2018-2019年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學歸納法高效演練 新人教A版選修4-5.doc
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4.1 數(shù)學歸納法 A級 基礎鞏固 一、選擇題 1.用數(shù)學歸納法證明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式為( ) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 解析:當n=1時左邊所得的代數(shù)式為1+2+3. 答案:C 2.設f(n)=1+++…+(n∈N*),則f(n+1)-f(n)等于( ) A. B.+ C.+ D.++ 解析:因為f(n)=1+++…+, 所以f(n+1)=1+++…++++, 所以f(n+1)-f(n)=++. 答案:D 3.已知a1=,an+1=,猜想an等于( ) A. B. C. D. 解析:a2==,a3==, a4===, 猜想an=. 答案:D 4.一個與自然數(shù)n有關的命題,當n=2時命題成立,且由n=k時命題成立推得當n=k+2時命題也成立,則( ) A.該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B.該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C.該命題何時成立與k取什么值無關 D.以上答案都不對 解析:由題意當n=2時成立可推得n=4,6,8,…都成立,因此該命題對所有正偶數(shù)都成立. 答案:B 5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸(k+1)邊形的內(nèi)角和f(k+1)等于f(k)加上( ) A.2π B.π C. D.π 解析:從n=k到n=k+1時,內(nèi)角和增加π. 答案:B 二、填空題 6.當f(k)=1-+-+…+-,則f(k+1)=f(k)+________. 解析:f(k+1)=1-+-+…+-+-, 所以f(k+1)=f(k)+-. 答案:- 7.觀察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根據(jù)上述規(guī)律,猜想13+23+33+43+53+63=________. 解析:已知等式可寫為:13+23=32=(1+2)2,13+23+33=62=(1+2+3)2,13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2,根據(jù)上述規(guī)律,猜想13+23+33+43+53+63=(1+2+…+6)2=212. 答案:212 8.已知平面上有n(n∈N*,n≥3)個點,其中任何三點都不共線,過這些點中任意兩點作直線,設這樣的直線共有f(n)條,則f(3)=________,f(4)=________,f(5)=________,f(n+1)=f(n)+________. 解析:當n=k時,有f(k)條直線.當n=k+1時,增加的第k+1個點與原k個點共連成k條直線,即增加k條直線,所以f(k+1)=f(k)+k. 又f(2)=1, 所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10,f(n+1)=f(n)+n. 答案:3 6 10 n 三、解答題 9.求證:1+++…+=(n∈N*). 證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊==1,所以左邊=右邊,等式成立. (2)假設當n=k(k≥1,k∈N*)時等式成立, 即1+++…+=. 則當n=k+1時, 1+++…++ =+= +==. 所以當n=k+1時,等式也成立. 由(1)(2)可知,對任何n∈N*等式都成立. 10.用數(shù)學歸納法證明n3+5n能被6整除. 證明:(1)當n=1時,左邊=13+51=6,能被6整除,結(jié)論正確. (2)假設當n=k時,結(jié)論正確,即k3+5k能被6整除. 則(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3(k2+k+2)=k3+5k+3(k+1)(k+2), 因為k3+5k能被6整除,(k+1)(k+2)必為偶數(shù),3(k+1)(k+2)能被6整除, 因此,k3+5k+3(k+1)(k+2)能被6整除. 即當n=k+1時結(jié)論正確. 根據(jù)(1)(2)可知,n3+5n對于任何n∈N+都能被6整除. B級 能力提升 1.用數(shù)學歸納法證明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1)(n∈N+)時,從“n=k到n=k+1”左端需乘以的代數(shù)式為( ) A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 解析:當n=k時,等式為(k+1)(k+2)…(k+k)=2k13…(2k-1). 當n=k+1時,左邊=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2). 比較n=k和n=k+1時等式的左邊,可知左端需乘以=2(2k+1). 答案:B 2.用數(shù)學歸納法證明34n+1+52n+1(n∈N+)能被14整除,當n=k+1時,對于34(k+1)+1+52(k+1)+1應變形為_______________. 解析:34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=8134k+1+2552k+1=8134k+1+8152k+1-5652k+1=81(34k+1+52k+1)-5652k+1 答案:81(34k+1+52k+1)-5652k+1 3.平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N*)條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不過同一點,那么這n條直線的交點個數(shù)f(n)是多少?并證明你的結(jié)論. 解:當n=2時,f(2)=1;當n=3時,f(3)=3; 當n=4時,f(4)=6. 因此猜想f(n)=(n≥2,n∈N*). 下面利用數(shù)學歸納法證明: (1)當n=2時,兩條相交直線有一個交點, 又f(2)=2(2-1)=1. 所以n=2時,命題成立. (2)假設當n=k(k≥2且k∈N*)時命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1), 當n=k+1時,其中一條直線記為l,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk. 由歸納假設知,剩下的k條直線之間的交點個數(shù)為f(k)=. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點, 所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點共有k個, 所以f(k+1)=f(k)+k=+k===, 所以當n=k+1時,命題成立. 由(1)(2)可知,命題對一切n∈N*且n≥2時成立.- 配套講稿:
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