2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.3 平均值不等式活頁作業(yè)4 北師大版選修4-5.doc

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活頁作業(yè)(四)　平均值不等式 一、選擇題 1．設(shè)0＜a＜b，a＋b＝1，則下列不等式正確的是(　　) A．b＜2ab＜＜a2＋b2 B．2ab＜b＜a2＋b2＜ C．2ab＜a2＋b2＜b＜ D．2ab＜a2＋b2＜＜b 解析：∵0＜a＜b且a＋b＝1， ∴0＜a＜b＜1. ∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b. 故2ab＜a2＋b2＜b＜. 答案：C 2．下列不等式正確的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2　　　　 B．a(chǎn)3＋b3＋c3≥3abc C．≥ab D．≥ 解析：選項(xiàng)A，B，D忽視了a，b，c的條件應(yīng)為正實(shí)數(shù)． 答案：C 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋－1(x＜0)，則函數(shù)f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．是增函數(shù) D．是減函數(shù) 解析：因?yàn)閤＜0， 所以f(x)＝－－2x＋－1≤ －2－1＝－2－1， 當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝，即x＝－時(shí)取等號． 所以函數(shù)f(x)有最大值－2－1. 答案：A 4．已知x＞0，y＞0，若不等式＋＞m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 解析：有＋≥2＝8，要使不等式＋＞m2＋2m 恒成立，則m2＋2m＜8.解得－4＜m＜2. 答案：D 二、填空題 5．若x＞0，則函數(shù)f(x)＝x＋的最小值是________. 解析：因?yàn)閤＞0，所以f(x)＝x＋＝＋＋≥ 3＝6，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝4時(shí)取等號． 答案：6 6．若對任意x＞0，關(guān)于x的不等式≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析：由x＞0，知原不等式等價(jià)于不等式0＜≤＝x＋＋3恒成立． 所以≤min＝5，即0＜≤5.解得a≥. 答案： 三、解答題 7．設(shè)單位圓的內(nèi)接三角形的面積為，三邊長分別為a，b，c且不全相等，求證：＋＋＞＋＋. 證明：∵三角形的面積S＝absin C＝，＝2， ∴abc＝1. ∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝ ≥c＋a＋b＝ (＋＋)＝＋＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號． ∵三邊長a，b，c不全相等， ∴＋＋＞＋＋. 8．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求4a＋4b＋4c2的最小值，并求出取最小值時(shí)a，b，c的值． 解：顯然4a>0,4b>0,4c2＞0. 則4a＋4b＋4c2≥3， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c2時(shí)取等號． 因?yàn)閍＋b＋c＝1，所以a＋b＝1－c. 所以a＋b＋c2＝c2－c＋1＝2＋. 所以當(dāng)c＝時(shí)，a＋b＋c2取得最小值. 從而當(dāng)a＝b＝，c＝時(shí)，4a＋4b＋4c2取得最小值，且最小值為3. 一、選擇題 1．給出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③若 0＜a＜1＜b，則logab＋logba≤－2；④若0＜a＜1＜b，則logab＋logba≥2.其中正確的是(　　) A．②④ B．①② C．②③ D．①②④ 解析：①當(dāng)x＞0時(shí)，x＋≥2； 當(dāng)x＜0時(shí)，x＋≤－2.故①錯(cuò)誤． ②因?yàn)閤與同號，所以＝|x|＋≥2.故②正確． ③當(dāng)0＜a＜1＜b時(shí)，logab＜0，logba＜0， 所以－logab＞0，－logba＞0. 所以logab＋logba＝logab＋≤－2.故③正確． ④由③，知logab＋logba≥2是錯(cuò)的． 答案：C 2．對于x∈，關(guān)于x的不等式＋≥16恒成立，則正數(shù)p的取值范圍為(　　) A．(－∞，－9] B．(－9,9] C． (－∞，9] D．[9，＋∞) 解析：令t＝sin2x，則cos2x＝1－t. ∵x∈，∴t∈(0,1)． 關(guān)于x的不等式＋≥16可化為 p≥(1－t)． 令y＝(1－t)， 則y＝17－ ≤17－2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)＝16t，即t＝時(shí)取等號， 因此，原不等式恒成立，只需p≥9. 答案：D 二、填空題 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是________. 解析：∵2xy＝x(2y)≤2， ∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2， 即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)取等號，即x＋2y的最小值是4. 答案：4 4．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，則＋的最小值為________. 解析：∵二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)， ∴a＞0且c－＝0.∴c＝. ∴＋＝a2＋a＋＋≥2＋ 2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝1時(shí)取等號． 答案：4 三、解答題 5．已知函數(shù)f(x)＝2x＋2－x，若對于任意x∈R，關(guān)于x的不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值． 解：由條件，知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝[f(x)]2－2. 因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(2x)≥mf(x)－6對任意x∈R 恒成立，且f(x)＞0， 所以關(guān)于x的不等式m≤對任意x∈R恒成立． 而＝f(x)＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)＝2，即x＝0時(shí)取等號， 所以m≤4.故實(shí)數(shù)m的最大值為4. 6．x，y，a，b均為正實(shí)數(shù)，x，y為變數(shù)，a，b為常數(shù)，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值為18，求a，b的值． 解：∵x＋y＞0，a＞0，b＞0且＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋ 2＝a＋b＋2＝(＋)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號． 此時(shí)(x＋y)min＝(＋)2＝18， 即a＋b＋2＝18. 又a＋b＝10， 聯(lián)立 解得或