(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 平面向量、三角函數(shù)與解三角形學(xué)案.doc
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專題一 平面向量、三角函數(shù)與解三角形 [析考情明重點(diǎn)] 小題考情分析 大題考情分析 ??键c(diǎn) 1.平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用(5年5考) 2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及應(yīng)用(5年5考) 3.利用正、余弦定理解三角形(5年3考) 浙江高考對此部分內(nèi)容在解答題中的考查主要集中在三角恒等變換、解三角形、三角函數(shù)的性質(zhì).三角恒等變換一般不單獨(dú)考查,常結(jié)合正、余弦定理考查解三角形,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)考查三角函數(shù),近兩年三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和三角恒等變換是考查的熱點(diǎn),試題難度中檔偏下. 偶考點(diǎn) 1.平面向量的線性運(yùn)算 2.三角恒等變換與求值 第一講 小題考法——平面向量 考點(diǎn)(一) 平面向量的線性運(yùn)算 主要考查平面向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算以及向量共線定理的應(yīng)用. [典例感悟] [典例] (1)已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),則實(shí)數(shù)k=( ) A.4 B.-5 C.6 D.-6 (2)(2018浙江三模)已知向量e1=(1,2),e2=(3,4),且x,y∈R,xe1+ye2=(5,6),則x-y=( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 (3)(2019屆高三 浙江名校聯(lián)考)若點(diǎn)P是△ABC的外心,且++λ=0,∠ACB=120,則實(shí)數(shù)λ的值為( ) A. B.- C.-1 D.1 [解析] (1)a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由題意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.故選D. (2)∵向量e1=(1,2),e2=(3,4),且x,y∈R,xe1+ye2=(5,6),則(x+3y,2x+4y)=(5,6), ∴解得∴x-y=-3.故選B. (3)設(shè)AB的中點(diǎn)為D,則+=2.因?yàn)椋耍?,所以2+λ=0,所以向量,共線.又P是△ABC的外心,所以PA=PB,所以PD⊥AB,所以CD⊥AB.因?yàn)椤螦CB=120,所以∠APB=120,所以四邊形APBC是菱形,從而+=2=,所以2+λ=+λ=0,所以λ=-1,故選C. [答案] (1)D (2)B (3)C [方法技巧] 掌握平面向量線性運(yùn)算的2種技巧 (1)對于平面向量的線性運(yùn)算問題,要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則,緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算. (2)在證明兩向量平行時(shí),若已知兩向量的坐標(biāo)形式,常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷;若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的,常利用共線向量定理(當(dāng)b≠0時(shí),a∥b?存在唯一實(shí)數(shù)λ,使得a=λb)來判斷. [演練沖關(guān)] 1.(2019屆高三臺州檢測)已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量,=e1-ke2,=2e1-e2,=3e1-3e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則k的值為( ) A.2 B.-3 C.-2 D.3 解析:選A ∵=2e1-e2,=3e1-3e2, ∴=-=(3e1-3e2)-(2e1-e2)=e1-2e2. ∵A,B,D三點(diǎn)共線, ∴與共線, ∴存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得e1-ke2=λ(e1-2e2). 即解得k=2. 2.(2018浙江模擬)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E是線段BC上兩個(gè)動點(diǎn),且+=x+y,則+的最小值為( ) A. B.2 C. D. 解析:選D 設(shè)=m+n,=λ+μ, ∵B,D,E,C共線,∴m+n=1,λ+μ=1. ∵+=x+y,則x+y=2, ∴+=(x+y)=≥=.則+的最小值為. 3.(2018衢州期中)已知D為△ABC的邊AB的中點(diǎn),M在DC上滿足5=+3,則△ABM與△ABC的面積比為( ) A. B. C. D. 解析:選C 因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以=2, 因?yàn)?=+3, 所以2-2=3-3,即2=3, 所以5=3+3=3,所以=, 設(shè)h1,h2分別是△ABM,△ABC的AB邊上的高, 所以=====. 考點(diǎn)(二) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 主要考查數(shù)量積的運(yùn)算、夾角,向量模的計(jì)算問題及平面向量中的最值問題. [典例感悟] [典例] (1)(2018遂寧模擬)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,= ,||=1,則的值為( ) A.2 B. C. D. (2)向量a,b滿足|a|=4,b(a-b)=0.