2018年秋高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.2 離散型隨機變量的分布列學案 新人教A版選修2-3.doc

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2.1.2　離散型隨機變量的分布列 學習目標：1.理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念與性質(zhì).2.會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列．(重點)3.理解兩點分布和超幾何分布及其推導過程，并能簡單的運用．(難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．離散型隨機變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 這個表格稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列． 為了簡單起見，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②i＝1. 思考：求離散型隨機變量的分布列應按幾步進行？ [提示]　求離散型隨機變量的分布列的步驟： (1)找出隨機變量所有可能的取值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出相應的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)； (3)列成表格形式． 2．兩點分布 X 0 1 P 1－p p 若隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱X服從兩點分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率． 3．超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則 P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m， 其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m P … 思考：如何正確理解超幾何分布？ [提示]　在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“優(yōu)，劣”等． (1)在應用超幾何分布解題時，應首先明確隨機變量的取值是否滿足超幾何分布的使用范圍． (2)在產(chǎn)品抽樣中，一般采用不放回抽樣． (3)超幾何分布的分布列為 X 0 1 … m P … [基礎自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在離散型隨機變量分布列中，每一個可能值對應的概率可以為任意的實數(shù)． (　　) (2)新生兒的性別、投籃是否命中、買到的商品是否為正品，可用兩點分布研究． (　　) (3)從3本物理書和5本數(shù)學書中選出3本，記選出的數(shù)學書為X本，則X服從超幾何分布． (　　) [解析]　　(1)　因為在離散型隨機變量分布列中每一個可能值對應隨機事件的概率均在[0,1]范圍內(nèi)． (2)√　根據(jù)兩點分布的概念知，該說法正確． (3)√　X的可能取值為0,1,2,3，可求得P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，是超幾何分布． [答案]　(1)　(2)√　(3)√ 2．下列表中能成為隨機變量X的分布列的是(　　) 【導學號：95032128】 A. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. X 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C. X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 C　[由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負且和為1.] 3．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 2a 3a 則a＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. A　[由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，2a＋3a＝1，所以a＝.] 4．某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數(shù)，則P(X＝3)＝________. 【導學號：95032129】 　[P(X＝3)＝＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 分布列的性質(zhì)及應用 　設隨機變量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常數(shù)a的值； (2)求P. [解]　分布列可改寫為： X P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝， 或P＝1－P＝1－＝. [規(guī)律方法]　利用離散型分布列的性質(zhì)解題時要注意以下兩個問題 (1)X＝Xi的各個取值表示的事件是互斥的． (2)不僅要注意i＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n. [跟蹤訓練] 1．若離散型隨機變量X的分布列為： X 0 1 P 4a－1 3a2＋a 求常數(shù)a及相應的分布列． [解]　由分布列的性質(zhì)可知：3a2＋a＋4a－1＝1， 即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2， 又因為4a－1>0，即a>，故a≠－2. 所以a＝，此時4a－1＝，3a2＋a＝. 所以隨機變量X的分布列為： X 0 1 P 求離散型隨機變量y＝f(ξ)的分布列 　已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 分別求出隨機變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列. 【導學號：95032130】 [解]　由η1＝ξ知，對于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3時，η1的值分別為－1，－，0，，1，， 所以η1的分布列為 η1 －1 － 0 1 P 由η2＝ξ2知，對于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個值的概率應是ξ取－2與2的概率與的和，η2取1這個值的概率應是ξ取－1與1的概率與的和， 所以η2的分布列為 η2 0 1 4 9 P [規(guī)律方法]　(1)若ξ是一個隨機變量，a，b是常數(shù)，則η＝aξ＋b也是一個隨機變量，推廣到一般情況有：若ξ是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則η＝f(ξ)也是隨機變量，也就是說，隨機變量的某些函數(shù)值也是隨機變量，并且若ξ為離散型隨機變量，則η＝f(ξ)也為離散型隨機變量. (2)已知離散型隨機變量ξ的分布列，求離散型隨機變量η＝f(ξ)的分布列的關鍵是弄清楚ξ取每一個值時對應的η的值，再把η取相同的值時所對應的事件的概率相加，列出概率分布列即可. [跟蹤訓練] 2．設離散型隨機變量X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． [解]　由分布列的性質(zhì)知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表為： X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 從而由上表得兩個分布列為： (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列： |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 利用排列組合求分布列 　袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中所有的白球的個數(shù)． (2)求隨機變量ξ的分布列． (3)求甲取到白球的概率. 