2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè)必修12.4《基本不等式及其應(yīng)用》教案2篇.doc
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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè)必修12.4《基本不等式及其應(yīng)用》教案2篇 一、教學(xué)內(nèi)容分析 基本不等式及其應(yīng)用是高中教材中的一個(gè)重要內(nèi)容.盡管基本不等式本身的證明并不困難,但它卻是今后學(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時(shí)的有力工具,因此牢固掌握這兩個(gè)基本不等式的形成、關(guān)系和變式等都是十分重要的. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、掌握兩個(gè)基本不等式:(、)、(、為任意正數(shù)),并能用于解決一些簡單問題. 2、理解兩個(gè)基本不等式相應(yīng)的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學(xué)方法. 3、在公式的探求過程中,領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)一步體會(huì)事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相轉(zhuǎn)化等辨證唯物主義觀點(diǎn). 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn) 兩個(gè)基本不等式的知識(shí)發(fā)生過程和證明;基本不等式的應(yīng)用. 難點(diǎn) 基本不等式的應(yīng)用. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 電腦、投影儀 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 新課引入 基本不等式1及其證明 基本不等式1的圖形解釋 圖形引入基本不等式2 基本不等式2的證明 基本不等式的簡單應(yīng)用(探索) 課堂小結(jié) 作業(yè)布置(含課外思考) 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、新課引入 在客觀世界中,有些量的大小關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的. 例如,、()、三角形任意兩邊之和大于第三邊、三角形任意兩邊之差小于第三邊等等. 二、新課講授 1、基本不等式1 基本不等式1 對(duì)于任意實(shí)數(shù)和,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. (1)基本不等式1的證明 證明:因?yàn)?,所? 當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),. 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的等號(hào)成立. (2)基本不等式1的幾何解釋 ① 解釋1 邊長為的正方形面積與邊長為的正方形面積之和大于等于以、為鄰邊長的矩形面積的2倍(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立) 已知正方形,分別在邊、邊上取點(diǎn)、,使得.分別過點(diǎn)、作、,垂足為、.和交于點(diǎn). 由幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算演示,得到陰影部分的面積 剩余部分的面積,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)移至中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立. ② 解釋2 某屆數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽怎樣的? 三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為: 如圖所示,以、、分別表示勾、股、弦,那么,表示“弦圖”中兩塊“朱實(shí)”的面積,表示“中黃實(shí)”的面積. 于是,從圖中可明顯看出,四塊“朱實(shí)”的面積加上一個(gè)“中黃實(shí)”的面積就等于以為邊長的正方形“弦實(shí)”的面積,即 這就是勾股定理的一般表達(dá)式. 由圖可知: 以為邊長的正方形“弦實(shí)”的面積 四塊“朱實(shí)”的面積即,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立). 2、基本不等式2 觀察下面這個(gè)幾何圖形. 已知半圓,是半圓上任一點(diǎn),是直徑. 過作,垂足為. 顯然有線段的長度大于等于垂線段的長度. 設(shè),,請(qǐng)用、來表示上述這個(gè)不等關(guān)系.( 即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.) 基本不等式2 對(duì)于任意正數(shù)、,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). (1)基本不等式2的證明 證明:因?yàn)?,所? 當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),. 所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的等號(hào)成立. 另證:因?yàn)?、為正?shù),所以、均存在. 由基本不等式1,得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. (2)基本不等式2的擴(kuò)充 對(duì)于任意非負(fù)數(shù)、,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 例1 已知,求證:,并指出等號(hào)成立的條件. 