2018年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 1.5 不等式的應(yīng)用活頁(yè)作業(yè)7 北師大版選修4-5.doc

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活頁(yè)作業(yè)(七)　不等式的應(yīng)用 一、選擇題 1．某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時(shí)間t(0＜t≤30)的關(guān)系大致滿足f(t)＝t2＋10t＋16，則該商場(chǎng)前 t天平均售出的月餅最少為(　　) A．18　　　　　　　　 B．27 C．20 D．16 解析：平均銷售量 y＝＝＝t＋＋10≥18， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝4∈[1,30]時(shí)等號(hào)成立， 即平均銷售量的最小值為18. 答案：A 2．汽車上坡時(shí)的速度為a，原路返回時(shí)的速度為b，且0＜a＜b，則汽車全程的平均速度比a，b的平均值(　　) A．大 B．小 C．相等 D．不能確定 解析：設(shè)單程為s，則上坡時(shí)間t1＝，下坡時(shí)間t2＝， 平均速度為v＝＝＝＜. 答案：B 3．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 解析：若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是元，總的費(fèi)用是＋≥ 2＝20， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80時(shí)取等號(hào)． 答案：B 4．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1 km，某炮位于原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．則炮的最大射程為(　　) A．20 km B．10 km C．5 km D．15 km 解析：令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.由實(shí)際意義和題設(shè)條件，知x＞0，k＞0.故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝，即k＝1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10 km. 答案：B 二、填空題 5．設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，P是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到這個(gè)三角形三邊的距離的積的最大值是________. 解析：設(shè)點(diǎn)P到三角形三邊的距離分別為h1，h2，h3. 由題意，得三角形為直角三角形，S＝34＝6. ∴h13＋h24＋h35＝6. ∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3. ∴h1h2h3≤＝. 答案： 6．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為____________m. 解析：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)F.易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x.則S＝x(40－x)≤2，當(dāng)且僅當(dāng)40－x＝x，即x＝20時(shí)取等號(hào)．所以滿足題意的邊長(zhǎng)x為20 m. 答案：20 三、解答題 7．某漁業(yè)公司今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元，該船每年捕撈的總收入為50萬(wàn)元． (1)該船捕撈幾年后開始盈利(即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值)? (2)該船捕撈若干年后，處理方案有兩種： ①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣出； ②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出． 哪一種方案較為合算？請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)捕撈n年后開始盈利，盈利為y元，則 y＝50n－－98 ＝－2n2＋40n－98. 由y＞0，得n2－20n＋49＜0. 解得10－＜n＜10＋(n∈N＋)． 所以3≤n≤17. 故捕撈3年后開始盈利． (2)①由(1)，得y＝－2n2＋40n－98.所以平均盈利為 ＝－2n－＋40≤－2＋40＝12， 當(dāng)且僅當(dāng)2n＝，即n＝7時(shí)，年平均盈利最大． 故經(jīng)過7年捕撈后平均盈利最大，共盈利127＋26＝110(萬(wàn)元)． ②由(1)，得y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102. 所以當(dāng)n＝10時(shí)，函數(shù)y的最大值為102. 故經(jīng)過10年捕撈后盈利總額最大，共盈利102＋8＝110(萬(wàn)元)． 因?yàn)閮煞N方案盈利相等，但方案②的時(shí)間長(zhǎng)， 所以方案①合算． 8．某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計(jì)劃建一個(gè)八邊形的休閑小區(qū)，其主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和矩形EFGH構(gòu)成的面積是200 m2的十字形區(qū)域，現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價(jià)為4 200元/m2，在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為80元/m2. (1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD的邊長(zhǎng)為x m，試建立S關(guān)于x的函數(shù)解析式； (2)計(jì)劃至少要投多少萬(wàn)元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)？ 解：(1)設(shè)DQ＝y(tǒng) m，則x2＋4xy＝200，即 y＝. 