2019-2020年高一數(shù)學必修4 3-2簡單的三角恒等變換 教案2.doc

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2019-2020年高一數(shù)學必修4 3-2簡單的三角恒等變換 教案2 一、教學目標 重點: 運用三角恒等變換化簡函數(shù)表達式，分析其有關性質(zhì)，以及解數(shù)學應用問題的思路、步驟和方法. 難點：利用三角恒等變換化簡函數(shù)表達式，以及如何科學的把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，如何選擇自變量建立數(shù)學關系式． 知識點：利用三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式并利用三角函數(shù)的相關性質(zhì)求值. 能力點：由特殊到一般,由具體到抽象,不斷提升學生的探究能力和數(shù)學思維能力. 自主探究點：如何選擇三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式. 考試點：利用三角公式進行三角恒等變換化簡三角函數(shù)式,并求解化簡后的三角函數(shù)的相關性質(zhì). 易錯易混點：對于求解化簡后的三角函數(shù)的相關性質(zhì)時,學生易出現(xiàn)計算上的錯誤. 拓展點：從具體問題中抽象出解決三角恒等變換和求解最值的一般性方法. 二、引入新課 同學們，在第一章我們學習了正弦函數(shù)的圖像、誘導公式及周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等一系列性質(zhì).這部分知識學習的時間較長了,可能有些同學已經(jīng)忘了,那么我們一起復習一下. 【設計意圖】通過復習加深對正弦函數(shù)相關性質(zhì)的理解,為更好的解決課本例3打下知識的基礎. 對于相關性質(zhì)通過復習我們已經(jīng)熟悉了,那么對于的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等一系列性質(zhì),我們怎樣求解呢?這就是我們這節(jié)課的主要任務. 【設計意圖】開篇點題，明確本節(jié)課的教學重點. 三、探究新知 例1已知,求該函數(shù)的周期，最大值和最小值. 分析：不是正弦函數(shù)的標準式，那么第一步我們應先把其化為標準式,才能利用正弦函數(shù)的相關性質(zhì)去求解.如何進行恒等變形這是關鍵.通過配湊系數(shù)我們可以利用兩角和與差的正余弦公式去化簡.即: 或 所以,所求函數(shù)的周期是,最大值是,最小值是. 【設計意圖】本題是三角變換的重要問題，先對三角函數(shù)式進行三角恒等變換，化簡成的形式.主要培養(yǎng)學生靈活運用公式，熟練進行三角恒等變換的能力. 思考：如果上述題目中的自變量的范圍變?yōu)椋绾吻蠛瘮?shù)的最大值和最小值？ 分析：結合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，要求在上的最值,關鍵求的范圍.具體求解如下: 由,得. 又由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得:, 所以,,,最大值為,最小值為. 【設計意圖】主要是使學生掌握求有定義域限制的三角函數(shù)式最值的方法,明白求最值時,必須先考慮自變量的取值范圍,這一過程也可以用換元法. 師生共同探究: 對于怎么進行三角恒等變換呢，是否有一般性的方法呢? 分析:結合所學我們要想解決好此類問題,關鍵要充分利用同角三角函數(shù)的基本關系進行解決,這里要引入一個輔助角,這個輔助角在內(nèi)是唯一確定的,必須寫出輔助角的正弦值和余弦值.即: . 其中. 注：上述變形方法是解決合角問題的一般性方法.這里輔助角的引入既是重點又是難點,教師在具體的教學過程中要根據(jù)學生的情況進行引入、解釋. 【設計意圖】總結解決合角問題的一般性方法,便于學生更好的解決問題. O D Q A B P C 例2如圖,已知是半徑為1,圓心角為的扇形,是扇形弧上的動點,是扇形的內(nèi)接矩形.記, 求角取何值時,矩形的面積最大?并求這個最大面積. 分析：要求當角取何值時，矩形的面積最大，可以這樣去解決： 第一:首先根據(jù)已知條件找出與的函數(shù)關系; 第二:有函數(shù)關系及角取值范圍,求的最大值. 我們一起先完成第一步: 在中,,. 在中,, 所以, , 所以, . 設矩形的面積為,則 . 對于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍: 由 , 得 . 所以當 , 即時, 因此,當時, 矩形的面積最大,最大面積為. 注：（1）在求解最大值時，要特別注意 “”這一隱含條件; （2）應用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，最后要回歸到實際問題. 【設計意圖】讓學生了解三角函數(shù)在實際問題中的應用,培養(yǎng)學生自主探究,獨立思考的數(shù)學品質(zhì),掌握解決實際問題的思路和方法,學會思考問題、分析問題和解決問題. 思考：若上述條件去掉記 “”，結論改成“求矩形的最大面積”，還有其它解決方法嗎？ 分析:我們可設,根據(jù)已知條件可得, 則轉(zhuǎn)換成函數(shù)在某區(qū)間求最值問題,但目前此函數(shù)還解決不了. 【設計意圖】盡管對所得函數(shù)還暫時無法求最大值,但能促進學生對函數(shù)模型多樣性的理解,并能在對比中使學生感受到以角為自變量的優(yōu)點. 師生共同總結解決問題的一般性方法: (1)根據(jù)已知條件,選擇變量并確定變量的取值范圍; (2)建立所求值與變量的函數(shù)關系; (3)在變量所取值的范圍內(nèi)(體現(xiàn)實際問題的實際意義)求解函數(shù)的最值; (4)把計算結果回歸到實際問題. 【設計意圖】總結用三角函數(shù)解決實際問題的一般步驟,便于學生更好的解決問題. 四、理解新知： 1、對于變形應注意的問題: (1)常數(shù)應為不同時為零的實數(shù),即. (2)輔助角滿足,在唯一確定的,若把滿足的條件只寫成,這導致在內(nèi)可能有兩個值,其中一個值是增根,應根據(jù)的符號進行取舍. 2、對于合角后,求三角函數(shù)在某一區(qū)間上的最值應先清楚 的取值范圍,下一步可以利用換元法,也可以直接求解. 