若|λa-b|的最小值為2(λ∈R),則ab=( ) A.0 B.4 C.8 D.16 (3)(2018杭州二模)記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin.若平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=ab=c(a+2b-2c)=2,則( ) A.|a-c|max= B.|a+c|max= C.|a-c|min= D.|a+c|min= [解析] (1)∵在△ABC中,AD⊥AB, ∴=0, =(+) =+ = = =(-) = - =. (2)法一:由已知得ab=b2,則|λa-b|==(λ∈R),當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí),|λa-b|有最小值2,所以162-2ab+ab=4,所以(ab-8)2=0,故ab=8.故選C. 法二:向量a,b滿足|a|=4,b(a-b)=0,即ab=b2.由題意知|λa-b|==≥2(λ∈R),即16λ2-2λab+ab-4≥0對于λ∈R恒成立,所以對于方程16λ2-2λab+ab-4=0,Δ=4(ab)2-64(ab-4)≤0,即(ab-8)2≤0,所以(ab-8)2=0,所以ab=8.故選C. (3)由ab=22cos〈a,b〉=2, 可得cos〈a,b〉=,sin〈a,b〉=, 設(shè)=a=(2,0),=b=(1,),=c=(x,y), 可得(x,y)(4-2x,2-2y)=2, 即x(4-2x)+y(2-2y)=2, 可化為x2+y2-2x-y+1=0, 則C在以圓心P,半徑r=的圓上運(yùn)動, 且|a-c|表示點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離, 顯然最大值為|AP|+r= +=, 最小值為|AP|-r= -=. 設(shè)D(-2,0),則|a+c|=|+|=|-+|=||, 則|a+c|表示點(diǎn)D(-2,0)與點(diǎn)C的距離, 顯然最大值為|DP|+r= +=, 最小值為|DP|-r=. [答案] (1)D (2)C (3)A [方法技巧] 在求解與向量的模有關(guān)的問題時(shí),往往會涉及“平方”技巧,注意對結(jié)論(ab)2=|a|2+|b|22ab,(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(ab+bc+ac)的靈活運(yùn)用.另外,向量作為工具性的知識,具備代數(shù)和幾何兩種特征,求解此類問題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想,從而加快解題速度. [演練沖關(guān)] 1.如圖,在四邊形ABCD中,AB=6,AD=2,=,AC與BD相交于點(diǎn)O,E是BD的中點(diǎn),若=8,則=( ) A.-9 B.- C.-10 D.- 解析:選D 由=,可得DC∥AB,且DC=2,則△AOB∽△COD,===+,又E是BD的中點(diǎn),所以=+,則==++=++=8,則=4,則==--=4-36-4=-. 2.(2018溫州二模)已知向量a,b滿足|a|=1,且對任意實(shí)數(shù)x,y,|a-xb|的最小值為,|b-ya|的最小值為,則|a+b|=( ) A. B. C.或 D.或 解析:選C 取a=(1,0),b=(c,d), 則|a-xb|= = ≥, ∴1-=, 又|b-ya|=≥,可得d2=3, 解得c2=1. ∴|a+b|===或. 3.(2019屆高三湖州五校模擬)設(shè)a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,則|2a-b|的取值范圍是________. 解析:設(shè)|2a-b|=t,則4a2-4ab+b2=t2, ∵|a+2b|=2,則a2+4ab+4b2=4, ∴5a2+5b2=t2+4, ∵|a|=1,∴t2=1+5b2, ∵|a+2b|=2,|a|=1, ∴由|a+2b|≤|a|+2|b|=1+2|b|,得|b|≥, 由|2b+a|≥2|b|-|a|=2|b|-1,得|b|≤, ∴≤b2≤, ∴t2=1+5b2∈, ∴≤t≤, ∴|2a-b|∈. 答案: (一) 主干知識要記牢 1.平面向量的兩個(gè)充要條件 若兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 (1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0. 2.平面向量的性質(zhì) (1)若a=(x,y),則|a|==. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cos θ== . (4)|ab|≤|a||b|. (二) 二級結(jié)論要用好 1.三點(diǎn)共線的判定 (1)A,B,C三點(diǎn)共線?,共線. (2)向量,,中三終點(diǎn)A,B,C共線?存在實(shí)數(shù)α,β使得=α+β,且α+β=1. [針對練1] 在?ABCD中,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若=m+n (m,n∈R),則=________. 解析:如圖,∵=2,=m+n,∴=+=m+(2n+1), ∵F,E,B三點(diǎn)共線,∴m+2n+1=1,∴=-2. 答案:-2 2.中點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo) (1)設(shè)P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (2)三角形的重心坐標(biāo)公式:設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)為. 3.三角形“四心”向量形式的充要條件 設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則 (1)O為△ABC的外心?||=||=||=. (2)O為△ABC的重心?++=0. (3)O為△ABC的垂心?==. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a+b+c=0. (三) 易錯易混要明了 1.