證明:因?yàn)?,所?、同號(hào),并有,. 所以,.當(dāng)且僅當(dāng) ,即時(shí)等號(hào)成立. [說明] 1、體會(huì)代換的方法. 2、用語言表述上述結(jié)論. 3、思考:若,則代數(shù)式的取值范圍是什么?(,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.) 3、兩個(gè)基本不等式的簡單應(yīng)用 (1)幾何問題 例2 在周長保持不變的條件下,何時(shí)矩形的面積最大? 猜想:由幾何畫板電腦演示得出. 解:設(shè)矩形的長、寬分別為、(、)且(定值),則同樣周長的正方形的邊長為. 矩形面積,正方形面積 由基本不等式2,得,又由不等式的性質(zhì)得,即. 由題意,(定值),所以(定值).當(dāng)且僅當(dāng),即矩形為正方形時(shí),矩形的面積最大. [說明] 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí),它們的積有最大值. 例如,若時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(事實(shí)上,由(),得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.) 三、課堂小結(jié) 略 四、作業(yè)布置 1、練習(xí)2.4(1) 2、思考題 (1)通過查閱資料,了解這兩個(gè)基本不等式其它的幾何解釋. (2)在面積保持不變的條件下,正方形的周長與矩形的周長之間有什么大小關(guān)系? (3)整理一些基本不等式的常用變式并給出證明. 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本堂課是《基本不等式及其應(yīng)用》的第一節(jié)課,在學(xué)生熟練掌握不等式性質(zhì)的前提下,介紹了兩個(gè)基本不等式及其初步應(yīng)用.盡管對(duì)于基本不等式而言證明不困難,但它卻是今后學(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時(shí)的有力工具,因此牢固掌握這兩個(gè)基本不等式是十分重要的. 為了避免單純地講授基本不等式,本堂課借助計(jì)算機(jī)軟件,采用以幾何圖形輔助代數(shù)知識(shí)講授,由數(shù)到形,再由形到數(shù)的設(shè)計(jì)思路,將兩個(gè)基本不等式的證明、解釋及其在應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)穿插其中,并通過幾何解釋加強(qiáng)對(duì)基本不等式的感性認(rèn)識(shí),從而達(dá)到較好的教學(xué)效果.整堂課主要采用 “觀察 —— 猜測 —— 歸納 —— 證明”的探索流程,讓學(xué)生通過觀察兩式的大小關(guān)系、幾何圖形中線段的長度來猜測相應(yīng)的結(jié)論,最后再由討論、歸納得出兩個(gè)基本不等式. 在教學(xué)過程中始終“關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展”.例如,將教科書上例1的證明題改成了一道探索題,通過對(duì)有關(guān)過程的設(shè)計(jì),進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自行探索、解決問題的能力.此外,為了培養(yǎng)學(xué)生“觀察 —— 猜測”的能力,借用了幾何畫板的有關(guān)功能,幫助學(xué)生進(jìn)行有關(guān)的猜想與驗(yàn)證,使學(xué)生始終處于自我發(fā)現(xiàn)、自我探索的過程中. 通過整堂課的教學(xué),不僅要求學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握,此外還對(duì)應(yīng)初步理解代換的數(shù)學(xué)方法有一定要求,并在公式的探求過程中,繼續(xù)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 2.4(2)基本不等式及其應(yīng)用 一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、進(jìn)一步掌握兩個(gè)基本不等式:(、)、(、為任意正數(shù)) 2、利用基本不等式解決一些簡單問題,如求最值或求取值范圍的簡單問題以及簡單不等式的證明. 3、進(jìn)一步理解代換的數(shù)學(xué)方法. 二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 基本不等式的簡單應(yīng)用. 三、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 復(fù)習(xí)回顧 基本不等式的應(yīng)用(幾何問題) 基本不等式的應(yīng)用(代數(shù)證明) 拓廣引申 作業(yè)布置(含課外思考) 課堂小結(jié) 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí) 基本不等式1 對(duì)于任意實(shí)數(shù)和,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 基本不等式2 對(duì)于任意正數(shù)、,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). [說明] 復(fù)習(xí)過程中需強(qiáng)調(diào)三點(diǎn): 1、兩個(gè)基本不等式各自適用的范圍. 2、兩個(gè)基本不等式各自等號(hào)成立的條件. 3、兩個(gè)基本不等式之間的聯(lián)系. 二、新課講授 (2)幾何問題 根據(jù)上節(jié)課的討論,我們知道在周長保持不變的條件下,當(dāng)且僅當(dāng)矩形相鄰兩邊相等即為正方形時(shí),其面積最大.很自然我們會(huì)考慮下面的問題. 