3、三角變換的基本思想： ⑴降冪(化次數(shù)較高的三角函數(shù)為次數(shù)較低的三角函數(shù)，一般運用公式，，這必然會引起角的倍數(shù)的增大(單角化為倍角)； ⑵統(tǒng)一函數(shù)名稱(化多種三角函數(shù)為單一的三角函數(shù))； ⑶統(tǒng)一角(化多角為單一角，減少角的種類)． 五、運用新知 1、求函數(shù)的周期、最大值和最小值. 分析：根據(jù)已知條件要想求相關性質(zhì)應先把上式進行合角,因此應先借助于平方關系與二倍角公式對降冪,然后引入輔助角. 解：由題意可得 所以,所求函數(shù)的周期為,最大值為，最小值為. 注:引入輔助角“”是進行三角變換的關鍵.另外,降冪化簡也是常用的一種變換. 【設計意圖】引用此例題是讓學生進一步鞏固三角函數(shù)的恒等變換的思路和方法,提高學生的邏輯推理和應變能力. 變式訓練1:已知函數(shù) (1) 求函數(shù)的最小正周期； (2) 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 分析:觀察的形式,各自展開為 相加后可以進一步化簡,而是標準的二倍角余弦公式. 解: (1) 所以的最小正周期為； (2) 由則 所以 即:函數(shù)在區(qū)間上的最大值為和最小值為. 【設計意圖】引入此例題一是讓學生進一步熟練恒等變換;二是明確合角情況的多變性. 2、如圖,四邊形是一個邊長為100米的正方形地皮,其中是一半徑為90米的扇形小山,其余部分都是平地,是弧上一點，現(xiàn)有一位開發(fā)商想在平地上建造一個兩邊落在與上的長方形停車場.求長方形停車場面積的最大值和最小值. 分析:要想求停車場面積的最值,首先應建立長方形面積的函數(shù)關系式,而建立關系式的關鍵是選取自變量.結合本題具體情況可設,則,這時此法易列式但不好求.因此不妨設作為自變量,然后延長交與,則 ,則 . 解：設延長交與, A M T B S D R C Q P 則 ,則 設 所以，當時,有最小值950. 當時,有最大值. 即.長方形停車場面積的最大值為,最小值為950. 【設計意圖】本變式訓練是進一步鞏固三角函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用,在講解時應注重自然語言與數(shù)學語言的結合.解決此類問題的關鍵是構建函數(shù)模型,首先應選準角作為自變量,其次要明確角的范圍,利用三角函數(shù)恒等變換求解. 六、課堂小結 1．知識：如何采用兩角和或差的正余弦公式進行合角,借助三角函數(shù)的相關性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問題是對三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),以及誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系、和(差)角公式的綜合應用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn). 如何科學的把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題,如何選擇自變量建立數(shù)學關系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問題． 2．思想：本節(jié)課通過由特殊到一般方式把關系式化成的形式，可以很好地培養(yǎng)學生探究、歸納、類比的能力. 通過探究如何選擇自變量建立數(shù)學關系式，可以很好地培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和應用意識，進一步培養(yǎng)學生的建模意識． 【師生活動】在總結中引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師最后總結、板書. 【設計意圖】讓學生自己小結，不僅能總結知識更重要地是總結數(shù)學思想方法.這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程,這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養(yǎng)成良好的學習習慣. 七、布置作業(yè) 必做題：1.設,,滿足 求函數(shù)在的最大值和最小值. 2.如圖，在一塊半徑為的半圓形的鐵板中截取一個內(nèi)接矩形，使其一邊落在圓的直徑上，問應該怎樣截取，能使矩形的面積最大？并求出這個矩形的最大面積。 選做題：1.已知函數(shù). (1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間； (2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 2.某公司位于兩條大道之間的處,且到兩道的距離分別為.今公司想在兩道上分別設置一個產(chǎn)品銷售點和,使,試問如何設置使的面積最小?此時最小值為多少? E C D B A 【設計意圖】設置必做題的目的是引導學生先復習，再作業(yè)，鞏固學習效果,同時進一步培養(yǎng)學生良好的學習習慣；設置選做題是鼓勵學有余力的同學進一步加深本節(jié)內(nèi)容的理解． 八、教后反思 1. 本節(jié)課的亮點：教學過程中教師引導啟發(fā)學生通過課本中的例3為出發(fā)點，研究函數(shù)的恒等變換問題(主要是拆、合角)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并推廣到一般情況.這個過程中既讓學生獲得了關于新知的內(nèi)容，更可貴的是讓學生體會到如何研究一個新問題，即探究方法的體驗與感知.同時也滲透了歸納、類比推理的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)了學生的探索精神，積累了探究經(jīng)驗. 2. 不足之處：通過學習發(fā)現(xiàn)學生在拆、合角方面學生還是很困難,這充分體現(xiàn)學生對相關三角公式不熟練,由于本節(jié)課課上時間緊張,在下節(jié)課這方面應多加強訓練一下. 九、板書設計 3.2簡單的三角恒等變換（2） 一、引入新課 二、探究新知 三、理解新知： 四、運用新知 例1: 變式訓練:1 例2: 變式訓練:2 五、課堂小結 1．知識： 2．思想： 六、布置作業(yè) 必做題： 1. 2. 選做題： 1. 2.