所以S＝4 200x2＋2104xy＋804y2 ＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)． (2)由(1)，得S＝38 000＋4 000x2＋ ≥38 000＋2＝118 000， 當(dāng)且僅當(dāng)4 000x2＝，即x＝時(shí)取等號(hào)． 因?yàn)?18 000元＝11.8萬(wàn)元， 所以計(jì)劃至少要投入11.8萬(wàn)元才能建造這個(gè)休閑小區(qū)． 一、選擇題 1．某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外，每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為(　　) A．10　　　　　　　 B．11 C．13 D．21 解析：設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋ 2x＝[x(x＋1)]萬(wàn)元，所以x年的年平均費(fèi)用為y＝＝x＋＋1.5萬(wàn)元．由平均值不等式，得y＝x＋＋1.5＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時(shí)取等號(hào)． 答案：A 2．設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬(wàn)元(t為正常數(shù))．公司決定從原有員工中分流x(0＜x＜100，x∈N＋)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn)．分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：由題意，得分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100t 萬(wàn)元，分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為(100－x)(1＋1.2x%)t萬(wàn)元．則 解得0＜x≤. 因?yàn)閤∈N＋，所以x的最大值為16. 答案：B 二、填空題 3．制造一個(gè)容積為 m3的無蓋圓柱形桶，用來做底面的金屬板的價(jià)格為每平方米30元，做側(cè)面的金屬板的價(jià)格為每平方米20元，則當(dāng)圓柱形桶的底面半徑為________m、高為________m時(shí)，所使用的材料成本最低． 解析：設(shè)此圓柱形桶的底面半徑為rm，高為h m，則底面面積為πr2m2，側(cè)面積為2πrh m2. 設(shè)原料成本為y元，則y＝30πr2＋40πrh. 因?yàn)橥暗娜莘e為 m3， 所以πr2h＝，即rh＝. 所以y＝30πr2＋π＝10π≥10π3， 當(dāng)且僅當(dāng)3r2＝，即r＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)h＝. 答案：　 4．設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為________. 解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，高為h，則x2h＝V，即h＝. 所以S表＝2x2＋3xh ＝x2＋3x＝x2＋ ＝＝ ≥3＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝ 時(shí)取等號(hào)． 答案： 三、解答題 5．如圖(1)所示，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器，如圖(2)所示，求這個(gè)正六棱柱容器容積的最大值． 　 (1)　　　　　　 (2) 解：設(shè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為x(x＞0)，高為h，由下圖，可得2h＋x＝. 所以h＝(1－x)，V＝S底h＝6x2h＝ x2(1－x)＝2(1－x)≤93＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝1－x，即x＝時(shí)等號(hào)成立． 所以當(dāng)?shù)酌孢呴L(zhǎng)為時(shí)，正六棱柱容器容積最大，為. 6．某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買飼料，已知該廠每天需要飼料200 kg，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元． (1)該廠多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少？ (2)若提供飼料的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買飼料不少于5 t時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的85%)．該廠是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)該廠應(yīng)隔x(x∈N＋)天購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y1元． 因?yàn)轱暳系谋９芘c其他費(fèi)用每天比前一天少2000.03＝6(元)， 所以x天飼料的保管與其他費(fèi)用共 6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元． 從而有y1＝(3x2－3x＋300)＋2001.8 ＝＋3x＋357≥417， 當(dāng)且僅當(dāng)＝3x，即x＝10時(shí)取等號(hào)． 故每隔10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少． (2)該廠可以考慮利用此優(yōu)惠條件．理由如下：若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購(gòu)買一次飼料． 設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x天(x≥25)購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2元，則 y2＝(3x2－3x＋300)＋2001.80.85 ＝＋3x＋303(x≥25)． 因?yàn)閥′2＝－＋3， 所以當(dāng)x≥25時(shí)，y2′＞0，即函數(shù)y2在區(qū)間[25，＋∞)上是增函數(shù)． 則當(dāng)x＝25時(shí)，函數(shù)y2取得最小值為390. 而390＜417， 故該廠可以考慮利用此優(yōu)惠條件．