2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)8 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 新人教A版選修1 -1.doc
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課時(shí)分層作業(yè)(八) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的應(yīng)用 (建議用時(shí):40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1.若點(diǎn)P(a,1)在橢圓+=1的外部,則a的取值范圍為( ) A. B.∪ C. D. B [由題意知+>1,即a2>,解得a>或a<-.] 2.若直線y=x+2與橢圓+=1有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):97792074】 A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(-3,0) D.(1,3) B [由 消去y,整理得(3+m)x2+4mx+m=0. 若直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn), 則 解得 由+=1表示橢圓,知m>0且m≠3. 綜上可知,m>1且m≠3,故選B.] 3.橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. A [設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,則原點(diǎn)O是線段F1F2的中點(diǎn),從而OM綊PF2,則PF2⊥F1F2,由題意知F2(3,0),由+=1得y2=解得y=,從而M的縱坐標(biāo)為.] 4.橢圓mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)與直線y=1-x交于M,N兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為,則的值是( ) A. B. C. D. A [聯(lián)立方程組可得 得(m+n)x2-2nx+n-1=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點(diǎn)P(x0,y0), 則x0==, y0=1-x0=1-=. ∴kOP===.故選A.] 5.已知橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,直線l:x=2,點(diǎn)A∈l,線段AF交橢圓C于點(diǎn)B,若F=3F,則|A|=( ) A. B.2 C. D.3 A [設(shè)點(diǎn)A(2,n),B(x0,y0). 由橢圓C:+y2=1知a2=2,b2=1, ∴c2=1,即c=1, ∴右焦點(diǎn)F(1,0). 由=3,得(1,n)=3(x0-1,y0). ∴1=3(x0-1)且n=3y0. ∴x0=,y0=n. 將x0,y0代入+y2=1,得 +=1. 解得n2=1, ∴| |===.] 二、填空題 6.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn),則C的離心率為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):97792075】 [結(jié)合條件利用橢圓的性質(zhì)建立關(guān)于a,b,c的方程求解. 如圖所示,由題意得 A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0). 由PF⊥x軸得P. 設(shè)E(0,m), 又PF∥OE,得=, 則|MF|=.① 又由OE∥MF,得=, 則|MF|=.② 由①②得a-c=(a+c),即a=3c,∴e==.] 7.過橢圓+=1的右焦點(diǎn)F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為________. [由已知可得直線方程為y=2x-2,聯(lián)立方程組 解得A(0,-2),B, ∴S△AOB=|OF||yA-yB|=.] 8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為________. 6 [由+=1可得F(-1,0). 設(shè)P(x,y),-2≤x≤2,則=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí),取得最大值6.] 三、解答題 9.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):97792076】 [解] (1)聯(lián)立方程組消去y,整理得: 5x2+2mx+m2-1=0. ∵直線與橢圓有公共點(diǎn), ∴Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0, ∴-≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2), 則由(1)得 ∴|AB|=|x1-x2| = = =. ∵-≤m≤, ∴0≤m2≤, ∴當(dāng)m=0時(shí),|AB|取得最大值,此時(shí)直線方程為y=x,即x-y=0. 10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N. (1)求橢圓C的方程; (2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值. [解] (1)由題意得 解得c=,b=, 所以橢圓C的方程為+=1. (2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0, 設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), x1+x2=,x1x2=, 所以|MN|= = =, 又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離 d=, 所以△AMN的面積為S=|MN|d=, 由=, 化簡得7k4-2k2-5=0,解得k=1. [能力提升練] 1.設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)四邊形PF1QF2的面積最大時(shí),則的值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.-2 D [由題意得c==, 又S四邊形PF1QF2=2S△PF1F2=2|F1F2|h(h為F1F2邊上的高), 所以當(dāng)h=b=1時(shí),S四邊形PF1QF2取最大值, 此時(shí)∠F1PF2=120. 所以=||||cos 120=22=-2. 故選D.] 2.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):97792077】 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 D [因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1,-1),所以直線AB的方程為y=(x-3),代入橢圓方程+=1,消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,a2=18,故選D.] 3.已知F1為橢圓C:+y2=1的左焦點(diǎn),直線l:y=x-1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),那么|F1A|+|F1B|的值為________. [設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2), 由消去y,得3x2-4x=0. ∴A(0,-1),B. ∴|AB|=, ∴|F1A|+|F1B|=4a-|AB| =4-=.] 4.已知直線y=3x+2被橢圓+=1(a>b>0)截得的弦長為8,則下列直線中被橢圓截得的弦長也為8的有________.(填上直線的代號(hào)) ①y=3x-2;②y=3x+1;③y=-3x-2;④y=-3x+2;⑤y=-3x. ①③④ [橢圓關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱,從而與直線y=3x+2關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱的直線被橢圓截得的弦長也為8,直線y=3x+2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y=3x-2,關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為y=-3x-2,關(guān)于y軸對(duì)稱的直線為y=-3x+2,故應(yīng)填①③④.] 5.如圖218,已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B. 圖218 (1)若∠F1AB=90,求橢圓的離心率; (2)若橢圓的焦距為2,且|AF2|=2|F2B|,求橢圓的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):97792078】 [解] (1)若∠F1AB=90,則△AOF2為等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c, 所以a=c,e==. (2)由題知A(0,b),F(xiàn)2(1,0),設(shè)B(x,y), 由|AF2|=2|F2B|,得=2,即(1,-b)=2(x-1,y), 解得x=,y=-, 代入+=1,得+=1,即+=1, 解得a2=3,所以b2=2, 故橢圓的方程為+=1.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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