要特別注意零向量帶來的問題:0的模是0,方向任意,并不是沒有方向;0與任意向量平行;λ0=0(λ∈R),而不是等于0;0與任意向量的數(shù)量積等于0,即0a=0;但不說0與任意非零向量垂直. 2.當(dāng)ab=0時(shí),不一定得到a⊥b,當(dāng)a⊥b時(shí),ab=0;ab=cb,不能得到a=c,即消去律不成立;(ab)c與a(bc)不一定相等,(ab)c與c平行,而a(bc)與a平行. 3.兩向量夾角的范圍為[0,π],向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價(jià). [針對練2] 已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是________. 解析:依題意,當(dāng)a與b的夾角為鈍角時(shí),ab=-2λ-1<0,解得λ>-.而當(dāng)a與b共線時(shí),有-21=-λ,解得λ=2,即當(dāng)λ=2時(shí),a=-b,a與b反向共線,此時(shí)a與b的夾角為π,不是鈍角,因此,當(dāng)a與b的夾角為鈍角時(shí),λ的取值范圍是∪(2,+∞). 答案:∪(2,+∞) A組——10+7提速練 一、選擇題 1.已知平面向量a=(3,4),b=,若a∥b,則實(shí)數(shù)x為( ) A.- B. C. D.- 解析:選C ∵a∥b,∴3=4x,解得x=,故選C. 2.(2019屆高三杭州六校聯(lián)考)已知向量a和b的夾角為120,且|a|=2,|b|=5,則(2a-b)a=( ) A.9 B.10 C.12 D.13 解析:選D ∵向量a和b的夾角為120, 且|a|=2,|b|=5, ∴ab=25cos 120=-5, ∴(2a-b)a=2a2-ab=24+5=13, 故選D. 3.(2018全國卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則=( ) A.- B.- C.+ D.+ 解析:選A 作出示意圖如圖所示.=+=+=(+)+(-)=-.故選A. 4.設(shè)向量a=(-2,1),a+b=(m,-3),c=(3,1),若(a+b)⊥c,則cos〈a,b〉=( ) A.- B. C. D.- 解析:選D 由(a+b)⊥c可得,m3+(-3)1=0,解得m=1.所以a+b=(1,-3),故b=(a+b)-a=(3,-4). 所以cos〈a,b〉===-,故選D. 5.P是△ABC所在平面上一點(diǎn),滿足|-|-|+-2|=0,則△ABC的形狀是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 解析:選B ∵P是△ABC所在平面上一點(diǎn),且|-|-|+-2|=0, ∴||-|(-)+(-)|=0, 即||=|+|, ∴|-|=|+|, 兩邊平方并化簡得=0, ∴⊥,∴∠A=90, 則△ABC是直角三角形. 6.(2018浙江二模)如圖,設(shè)A,B是半徑為2的圓O上的兩個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)C為AO中點(diǎn),則的取值范圍是( ) A.[-1,3] B.[1,3] C.[-3,-1] D.[-3,1] 解析:選A 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示, 可得O(0,0),A(-2,0),C(-1,0),設(shè)B(2cos θ,2sin θ).θ∈[0,2π). 則=(1,0)(2cos θ+1,2sin θ)=2cos θ+1∈[-1,3]. 故選A. 7.(2019屆高三浙江名校聯(lián)考)已知在△ABC中,AB=4,AC=2,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P滿足=+,則(+)的最小值為( ) A.-2 B.- C.- D.- 解析:選C 由=+知點(diǎn)P在直線CD上,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0),A(0,2),B(2,0),D(,1),∴直線CD的方程為y=x,設(shè)P,則=,=,=,∴+=, ∴(+)=-x(2-2x)+x2-x=x2-x=2-, ∴當(dāng)x=時(shí),(+)取得最小值-. 8.已知單位向量a,b,c是共面向量,ab=,ac=bc<0,記m=|λa-b|+|λa-c|(λ∈R),則m2的最小值是( ) A.4+ B.2+ C.2+ D.4+ 解析:選B 由ac=bc,可得c(a-b)=0,故c與a-b垂直,又ac=bc<0,記=a,=b,=c,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)=λa,則|λa-b|+|λa-c|=||+||≥|b-c|=||,由圖可知最小值為BC,易知∠OBC=∠BCO=15,所以∠BOC=150,在△BOC中,BC2=BO2+OC2-2BOOCcos∠BOC=2+.所以m2的最小值是2+. 9.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為( ) A.3 B.2 C. D.2 解析:選A 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線BD的方程為2x+y-2=0,點(diǎn)C到直線BD的距離為=,所以圓C:(x-1)2+(y-2)2=. 因?yàn)镻在圓C上,所以P. 又=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ), 所以 λ+μ=2+cos θ+sin θ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tan φ=2),當(dāng)且僅當(dāng)θ=+2kπ-φ,k∈Z時(shí),λ+μ取得最大值3. 10.如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),設(shè)=m,=n.若AB=,EF=1,CD=,則( ) A.2m-n=1 B.2m-2n=1 C.m-2n=1 D.2n-2m=1 解析:選D?。?+)(-+)=-2+-+=-2+(-)+m=-2+(++-)+m=+m.