例3 在面積保持不變的條件下,何時(shí)矩形的周長最?。? 解:設(shè)矩形的長、寬分別為、(、)且(定值),則同樣面積的正方形的邊長為. 矩形周長,正方形周長. 由基本不等式2,得,又由不等式的性質(zhì)得,即. 由題意,(定值),所以(定值).當(dāng)且僅當(dāng),即矩形為正方形時(shí),矩形的周長最小. [說明] 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí),它們的和有最小值. 例如,若時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(一方面當(dāng)時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.另一方面當(dāng)時(shí),有,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.) 兩個(gè)正數(shù)的和為定值,則它們的積有最大值;兩個(gè)正數(shù)的積為定值,則它們的和有最小值.這兩個(gè)結(jié)論常常用于求解最值問題.在具體應(yīng)用時(shí),要注意“一正、二定、三等號(hào)”. (2)代數(shù)證明 例4 求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)、、,有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 證明:由基本不等式1,得 ,,, 把上述三個(gè)式子的兩邊分別相加,得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 另證: . 即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 例5 均值不等式鏈 設(shè)、,則(調(diào)和均值幾何均值算術(shù)均值平方均值),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 證明:(1)由、,得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 (2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,已證. (3)由 . 所以,當(dāng)、時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 綜合(1)、(2)、(3)得,當(dāng)、時(shí),有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. [說明] 事實(shí)上當(dāng)、時(shí),有: ① ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ② . 證明:① 由,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立. ② 由 . 即,. 不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng). 不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng). 不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng). 例6 甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā),沿同一條路線行到B地。甲在前一半時(shí)間的行走速度為,后一半時(shí)間的行走速度為;乙用速度走完前半段路程,用速度走完后半段路程;問:誰先到達(dá)B地? 解:設(shè)A、B兩地的距離為,甲、乙兩人用時(shí)分別為、,則。 因此。 所以,當(dāng)時(shí),,甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地;當(dāng)時(shí),,甲先到B地。 另解:設(shè)A、B兩地的距離為,甲、乙兩人用時(shí)分別為、,平均速度分別為、,則 。 因而,當(dāng)時(shí),,甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地;當(dāng)時(shí),,甲先到B地。 三、課堂小結(jié) 略 四、作業(yè)布置 1、習(xí)題2.4 1、2、4、7 2、思考題 均值不等式鏈的幾何解釋. 五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本堂課是《基本不等式及其應(yīng)用》的第二節(jié)課,在學(xué)生掌握兩個(gè)基本不等式的前提下,介紹了基本不等式的簡單應(yīng)用. 從上堂課的最后一個(gè)幾何問題入手,得出例3的結(jié)論,并在此基礎(chǔ)上歸納出利用基本不等式求最值(最大值、最小值)的基本方法. 在講解完例4有關(guān)利用不等式進(jìn)行簡單代數(shù)證明后,結(jié)合上堂課留給學(xué)生的思考題(整理一些基本不等式的常用變式并給出證明)給出“基本不等式鏈”.有關(guān)“基本不等式鏈”的證明應(yīng)由學(xué)生給出,一方面作為課堂練習(xí),另一方面也給出了一個(gè)重要的不等式結(jié)論,這個(gè)結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)用到.對(duì)于說明中的相關(guān)內(nèi)容,視學(xué)生的情況而定,可由教師做適當(dāng)引導(dǎo),也可留為課后思考. 整堂課的教學(xué)重在兩個(gè)基本不等式的應(yīng)用.在如何使用基本不等式解決問題(幾何、代數(shù))的同時(shí),需對(duì)兩個(gè)不等式適用的范圍以及各自等號(hào)成立的條件做反復(fù)強(qiáng)調(diào).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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