2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)案 新人教A版選修4-5.doc

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4.1 　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理． 2．了解數(shù)學(xué)歸納法的使用范圍． 3．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 一、自學(xué)釋疑 根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測(cè)，生生、師生交流討論，糾正共性問(wèn)題。 二、合作探究 思考探究　 探究1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1? 探究2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，只有第一步或只有第二步可以嗎？為什么？ 名師點(diǎn)撥： 1.歸納法 由一系列有限的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫作歸納法．它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法． 歸納法又分完全歸納法和不完全歸納法． (1)不完全歸納法 不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例(而不是全部)得到一般結(jié)論的方法．用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的，應(yīng)設(shè)法去證明結(jié)論是正確的或舉出反例說(shuō)明結(jié)論是不正確的． (2)完全歸納法 如果驗(yàn)證一切可能的特殊事物，得出一般性的結(jié)論，這種歸納法稱為完全歸納法．完全歸納法是驗(yàn)證所有情況后得出的結(jié)論，因此結(jié)論是正確的．然而對(duì)于數(shù)量多，乃至無(wú)窮多個(gè)，是不能做到一一驗(yàn)證的． 對(duì)于無(wú)窮多個(gè)的事物，常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法予以證明，數(shù)學(xué)歸納法就是解決這類問(wèn)題的證明方法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推證，所得結(jié)論是正確的． 　 (1)數(shù)學(xué)歸納法的原理 從數(shù)學(xué)歸納法的定義可以看出，它強(qiáng)調(diào)的就是兩個(gè)基本步驟，第一步，驗(yàn)證n＝n0時(shí)，命題成立，稱為奠基．第二步，是假設(shè)遞推，這兩步都非常重要，缺一不可．第一步，證明了n＝n0時(shí)，命題成立，n＝n0成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)．第二步的歸納假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依據(jù)，在n＝n0成立時(shí)，n0＋1成立，n0＋2成立……這樣就可以無(wú)限推理下去，而證n＝k＋1就是替代了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程，所以說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法是一種合理，切實(shí)可行的證明方法，它實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的飛躍． (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟 ①驗(yàn)證n＝n0(n0為使命題有意義的最小正整數(shù))命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N＋時(shí))，命題成立，利用假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由①和②知，對(duì)一切n≥n0的正整數(shù)命題成立． 3．如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法 (1)適用范圍，與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題． (2)驗(yàn)證n＝n0是基礎(chǔ)，找準(zhǔn)n0，它是使命題成立的最小正整數(shù)，不一定都是從1開(kāi)始． (3)遞推是關(guān)鍵，數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是遞推，即從n＝k到n＝k＋1的推理過(guò)程，必須用上假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法． (4)正確尋求遞推關(guān)系，①在驗(yàn)證n＝n0時(shí)，不妨多寫出幾項(xiàng)，這樣可能找出遞推關(guān)系；②在解決幾何命題時(shí)，可先用特例歸納出規(guī)律，即找出f(k)到f(k＋1)的圖形的變化情況；③對(duì)于整除性問(wèn)題，往往添加項(xiàng)湊出假設(shè)． 【例1】　看下面的證明是否正確，如果不正確，指出錯(cuò)誤的原因，并加以改正． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－2＋4－8＋…＋(－1)n－12n－1＝(－1)n－1＋.　 　 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＋＝1，等式成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k－12k－1＝(－1)k－1＋. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 1－2＋4－8＋…＋(－1)k－12k－1＋(－1)k2k ＝ ＝－ ＝－(－1)k＋1 ＝(－1)k＋. 這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)與(2)知，對(duì)任意n∈N＋等式成立． 【變式訓(xùn)練1】　用數(shù)學(xué)歸納法證明：n∈N＋時(shí)， ＋＋…＋＝. 【例2】　設(shè)x∈N＋，n∈N＋，求證：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除． 【變式訓(xùn)練2】　求證：二項(xiàng)式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． 【例3】　平面上有n條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成f(n)＝塊區(qū)域． 【變式訓(xùn)練3】　已知n個(gè)圓中每?jī)蓚€(gè)圓相交于兩點(diǎn)，且無(wú)三圓過(guò)同一點(diǎn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明這n個(gè)圓把平面分成n2－n＋2部分． 參考答案 1.歸納法 由一系列有限的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫作歸納法．它是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法． 歸納法又分完全歸納法和不完全歸納法． (1)不完全歸納法 不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例(而不是全部)得到一般結(jié)論的方法．用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的，應(yīng)設(shè)法去證明結(jié)論是正確的或舉出反例說(shuō)明結(jié)論是不正確的． (2)完全歸納法 如果驗(yàn)證一切可能的特殊事物，得出一般性的結(jié)論，這種歸納法稱為完全歸納法．完全歸納法是驗(yàn)證所有情況后得出的結(jié)論，因此結(jié)論是正確的．然而對(duì)于數(shù)量多，乃至無(wú)窮多個(gè)，是不能做到一一驗(yàn)證的． 