又=++,=++,兩式相加,再根據(jù)點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),化簡得2=+,兩邊同時(shí)平方得4=2+3+2,所以=-,則=,所以n=+m,即2n-2m=1,故選D. 二、填空題 11.(2018龍巖模擬)已知向量a,b夾角為60,且|a|=1,|2a-b|=2,則|b|=________. 解析:∵|2a-b|=2,∴4a2-4ab+b2=12, ∴412-41|b|cos 60+|b|2=12, 即|b|2-2|b|-8=0, 解得|b|=4. 答案:4 12.(2019屆高三寧波效實(shí)模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(+)(+)=________. 解析:∵在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4, ∴+=+++=+=-, +=+++=+, ∴(+)(+)=(-)(+)=2-2=9-16=-7. 答案:-7 13.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=2|a-b|,|a|=3,則|b|的最大值是________;最小值是________. 解析:由|a+b|=2|a-b|兩邊平方,得a2+2ab+b2=4(a2-2ab+b2),化簡得到3a2+3b2=10ab≤10|a||b|,|b|2-10|b|+9≤0,解得1≤|b|≤9. 答案:9 1 14.(2018嘉興期末)在Rt△ABC中,AB=AC=2,D為AB邊上的點(diǎn),且=2,則=________;若=x+y,則xy=________. 解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,分別為x軸,y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),C(0,2),D,所以=(0,-2)=4.由=x+y,得=x(0,-2)+y(2,-2),所以=2y,-2=-2x-2y,解得x=,y=,所以xy=. 答案:4 15.(2018溫州二模)若向量a,b滿足(a+b)2-b2=|a|=3,且|b|≥2,則ab=________,a在b方向上的投影的取值范圍是________. 解析:向量a,b滿足(a+b)2-b2=|a|=3, ∴a2+2ab+b2-b2=3, ∴9+2ab=3,∴ab=-3; 則a在b方向上的投影為|a|cos θ==, 又|b|≥2,∴-≤<0, ∴a在b方向上的投影取值范圍是. 答案:-3 16.(2018溫州適應(yīng)性測試)已知向量a,b滿足|a|=|b|=ab=2,向量x=λa+(1-λ)b,向量y=ma+nb,其中λ,m,n∈R,且m>0,n>0.若(y-x)(a+b)=6,則m2+n2的最小值為________. 解析:法一:依題意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b](a+b)=6,所以[(m-λ)a+(n-1+λ)b](a+b)=6, 因?yàn)閨a|=|b|=ab=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6, 所以m+n-1=1,即m+n=2, 所以m2+n2=m2+(2-m)2=2m2-4m+4=2(m-1)2+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號, 所以m2+n2的最小值為2. 法二:依題意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b](a+b)=6, 即[(m-λ)a+(n-1+λ)b](a+b)=6, 因?yàn)閨a|=|b|=ab=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6, 所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2mn≥4-22=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號,所以m2+n2的最小值為2. 答案:2 17.已知在△ABC中,AC⊥AB,AB=3,AC=4.若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動,則(+)的最小值為________,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 解析:因?yàn)锳C⊥AB,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(0,4).由題意可知△ABC內(nèi)切圓的圓心為D(1,1),半徑為1.因?yàn)辄c(diǎn)P在△ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動,所以可設(shè)P(1+cos θ,1+sin θ)(0≤θ<2π).所以=(-1-cos θ,-1-sin θ),+=(1-2cos θ,2-2sin θ),所以(+)=(-1-cos θ)(1-2cos θ)+(-1-sin θ)(2-2sin θ)=-1+cos θ+2cos2 θ-2+2sin2 θ=-1+cos θ≥-1-1=-2,當(dāng)且僅當(dāng)cos θ=-1,即P(0,1)時(shí),(+)取到最小值,且最小值為-2. 答案:-2 (0,1) B組——能力小題保分練 1.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則的值為( ) A.- B. C. D. 解析:選B 如圖所示,=+. 又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),且DE=2EF,所以=,=+=, 所以=+. 又=-, 則=(-) =-2+2- =2-2-=||2-||2-||||cos∠BAC. 又||=||=1,∠BAC=60, 故=--11=. 2.