【導學號：95032131】 [思路探究]　可以利用組合數(shù)公式與古典概型概率公式求各種取值的概率． [解]　(1)設袋中原有n個白球，由題意知＝＝＝. 可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3個白球． (2)由題意，ξ的可能取值為1,2,3,4,5. P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝； P(ξ＝5)＝＝. 所以ξ的分布列為： ξ 1 2 3 4 5 P (3)因為甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記“甲取到白球”為事件A，則 P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝. [規(guī)律方法]　求離散型隨機變量分布列時應注意的問題 (1)確定離散型隨機變量ξ的分布列的關鍵是要搞清ξ取每一個值對應的隨機事件，進一步利用排列、組合知識求出ξ取每一個值的概率． (2)在求離散型隨機變量ξ的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣不但可以減少運算量，還可以驗證分布列是否正確． [跟蹤訓練] 3．口袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，用X表示取出的最大號碼，求X的分布列． [解]　隨機變量X的可能取值為3,4,5,6. 從袋中隨機取3個球，包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X＝3”包含的基本事件總數(shù)為C，事件“X＝4”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X＝5”包含的基本事件總數(shù)為CC，事件“X＝6”包含的基本事件總數(shù)為CC. 從而有P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， 所以隨機變量X的分布列為 X 3 4 5 6 P 兩點分布與超幾何分布 [探究問題] 1．利用隨機變量研究一類問題，如抽取的獎券是否中獎，買回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些有什么共同點？ [提示]　這些問題的共同點是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果．定義一個隨機變量，使其中一個結(jié)果對應于1，另一個結(jié)果對應于0，即得到服從兩點分布的隨機變量． 2．只取兩個不同值的隨機變量是否一定服從兩點分布？ [提示]　不一定．如隨機變量X的分布列由下表給出 X 2 5 P 0.3 0.7 X不服從兩點分布，因為X的取值不是0或1. 3．在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現(xiàn)從中取3個球，求取出的球中白球個數(shù)X是否服從超幾何分布？超幾何分布適合解決什么樣的概率問題？ [提示]　隨機變量X服從超幾何分布，超幾何分布適合解決從一個總體(共有N個個體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個)、B(N—M個)，任取n個，其中恰有X個A的概率分布問題． 　在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品． (1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列； (2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張， ①求顧客乙中獎的概率； ②設顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列. 【導學號：95032132】 [思路探究]　(1)從10張獎券中抽取1張，其結(jié)果有中獎和不中獎兩種，故X～(0,1)．(2)從10張獎券中任意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數(shù)X(X＝1,2)服從超幾何分布． [解]　(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況． P(X＝1)＝＝＝，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. 因此X的分布列為 X 0 1 P (2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎． 故所求概率P＝＝＝. ②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且 P(Y＝0)＝＝＝， P(Y＝10)＝＝＝， P(Y＝20)＝＝＝， P(Y＝50)＝＝＝， P(Y＝60)＝＝＝. 因此隨機變量Y的分布列為 Y 0 10 20 50 60 P [規(guī)律方法]　 1．兩點分布的幾個特點 (1)兩點分布中只有兩個對應結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的． (2)由對立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))． 2．解決超幾何分布問題的兩個關鍵點 (1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶． (2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列． [跟蹤訓練] 4．老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某同學只能背誦其中的6篇，試求： (1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布列； (2)他能及格的概率． [解]　(1)設抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X， 則P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)． 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a，i＝1,2,3，則a的值為(　　) A．1　　　　　　　　　 B． C． D． C　[由分布列的性質(zhì)可知：a＝1，解得a＝.] 2．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描述一次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) 【導學號：95032133】 A．0 B. C. D. B　[設P(X＝1)＝p，則P(X＝0)＝1－p. 依題意知，p＝2(1－p)，解得p＝. 故P(X＝0)＝1－p＝.] 3．設隨機變量X等可能地取值1,2,3,4，…10.又設隨機變量Y＝2X－1，則P(Y＜6)的值為(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 A　[Y＜6即2X－1＜6，∴X＜，即X＝1,2,3，∴P(Y＜6)＝P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.] 4．將一枚硬幣擲三次，設X為正面向上的次數(shù)，則P(0＜X＜3)＝________. 　[本題是一個等可能事件的概率．試驗發(fā)生包含的事件是將一枚硬幣擲三次共有23＝8種結(jié)果．而X的可能取值為0,1,2,3.X＝0表示三次都是反面向上，有一種結(jié)果，X＝3表示三次都是正面向上，有一種結(jié)果．所以P(0＜X＜3)＝1－＝.] 5．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)． (1)求ξ的分布列； (2)求“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率. 【導學號：95032134】 [解]　(1)ξ可能取的值為0,1,2，服從超幾何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2. 所以，ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P (2)由(1)知，“所選3人中女生人數(shù)ξ≤1”的概率為 P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.