2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題28 立體幾何的向量方法 理.doc
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專題28 立體幾何的向量方法一、考綱要求:1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些簡單定理(包括三垂線定理).4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn):1.利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.2.用向量證明垂直的方法(1))線線垂直:證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.(2))線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.(3))面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?3.利用向量法求異面直線所成的角的步驟(1))選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系.(2))求出兩直線的方向向量v1,v2.(3))代入公式|cosv1,v2|求解.4.求線面角方法:(1))線面角范圍,向量夾角范圍為0,.(2))線面角的正弦值等于斜線對應(yīng)向量與平面法向量夾角余弦值的絕對值.即sin .即斜向量,n為平面法向量. 例5.(2018天津卷)如圖,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2()若M為CF的中點(diǎn),N為EG的中點(diǎn),求證:MN平面CDE;()求二面角EBCF的正弦值;()若點(diǎn)P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長【答案】()見解析;();()()解:依題意,可得,設(shè)為平面BCE的法向量,則,不妨令z=1,可得設(shè)為平面BCF的法向量,則,不妨令z=1,可得因此有cos=,于是sin=二面角EBCF的正弦值為;例6.(2018浙江卷)如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=l,AB=BC=B1B=2()證明:AB1平面A1B1C1;()求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值【答案】()見解析;()【解析】:(I)證明:A1A平面ABC,B1B平面ABC,AA1BB1,AA1=4,BB1=2,AB=2,A1B1=2,又AB1=2,AA12=AB12+A1B12,AB1A1B1,同理可得:AB1B1C1,又A1B1B1C1=B1,AB1平面A1B1C1設(shè)平面ABB1的法向量為=(x,y,z),則,令y=1可得=(,1,0),cos=設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為,則sin=|cos|=直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值為例7.(2018上海卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,半徑為2(1)設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積;(2)設(shè)PO=4,OA、OB是底面半徑,且AOB=90,M為線段AB的中點(diǎn),如圖求異面直線PM與OB所成的角的大小【答案】(1);(2)arccos【解析】:(1)圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,半徑為2,圓錐的母線長為4,圓錐的體積V=設(shè)異面直線PM與OB所成的角為,則cos=arccos異面直線PM與OB所成的角的為arccos立體幾何向量方法一、選擇題1若直線l的方向向量為a(1,0,2),平面的法向量為n(2,0,4),則 ()AlBlClDl與相交【答案】B【解析】:n2a,a與平面的法向量平行,l. 18如圖所示,四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形,PACD,PA1,PD,E為PD上一點(diǎn),PE2ED.(1)求證:PA平面ABCD;(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使得BF平面AEC?若存在,指出F點(diǎn)的位置,并證明;若不存在,說明理由【答案】見解析則n(1,1,2)假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F,且(01),使得BF平面AEC,則n0.又(0,1,0)(,)(,1,),n120,存在點(diǎn)F,使得BF平面AEC,且F為PC的中點(diǎn)19如圖,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AA1底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,BAD120,ABAA12A1B12.(1)若M為CD的中點(diǎn),求證:AM平面AA1B1B;(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值【答案】(1)見解析;(2)【解析】:(1)證明:四邊形ABCD為菱形,BAD120,連接AC,則ACD為等邊三角形,又M為CD的中點(diǎn),AMCD,由CDAB得AMAB.AA1底面ABCD,AM底面ABCD,AMAA1,又ABAA1A,AM平面AA1B1B. 設(shè)平面A1BD的法向量為n(x,y,z),則有令x1,則n(1,1)直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值sin |cosn,1|.20如圖,四棱錐PABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA底面ABCD,且PAAD2,E,F(xiàn),H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn)求證:(1)PB平面EFH;(2)PD平面AHF.【答案】見解析【解析】:證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(2)(0,2,2),(1,0,0),(0,1,1),0021(2)10,0120(2)00,PDAF,PDAH.又AFAHA,PD平面AHF.21如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且ABAD2,AA1,BAD120.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;(2)求二面角BA1DA的正弦值【答案】(1) ;(2) (1)(,1,),(,1,),則cos,因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)解:平面A1DA的一個(gè)法向量為(,0,0)設(shè)m(x,y,z)為平面BA1D的一個(gè)法向量,又(,1,),(,3,0),則即因此二面角BA1DA的正弦值為. 22如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,ABBCAD,BADABC90,E是PD的中點(diǎn) (1)證明:直線CE平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角MABD的余弦值. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】:(1)證明:取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EFAD,EFAD.由BADABC90得BCAD,又BCAD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF.又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解:由已知得BAAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,|為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),(1,0,),(1,0,0)從而.設(shè)m(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則即所以可取m(0,2)于是cosm,n.因此二面角MABD的余弦值為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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