如圖,在等腰梯形ABCD中,已知DC∥AB,∠ADC=120,AB=4,CD=2,動點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且=,=λ,則的最小值是( ) A.4+13 B.4-13 C.4+ D.4- 解析:選B 在等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=2,∠ADC=120,易得AD=BC=2.由動點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上得,所以<λ<1.所以=(+)(+)=+++=||||cos 120+||||-||||+||||cos 60=42+2-4(1-λ)2+(1-λ)2=-13+8λ+≥-13+2=4-13,當(dāng)且僅當(dāng)λ=時(shí)取等號.所以的最小值是4-13. 3.(2018臺州一模)已知單位向量e1,e2,且e1e2=-,若向量a滿足(a-e1)(a-e2)=,則|a|的取值范圍為( ) A. B. C. D. 解析:選B ∵單位向量e1,e2,且e1e2=-, ∴〈e1,e2〉=120, ∴|e1+e2|= =1. 若向量a滿足(a-e1)(a-e2)=, 則a2-a(e1+e2)+e1e2=, ∴|a|2-a(e1+e2)=, ∴|a|2-|a|cos〈a,e1+e2〉=, 即cos〈a,e1+e2〉=. ∵-1≤cos〈a,e1+e2〉≤1, ∴-1≤|a|-≤1, 解得-≤|a|≤+, ∴|a|的取值范圍為. 4.(2017麗水模擬)在△ABC和△AEF中,B是EF的中點(diǎn),AB=EF=1,BC=6,CA=,若+=2,則與的夾角的余弦值等于________. 解析:由題意可得2=(-)2=2+2-2=33+1-2=36,∴=-1. 由+=2, 可得(+)+(+) =2+++ =1-+(-1)+ =(-) ==2, 故有=4. 再由=16cos〈,〉, 可得6cos〈,〉=4,∴cos〈,〉=. 答案: 5.(2019屆高三鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知向量a,b的夾角為,|b|=2,對任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|,則|tb-a|+(t∈R)的最小值為________. 解析:向量a,b夾角為,|b|=2,對任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|, 兩邊平方整理可得x2a2+2xab-(a2-2ab)≥0, 則Δ=4(ab)2+4a2(a2-2ab)≤0, 即有(a2-ab)2≤0,即為a2=ab, 則(a-b)⊥a, 由向量a,b夾角為,|b|=2, 由a2=ab=|a||b|cos,得|a|=1, 則|a-b|==, 畫出=a,=b,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示: 則A(1,0),B(0,), ∴a=(-1,0),b=(-1,); ∴|tb-a|+ =+ =+ =2 表示P(t,0)與M,N的距離之和的2倍, 當(dāng)M,P,N共線時(shí),取得最小值2|MN|. 即有2|MN|=2=. 答案: 6.已知定點(diǎn)A,B滿足||=2,動點(diǎn)P與動點(diǎn)M滿足||=4,=λ+(1-λ) (λ∈R),且||=||,則的取值范圍是________;若動點(diǎn)C也滿足||=4,則的取值范圍是________. 解析:因?yàn)椋溅耍?1-λ) (λ∈R),λ+1-λ=1,所以根據(jù)三點(diǎn)共線知,點(diǎn)M在直線PB上,又||=||,記PA的中點(diǎn)為D,連接MD,如圖,則MD⊥AP,=(+)=+0=2,因?yàn)閨|=4,所以點(diǎn)P在以B為圓心,4為半徑的圓上,則||∈[2,6],則=2∈[2,18]. 由于|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=4,所以點(diǎn)M在以A,B為焦點(diǎn),長軸的長為4的橢圓上,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則橢圓方程為+=1,點(diǎn)C在圓(x-1)2+y2=16上,A(-1,0),設(shè)M(2cos α,sin α),C(4cos β+1,4sin β),則=(4cos β+2,4sin β),=(2cos α+1,sin α), =(8cos α+4)cos β+4sin αsin β+4cos α+2 =sin(β+φ)+4cos α+2 =(4cos α+8)sin(β+φ)+4cos α+2, 最大值是(4cos α+8)+4cos α+2=8cos α+10≤18, 最小值是-(4cos α+8)+4cos α+2=-6, 所以∈[-6,18]. 答案:[2,18] [-6,18] 第二講 小題考法——三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點(diǎn)(一) 三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用 主要考查三角函數(shù)的圖象變換或根據(jù)圖象求解析式(或參數(shù)). [典例感悟] [典例] (1)要想得到函數(shù)y=sin 2x+1的圖象,只需將函數(shù)y=cos 2x的圖象( ) A.向左平移個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度 C.向左平移個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度 (2)已知函數(shù)g(x)=sin2x-cos2x,如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象,為了得到f(x)的圖象,只需將g(x)的圖象( ) A.向左平移個(gè)單位長度 B.向左平移個(gè)單位長度 C.向右平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度 (3)將函數(shù)f(x)=2sincoscos φ+sin φ的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,則g的值為( ) A. B.- C. D.