由于圓口杯的形狀是“下細(xì)上粗”，則開(kāi)始階段飲料的高度增加較快，以后高度增加得越來(lái)越慢，僅有B符合． 4.國(guó)際環(huán)保局在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)的日期前，對(duì)甲、乙兩家企業(yè)進(jìn)行檢查，其連續(xù)檢測(cè)結(jié)果如圖，(其中W1、W2分別表示甲、乙的排污量)． 下列說(shuō)法正確的是(　　) A．甲企業(yè)治污效果好 B．乙企業(yè)治污效果好 C．甲、乙兩企業(yè)治污效果相同 D．無(wú)法判定 解析：選A.由圖可知甲企業(yè)治污快，效果好． 5.細(xì)桿AB的長(zhǎng)為20 cm，M為細(xì)桿AB上的一點(diǎn)，AM段的質(zhì)量與A到M的距離的平方成正比，當(dāng)AM＝2 cm時(shí)，AM的質(zhì)量為8 g，那么當(dāng)AM＝x cm時(shí)，M處的細(xì)桿線密度ρ(x)為(　　) A．2x B．3x C．4x D．5x 解析：選C.當(dāng)AM＝x cm時(shí)，設(shè)AM的質(zhì)量為f(x)＝kx2，因?yàn)閒(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故細(xì)桿線密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故選C. 6.人體血液中藥物的質(zhì)量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案：服藥2 min時(shí)血液中藥物的質(zhì)量濃度以每分鐘0.3 mg/mL的速度增加 7.將1 kg鐵從0 ℃加熱到t ℃需要的熱量為Q(單位：J)：Q(t)＝0.000 297t2＋0.440 9t. (1)當(dāng)t從10變到20時(shí)函數(shù)值Q關(guān)于t的平均變化率是________，它的實(shí)際意義是________________________________________________________________________． (2)Q′(100)＝________，它的實(shí)際意義是________________________________________________________________________． 解析：(1)當(dāng)t從10變到20時(shí)，函數(shù)值Q關(guān)于t的平均變化率為≈0.449 8，它表示在鐵塊的溫度從10 ℃增加到20 ℃的過(guò)程中，平均每增加1 ℃，需要吸收熱量約為0.449 8 J. (2)Q′(t)＝0.000 594t＋0.440 9，則Q′(100)＝0.500 3，它表示在鐵塊的溫度為100 ℃這一時(shí)刻每增加1 ℃，需要吸收熱量0.500 3 J. 答案：(1)0.449 8　它表示在鐵塊的溫度從10 ℃增加到20 ℃的過(guò)程中，平均每增加1 ℃，需要吸收熱量約為0.449 8 J (2)0.500 3　它表示在鐵塊的溫度為100 ℃這一時(shí)刻每增加1 ℃，需要吸收熱量0.500 3 J 8.已知?dú)馇虻捏w積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)，將半徑r表示為體積V的函數(shù)，有r(V)＝，則當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí)，氣球的平均膨脹率為_(kāi)_______． 解析：∵r(V1)－r(V2)＝－ ＝ . ∴平均膨脹率為： ＝. 答案： 9.水以20 m3/min的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30 m，上底面直徑為12 m，試求當(dāng)水深為10 m時(shí)，水面上升的速度． 解：設(shè)經(jīng)過(guò)t min后水深為H，則此時(shí)水面半徑為. 由等體積知，20t＝πH. ∴H(t)＝5，H′(t)＝t－. ∴水深10 m時(shí)水面上升的速度為H′(10)＝(m/min)． 10.路燈距地平面為8 m，一個(gè)身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上行走，從路燈在地面上的射影點(diǎn)C出發(fā)，沿某直線離開(kāi)路燈，求人影長(zhǎng)度的變化速度v. 解：如圖所示，路燈距地面的距離為DC＝8 m，人的身高為EB＝1.6 m. 設(shè)人從C處運(yùn)動(dòng)到B處的路程CB為x m，時(shí)間為t s，AB為人影長(zhǎng)度，設(shè)為y m. ∵BE∥CD，∴＝. ∴＝，∴y＝x. 又∵84 m/min＝1.4 m/s， ∴y＝x＝t(x＝1.4t)． ∴y′＝，即人影長(zhǎng)度的變化速度v為 m/s. [能力提升] 1. 如圖所示，設(shè)有定圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開(kāi)始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過(guò)90)時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖像大致是(　　) 解析：選D.