2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.doc
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4.1 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍3會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測,生生、師生交流討論,糾正共性問題。二、合作探究思考探究探究1數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1?探究2在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時,只有第一步或只有第二步可以嗎?為什么?名師點(diǎn)撥:1.歸納法由一系列有限的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法,通常叫作歸納法它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,產(chǎn)生猜想的一種方法歸納法又分完全歸納法和不完全歸納法(1)不完全歸納法不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例(而不是全部)得到一般結(jié)論的方法用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的,應(yīng)設(shè)法去證明結(jié)論是正確的或舉出反例說明結(jié)論是不正確的(2)完全歸納法如果驗(yàn)證一切可能的特殊事物,得出一般性的結(jié)論,這種歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是驗(yàn)證所有情況后得出的結(jié)論,因此結(jié)論是正確的然而對于數(shù)量多,乃至無窮多個,是不能做到一一驗(yàn)證的對于無窮多個的事物,常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論,并設(shè)法予以證明,數(shù)學(xué)歸納法就是解決這類問題的證明方法2數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推證,所得結(jié)論是正確的 (1)數(shù)學(xué)歸納法的原理從數(shù)學(xué)歸納法的定義可以看出,它強(qiáng)調(diào)的就是兩個基本步驟,第一步,驗(yàn)證nn0時,命題成立,稱為奠基第二步,是假設(shè)遞推,這兩步都非常重要,缺一不可第一步,證明了nn0時,命題成立,nn0成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)第二步的歸納假設(shè)nk(kN,kn0)就有了依據(jù),在nn0成立時,n01成立,n02成立這樣就可以無限推理下去,而證nk1就是替代了無限的驗(yàn)證過程,所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理,切實(shí)可行的證明方法,它實(shí)現(xiàn)了從有限到無限的飛躍(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟驗(yàn)證nn0(n0為使命題有意義的最小正整數(shù))命題成立;假設(shè)當(dāng)nk(kn0,kN時),命題成立,利用假設(shè)證明nk1時命題也成立由和知,對一切nn0的正整數(shù)命題成立3如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法(1)適用范圍,與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題(2)驗(yàn)證nn0是基礎(chǔ),找準(zhǔn)n0,它是使命題成立的最小正整數(shù),不一定都是從1開始(3)遞推是關(guān)鍵,數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是遞推,即從nk到nk1的推理過程,必須用上假設(shè),否則不是數(shù)學(xué)歸納法(4)正確尋求遞推關(guān)系,在驗(yàn)證nn0時,不妨多寫出幾項(xiàng),這樣可能找出遞推關(guān)系;在解決幾何命題時,可先用特例歸納出規(guī)律,即找出f(k)到f(k1)的圖形的變化情況;對于整除性問題,往往添加項(xiàng)湊出假設(shè)【例1】看下面的證明是否正確,如果不正確,指出錯誤的原因,并加以改正用數(shù)學(xué)歸納法證明:1248(1)n12n1(1)n1. 【證明】(1)當(dāng)n1時,左邊1,右邊1,等式成立(2)假設(shè)nk時,等式成立,即1248(1)k12k1(1)k1.則當(dāng)nk1時,有1248(1)k12k1(1)k2k (1)k1 (1)k.這就是說,當(dāng)nk1時,等式也成立由(1)與(2)知,對任意nN等式成立【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明:nN時,.【例2】設(shè)xN,nN,求證:xn2(x1)2n1能被x2x1整除【變式訓(xùn)練2】求證:二項(xiàng)式x2ny2n(nN)能被xy整除【例3】平面上有n條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點(diǎn),求證:這n條直線把平面分割成f(n)塊區(qū)域【變式訓(xùn)練3】已知n個圓中每兩個圓相交于兩點(diǎn),且無三圓過同一點(diǎn),用數(shù)學(xué)歸納法證明這n個圓把平面分成n2n2部分參考答案1.歸納法由一系列有限的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法,通常叫作歸納法它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律,產(chǎn)生猜想的一種方法歸納法又分完全歸納法和不完全歸納法(1)不完全歸納法不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例(而不是全部)得到一般結(jié)論的方法用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的,應(yīng)設(shè)法去證明結(jié)論是正確的或舉出反例說明結(jié)論是不正確的(2)完全歸納法如果驗(yàn)證一切可能的特殊事物,得出一般性的結(jié)論,這種歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是驗(yàn)證所有情況后得出的結(jié)論,因此結(jié)論是正確的然而對于數(shù)量多,乃至無窮多個,是不能做到一一驗(yàn)證的對于無窮多個的事物,常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論,并設(shè)法予以證明,數(shù)學(xué)歸納法就是解決這類問題的證明方法2數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推證,所得結(jié)論是正確的 (1)數(shù)學(xué)歸納法的原理從數(shù)學(xué)歸納法的定義可以看出,它強(qiáng)調(diào)的就是兩個基本步驟,第一步,驗(yàn)證nn0時,命題成立,稱為奠基第二步,是假設(shè)遞推,這兩步都非常重要,缺一不可第一步,證明了nn0時,命題成立,nn0成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)第二步的歸納假設(shè)nk(kN,kn0)就有了依據(jù),在nn0成立時,n01成立,n02成立這樣就可以無限推理下去,而證nk1就是替代了無限的驗(yàn)證過程,所以說數(shù)學(xué)歸納法是一種合理,切實(shí)可行的證明方法,它實(shí)現(xiàn)了從有限到無限的飛躍(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟驗(yàn)證nn0(n0為使命題有意義的最小正整數(shù))命題成立;假設(shè)當(dāng)nk(kn0,kN時),命題成立,利用假設(shè)證明nk1時命題也成立由和知,對一切nn0的正整數(shù)命題成立3如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法(1)適用范圍,與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題(2)驗(yàn)證nn0是基礎(chǔ),找準(zhǔn)n0,它是使命題成立的最小正整數(shù),不一定都是從1開始(3)遞推是關(guān)鍵,數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是遞推,即從nk到nk1的推理過程,必須用上假設(shè),否則不是數(shù)學(xué)歸納法(4)正確尋求遞推關(guān)系,在驗(yàn)證nn0時,不妨多寫出幾項(xiàng),這樣可能找出遞推關(guān)系;在解決幾何命題時,可先用特例歸納出規(guī)律,即找出f(k)到f(k1)的圖形的變化情況;對于整除性問題,往往添加項(xiàng)湊出假設(shè)探究1提示不一定探究2提示不可以這兩個步驟缺一不可,只完成步驟而缺少步驟,就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論因?yàn)閱慰坎襟E,無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確,我們無法判定同樣,只有步驟而缺少步驟時,也可能得出不正確的結(jié)論,缺少步驟這個基礎(chǔ),假設(shè)就失去了成立的前提,步驟也就沒有意義了.【例1】【解】從上面的證明過程可以看出,是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立在第二步中,證nk1時沒有用上假設(shè),而是直接利用等比數(shù)列的求和公式,這是錯誤的第二步正確證法應(yīng)為:當(dāng)nk1時,1248(1)k12k1(1)k2k(1)k1(1)k2k(1)k(1)k2k(1)k2k(1)k.即當(dāng)nk1時,等式也成立【變式訓(xùn)練1】證明(1)當(dāng)n1時,左邊,右邊,左邊右邊,等式成立(2)假設(shè)nk時,等式成立,即.則當(dāng)nk1時,.即當(dāng)nk1時,等式也成立由(1),(2)可知對一切nN等式成立【例2】【證明】(1)當(dāng)n1時,x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1),結(jié)論成立(2)假設(shè)nk時,結(jié)論成立,即xk2(x1)2k1能被x2x1整除,那么當(dāng)nk1時,x(k1)2(x1)2(k1)1xxk2(x1)2(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x2x1)(x1)2k1.由假設(shè)知,xk2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除,故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2x1整除,即nk1時,結(jié)論也成立由(1)(2)知,原結(jié)論成立【變式訓(xùn)練2】證明(1)當(dāng)n1時,x2y2(xy)(xy),命題成立(2)假設(shè)nk時,x2ky2k能被xy整除,那么nk1時,x2(k1)y2(k1)x2x2ky2y2kx2(x2ky2k)x2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除,x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時,命題也成立由(1)(2)知,對任意的正整數(shù)n命題成立【例3】【證明】(1)當(dāng)n1時,一條直線把平面分割成2塊而f(1)2,命題成立(2)假設(shè)nk時,k條直線把平面分成f(k)塊區(qū)域,那么當(dāng)nk1時,設(shè)k1條直線為l1,l2,l3lk,lk1,不妨取出l1,余下的k條直線l2,l3,lk,lk1將平面分割成f(k)塊區(qū)域, 直線l1被這k條直線分割成k1條射線或線段,它們又分別將各自所在區(qū)域一分為二,故增加了k1塊區(qū)域,所以f(k1)f(k)k1k1,這就是說,當(dāng)nk1時,命題也成立由(1)(2)知,命題對一切nN成立【變式訓(xùn)練3】證明(1)當(dāng)n1時,1個圓把平面分成兩部分,而21212.所以當(dāng)n1時,命題成立(2)假設(shè)nk時命題成立,即k個圓把平面分成k2k2部分當(dāng)nk1時,平面上增加第k1個圓,它與原來的k個圓中的每個圓都相交于兩個不同點(diǎn),共2k個交點(diǎn),而這2k個交點(diǎn)把第k1個圓分成2k段弧,每段弧把原來的區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域,區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊k1個圓把平面劃分成的塊數(shù)為(k2k2)2kk2k2(k1)2(k1)2,當(dāng)nk1時命題也成立根據(jù)(1)(2)知,命題對nN都成立- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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