- [解析] (1)先將函數(shù)y=cos 2x=sin的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=sin 2x的圖象,再向上平移1個(gè)單位長度,即得y=sin 2x+1的圖象,故選B. (2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,由圖象知A=1,T==π=,所以ω=2.因?yàn)閒=1,所以2+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,f(x)=sin.將g(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x=sin的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象對應(yīng)的解析式為y=sin=sin.故選B. (3)將函數(shù)f(x)=2sincoscos φ+sin φ=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ)的圖象向左平移個(gè)單位長度后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin.由g(x)=sin的圖象關(guān)于y軸對稱,可得g(x)為偶函數(shù),故φ+=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z.又|φ|<,故φ=,可得函數(shù)g(x)=sin,g=sin=. [答案] (1)B (2)B (3)A [方法技巧] 1.函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B的確定方法 字母 確定途徑 說明 A 由最值確定 A= B 由最值確定 B= ω 由函數(shù)的 周期確定 相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為半個(gè)周期,最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)之差的絕對值為個(gè)周期,ω= φ 由圖象上的 特殊點(diǎn)確定 一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置,利用待定系數(shù)法并結(jié)合圖象列方程或方程組求解 2.三角函數(shù)圖象平移問題處理的“三看”策略 [演練沖關(guān)] 1.(2017全國卷Ⅰ)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是( ) A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2 B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2 C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2 D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2 解析:選D 易知C1:y=cos x=sin,把曲線C1上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=sin的圖象,再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,可得函數(shù)y=sin=sin的圖象,即曲線C2. 2.(2019屆高三金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R,ω>0)與g(x)=cos(2x+φ)的對稱軸完全相同.為了得到h(x)=cos的圖象,只需將y=f(x)的圖象( ) A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度 C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度 解析:選A 函數(shù)f(x)=sin與g(x)=cos(2x+φ)的對稱軸完全相同, 則ω=2,且f(x)=sin, 又h(x)=cos=sin=sin, 把f(x)=sin的圖象向左平移個(gè)單位長度, 可得y=sin=sin=h(x)的圖象. 3.(2019屆高三鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分圖象如圖所示,則φ=________,為了得到g(x)=Acos ωx的圖象,需將函數(shù)y=f(x)的圖象最少向左平移________個(gè)單位長度. 解析:由圖象可得A=2, ∵=-=, ∴T=π,ω=2,f(x)=2sin(2x+φ), 將代入得sin=1, ∵-π<φ<0,∴φ=-,f(x)=2sin. ∵f=2sin=2cos 2x=g(x), ∴可將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到g(x)的圖象, 故答案為-,. 答案:- 4.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖象如圖所示,△EFG(點(diǎn)G是圖象的最高點(diǎn))是邊長為2的等邊三角形,則f(1)=________. 解析:由題意得,A=,T=4=,ω=. 又∵f(x)=Acos(ωx+φ)為奇函數(shù), ∴φ=+kπ,k∈Z,∵0<φ<π,則φ=, ∴f(x)=cos,∴f(1)=-. 答案:- 考點(diǎn)(二) 三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 主要考查三角函數(shù)的奇偶性及對稱性、周期性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等求參數(shù)或取值范圍. [典例感悟] [典例] (1)函數(shù)f(x)=sin,x∈[-1,1],則( ) A.f(x)為偶函數(shù),且在[0,1]上單調(diào)遞減 B.f(x)為偶函數(shù),且在[0,1]上單調(diào)遞增 C.f(x)為奇函數(shù),且在[-1,0]上單調(diào)遞增 D.f(x)為奇函數(shù),且在[-1,0]上單調(diào)遞減 (2)已知函數(shù)f(x)=sin xcos 2x,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的結(jié)論中,錯誤的是( ) A.