2018-2019學年高中數(shù)學 考點28 二面角庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點28 二面角 要點闡述 1．二面角：從一條直線出發(fā)的 兩個半平面 所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．這兩個半平面叫做二面角的面． 2．二面角的平面角:如圖：在二面角的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的叫做二面角的平面角． 典型例題 【例】以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折后兩條直角邊的夾角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【規(guī)律總結】求二面角的步驟：①作出二面角的平面角；②證明該角兩邊都與棱垂直；③指出該角就是二面角的平面角；④計算該角的大?。営洖樽鳌⒆C、指、算． 小試牛刀 1．二面角是指(　　) A．兩個平面相交的圖形 B．一個平面繞著這個平面內的一條直線旋轉而成的圖形 C．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 D．以兩個相交平面交線上任意一點為端點，在兩個平面內分別引垂直于交線的射線，這兩條射線所成的角 【易錯易混】二面角不是角而是一個圖形，是用平面角度量它的大?。? 2．以下三個命題中，正確的命題有（　?。? ①一個二面角的平面角只有一個； ②二面角的棱垂直于這個二面角的平面角所在的平面； ③分別在二面角的兩個半平面內，且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大?。? A．0個　　 B．1個　　 C．2個　 D．3個 【答案】B 【解析】僅②正確． 【規(guī)律總結】找二面角的平面角的方法 ①垂面法：由二面角的平面角的定義，只需作與棱垂直的平面，則該平面與兩半平面所成交線構成的角就是二面角的平面角． ②平移法：先分別在兩半平面內找一條垂直于棱的射線，然后平移到公共端點位置就找到了二面角的平面角． 3．從空間一點P向二面角的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60，則二面角的平面角的大小是（　?。? A．60 B．120 C．60或120 D．不確定 【答案】C 【解析】若點P在二面角內，則二面角的平面角為120；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60． 【規(guī)律小結】求二面角的大小關鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計算． 4．過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是（　　） A．30　　　　 B．45　　　　　 C．60　　　　　　 D．90 【答案】C 【解析】根據(jù)題意畫出圖形，并將其補成四棱柱，易知兩平面所成的角為45． 5．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為(　　) A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】C 6．如果二面角α-l-β的平面角是銳角，點P到α、β和棱l的距離分別為、4和，求其二面角的大?。? 【思路分析】本題主要考查二面角的求法以及分類討論的思想，關鍵分點在二面角α-l-β內部與外部，然后運用垂面法作出這個角． 考題速遞 1．若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是（　?。? A．相等 B．互補　 C．相等或互補 D．不確定 【答案】C 【解析】若方向相同則相等，若方向相反則互補． 2．在直二角面棱上取一點，過點分別在，平面內作與棱成45角的斜線，，則的大小是（　?。? A．45 B．60 C．120 D．60或120 【答案】D 【解析】畫出圖形，令并賦值計算，易得為等邊三角形或的等腰三角形． 3．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍．沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時二面角B－AD－C的大小為________． 【答案】60 4．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD． （1）求證：平面PAD⊥平面PAB； （2）若平面PDA與平面ABCD成60的二面角，求該四棱錐的體積． 【解析】（1）∵PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴PB⊥AD． ∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B， ∴AD⊥平面PAB． 又∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB． （2）由（1）的證明知，∠PAB為平面PDA與平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60， ∴PB＝a． ∴VP－ABCD＝a2a＝． 數(shù)學文化 書立 書立是用來支撐書籍平穩(wěn)站立的物品．多用鐵，不銹鋼等材料制成“L”形狀并成對出現(xiàn)．書立可以避免一列站立的書傾斜歪倒，以防止書籍的折角，彎曲或損壞．書立還可以用于歸納整理不同類的書籍．圖書館多會使用書立整理有空隙的書架，公司及個人也可以使用書立在平整的書桌上開辟整齊的圖書資料空間．實際上，書立就是我們將要學習的直二面角．