由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開(kāi)始和最后時(shí)段緩慢增加，而中間時(shí)段相對(duì)增速較快． 選項(xiàng)A表示面積的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符； 選項(xiàng)B表示最后時(shí)段面積的增速較快，與實(shí)際不符； 選項(xiàng)C表示開(kāi)始時(shí)段和最后時(shí)段面積的增速比中間時(shí)段面積的增速快，也與實(shí)際不符； 選項(xiàng)D表示開(kāi)始和最后時(shí)段面積的增速緩慢，中間時(shí)段增速較快，符合實(shí)際． 2.將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m(m>1)時(shí)球的體積膨脹率為，則m的值為_(kāi)_______． 解析：ΔV＝m3－13＝(m3－1)，∴＝＝π.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)． 答案：2 3.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)c(萬(wàn)元)與產(chǎn)量q(萬(wàn)件)之間的函數(shù)關(guān)系為c(q)＝100＋4q－0.2q2＋0.01q3.求生產(chǎn)水平為q＝10萬(wàn)元時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合算？ 解：當(dāng)q＝10時(shí)，總成本c(10)＝100＋410－0.2102＋0.01103＝100＋40－20＋10＝130(萬(wàn)元)． 平均成本13010＝13(元/件)， 邊際成本c′(q)＝4－0.4q＋0.03q2， ∴c′(10)＝4－0.410＋0.03102＝4－4＋3＝3(元/件)． 因此在生產(chǎn)水平為10萬(wàn)元時(shí)每增產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，總成本增加3元，比當(dāng)前的平均成本13元低，從降低成本角度看，應(yīng)繼續(xù)提高產(chǎn)量． 4．學(xué)習(xí)曲線是1936年美國(guó)康乃爾大學(xué)T.P.Wright博士在飛機(jī)制造過(guò)程中，通過(guò)對(duì)大量有關(guān)資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現(xiàn)并提出來(lái)的．已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)曲線為：f(t)＝100%(f(t)為該學(xué)習(xí)任務(wù)已掌握的程度，t為學(xué)習(xí)時(shí)間)，且這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)滿足f(2)＝60%. (1)求f(t)的表達(dá)式，計(jì)算f(0)并說(shuō)明f(0)的含義； (2)已知2x>xln 2對(duì)任意x>0恒成立，現(xiàn)定義為該類學(xué)習(xí)任務(wù)在t時(shí)刻的學(xué)習(xí)效率指數(shù)．研究表明，當(dāng)學(xué)習(xí)時(shí)間t∈(1，2)時(shí)，學(xué)習(xí)效率最佳，則當(dāng)學(xué)習(xí)效率最佳時(shí)，求學(xué)習(xí)效率指數(shù)相應(yīng)的取值范圍． 解：(1)∵f(t)＝100%(t為學(xué)習(xí)時(shí)間)，且f(2)＝60%，∴100%＝60%，解得a＝4. ∴f(t)＝100%＝100%(t≥0)， ∴f(0)＝100%＝37.5%，f(0)表示某項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)在開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)已掌握的程度為37.5%. (2)令學(xué)習(xí)效率指數(shù)＝y(tǒng)，則y＝＝＝(t>0)．現(xiàn)研究函數(shù)g(t)＝t＋的單調(diào)性，由于g′(t)＝(t>0)，又已知2x>xln 2對(duì)任意x>0恒成立，即2t－tln 2>0對(duì)任意t>0恒成立，則g′(t)>0恒成立，∴g(t)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且g(t)為正數(shù)． ∴y＝＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，而y＝＝，即當(dāng)t∈(1，2)時(shí)，y＝∈(，)，故所求學(xué)習(xí)效率指數(shù)的取值范圍是(，)．