最大值為1 B.圖象關(guān)于直線x=-對稱 C.既是奇函數(shù)又是周期函數(shù) D.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 (3)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),x=-為f(x)的零點(diǎn),x=為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在上單調(diào),則ω的最大值為( ) A.11 B.9 C.7 D.5 [解析] (1)∵函數(shù)f(x)=sin=cos πx,故函數(shù)f(x)為偶函數(shù),故排除C、D.當(dāng)x∈[0,1]時(shí),πx∈[0,π],函數(shù)y=cos πx是減函數(shù),故排除B,選A. (2)∵函數(shù)f(x)=sin xcos 2x,當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值為1,故A正確;當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)f(x)=1,為函數(shù)的最大值,故圖象關(guān)于直線x=-對稱;故B正確;函數(shù)f(x)滿足f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin xcos 2x=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),再根據(jù)f(x+2π)=sin(x+2π)cos[2(x+2π)]=sin xcos 2x,故f(x)的周期為2π,故C正確;由于f+f(x)=-cos xcos(3π-2x)+sin xcos 2x=cos xcos 2x+sin xcos 2x=cos 2x(sin x+cos x)=0不一定成立,故f(x)圖象不一定關(guān)于點(diǎn)中心對稱,故D不正確,故選D. (3)由題意得 且|φ|≤, 則ω=2k+1,k∈Z,φ=或φ=-. 對比選項(xiàng),將選項(xiàng)各值依次代入驗(yàn)證: 若ω=11,則φ=-,此時(shí)f(x)=sin,f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,不滿足f(x)在區(qū)間上單調(diào); 若ω=9,則φ=,此時(shí)f(x)=sin,滿足f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故選B. [答案] (1)A (2)D (3)B [方法技巧] 1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法 (1)代換法:求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ為常數(shù),A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),令ωx+φ=z,得y=Asin z(或y=Acos z),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得. (2)圖象法:畫出三角函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間. 2.判斷對稱中心與對稱軸的方法 利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)這一性質(zhì),通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷. 3.求三角函數(shù)周期的常用結(jié)論 (1)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan的最小正周期為. (2)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個(gè)周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個(gè)周期;正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個(gè)周期. [演練沖關(guān)] 1.(2018浙江十校聯(lián)考)下列四個(gè)函數(shù)中,以π為最小正周期,在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)的是( ) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|tan x| D.y=-ln|sin x| 解析:選D 由題意知函數(shù)y=sin|x|在上單調(diào)遞增,y=cos|x|的最小正周期為2π,y=|tan x|在上單調(diào)遞增,故排除A、B、C.因?yàn)閒(x)=|sin x|為偶函數(shù),且當(dāng)x∈時(shí)單調(diào)遞增,所以y=-ln|sin x|為偶函數(shù),且當(dāng)x∈時(shí)單調(diào)遞減,又g(x)=sin x的最小正周期為2π,所以f(x)=|sin x|的最小正周期為π,則函數(shù)y=-ln|sin x|的最小正周期為π.故選D. 2.已知函數(shù)f(x)=sin+,ω>0,x∈R,且f(α)=-,f(β)=.若|α-β|的最小值為,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________. 解析:由f(α)=-,f(β)=,|α-β|的最小值為,知=,即T=3π=,所以ω=,所以f(x)=sin+.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 答案:,k∈Z 3.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,則ω=________,若f(x)>1對任意的x∈恒成立,則φ的取值范圍是________. 解析:∵函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,∴=2π,ω=1,f(x)=2sin(x+φ). ∵當(dāng)x∈,即x+φ∈時(shí),f(x)>1恒成立, ∴當(dāng)x+φ∈時(shí),sin(x+φ)>恒成立,又|φ|≤,∴-+φ≥,且+φ≤,解得≤φ≤. 答案:1 考點(diǎn)(三) 三角函數(shù)的值域與最值問題 主要考查求三角函數(shù)的值域或最值,以及根據(jù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù). [典例感悟] [典例] (1)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos的最大值為( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)函數(shù)f(x)=sin在上的值域?yàn)開_______. (3)(2018鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. [解析] (1)∵f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-22+, 又sin x∈[-1,1],∴當(dāng)sin x=1時(shí),f(x)取得最大值5. (2)∵x∈,∴2x+∈, ∴當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)max=1. 當(dāng)2x+=,即x=時(shí),f(x)min=-, ∴f(x)∈. (3)由x∈,知x+∈. ∵x+∈時(shí),f(x)的值域?yàn)椋? ∴由函數(shù)的圖象知≤a+≤,∴≤a≤π. [答案] (1)B (2) (3) [方法技巧] 求三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法 三角函數(shù)類型 求值域(最值)方法 y=asin x+bcos x+c 先化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值) y=asin2x+bsin x+c 可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù),再求值域(最值) y=asin xcos x+ b(sin xcos x)+c 可先設(shè)t=sin xcos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù),再求值域(最值) y= 一般可看成過定點(diǎn)的直線與圓上動點(diǎn)連線的斜率問題,利用數(shù)形結(jié)合求解 [演練沖關(guān)] 1.已知函數(shù)y=2cos x的定義域?yàn)?,值域?yàn)閇a,b],則b-a的值是( ) A.2 B.3 C.+2 D.2- 解析:選B 因?yàn)閤∈,所以cos x∈,故y=2cos x的值域?yàn)閇-2,1],所以b-a=3. 2.當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)y=3-sin x-2cos2x的最小值是________,最大值是________. 解析:y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=22+. ∵x∈,∴sin x∈. ∴當(dāng)sin x=時(shí),ymin=, 當(dāng)sin x=-或sin x=1時(shí),ymax=2. 答案: 2 3.(2018南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=cos,其中x∈,若f(x)的值域是,則m的取值范圍是________. 解析:由x∈,可知≤3x+≤3m+,∵f=cos=-,且f=cos π=-1,∴要使f(x)的值域是,需要π≤3m+≤,即≤m≤. 答案: (一) 主干知識要記牢 1.三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 單調(diào)性 在(k∈Z)上單調(diào)遞增;在(k∈Z)上單調(diào)遞減 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心:(kπ,0)(k∈Z);對稱軸:x=+kπ(k∈Z) 對稱中心:(k∈Z);對稱軸:x=kπ(k∈Z) 對稱中心:(k∈Z) 2.三角函數(shù)的兩種常見的圖象變換 (二) 二級結(jié)論要用好 1.sin α-cos α>0?α的終邊在直線y=x上方(特殊地,當(dāng)α在第二象限時(shí)有 sin α-cos α>1). 2.sin α+cos α>0?α的終邊在直線y=-x上方(特殊地,當(dāng)α在第一象限時(shí)有sin α+cos α>1). (三) 易錯易混要明了 求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要注意ω,A的符號.ω<0時(shí),應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解;在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí),弧度和角度不能混用,需加2kπ時(shí),不要忘掉k∈Z,所求區(qū)間一般為閉區(qū)間. 如求函數(shù)f(x)=2sin的單調(diào)減區(qū)間,應(yīng)將函數(shù)化為f(x)=-2sin,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=sin的單調(diào)增區(qū)間. A組——10+7提速練 一、選擇題 1.函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析:選B 由kπ-<2x-- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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