對(duì)于無(wú)窮多個(gè)的事物，常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法予以證明，數(shù)學(xué)歸納法就是解決這類問(wèn)題的證明方法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推證，所得結(jié)論是正確的． 　 (1)數(shù)學(xué)歸納法的原理 從數(shù)學(xué)歸納法的定義可以看出，它強(qiáng)調(diào)的就是兩個(gè)基本步驟，第一步，驗(yàn)證n＝n0時(shí)，命題成立，稱為奠基．第二步，是假設(shè)遞推，這兩步都非常重要，缺一不可．第一步，證明了n＝n0時(shí)，命題成立，n＝n0成為后面遞推的出發(fā)點(diǎn)．第二步的歸納假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依據(jù)，在n＝n0成立時(shí)，n0＋1成立，n0＋2成立……這樣就可以無(wú)限推理下去，而證n＝k＋1就是替代了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程，所以說(shuō)數(shù)學(xué)歸納法是一種合理，切實(shí)可行的證明方法，它實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的飛躍． (2)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟 ①驗(yàn)證n＝n0(n0為使命題有意義的最小正整數(shù))命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥n0，k∈N＋時(shí))，命題成立，利用假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由①和②知，對(duì)一切n≥n0的正整數(shù)命題成立． 3．如何正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法 (1)適用范圍，與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題． (2)驗(yàn)證n＝n0是基礎(chǔ)，找準(zhǔn)n0，它是使命題成立的最小正整數(shù)，不一定都是從1開(kāi)始． (3)遞推是關(guān)鍵，數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)是遞推，即從n＝k到n＝k＋1的推理過(guò)程，必須用上假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法． (4)正確尋求遞推關(guān)系，①在驗(yàn)證n＝n0時(shí)，不妨多寫出幾項(xiàng)，這樣可能找出遞推關(guān)系；②在解決幾何命題時(shí)，可先用特例歸納出規(guī)律，即找出f(k)到f(k＋1)的圖形的變化情況；③對(duì)于整除性問(wèn)題，往往添加項(xiàng)湊出假設(shè)． 探究1．提示　不一定． 探究2．提示　不可以．這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟①而缺少步驟②，就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論．因?yàn)閱慰坎襟E①，無(wú)法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無(wú)法判定．同樣，只有步驟②而缺少步驟①時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟①這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟②也就沒(méi)有意義了. 【例1】【解】　從上面的證明過(guò)程可以看出，是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．在第二步中，證n＝k＋1時(shí)沒(méi)有用上假設(shè)，而是直接利用等比數(shù)列的求和公式，這是錯(cuò)誤的．第二步正確證法應(yīng)為： 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1－2＋4－8＋…＋(－1)k－12k－1＋(－1)k2k ＝(－1)k－1＋＋(－1)k2k ＝－(－1)k＋(－1)k2k＋ ＝(－1)k2k＋ ＝(－1)k＋. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 【變式訓(xùn)練1】證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝， 左邊＝右邊，∴等式成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即 ＋＋…＋＝. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＝＝ ＝＝. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)，(2)可知對(duì)一切n∈N＋等式成立． 【例2】【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x3＋(x＋1)3＝[x＋(x＋1)][x2－x(x＋1)＋(x＋1)2] ＝(2x＋1)(x2＋x＋1)，結(jié)論成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即 xk＋2＋(x＋1)2k＋1能被x2＋x＋1整除， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1＝xxk＋2＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1 ＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1－x(x＋1)2k＋1　 ＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x2＋x＋1)(x＋1)2k＋1. 由假設(shè)知，xk＋2＋(x＋1)2k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，故x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1能被x2＋x＋1整除，即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由(1)(2)知，原結(jié)論成立． 【變式訓(xùn)練2】證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么n＝k＋1時(shí)，x2(k＋1)－y2(k＋1)＝x2x2k－y2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋x2y2k－y2y2k ＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k＋y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)(2)知，對(duì)任意的正整數(shù)n命題成立． 【例3】【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，一條直線把平面分割成2塊． 而f(1)＝＝2，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)，k條直線把平面分成f(k)＝塊區(qū)域，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)k＋1條直線為l1，l2，l3…lk，lk＋1，不妨取出l1，余下的k條直線l2，l3…，lk，lk＋1將平面分割成f(k)＝塊區(qū)域， 直線l1被這k條直線分割成k＋1條射線或線段，它們又分別將各自所在區(qū)域一分為二，故增加了k＋1塊 區(qū)域，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1＝＝，這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)(2)知，命題對(duì)一切n∈N＋成立． 【變式訓(xùn)練3】證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，1個(gè)圓把平面分成兩部分，而2＝12－1＋2. 所以當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k2－k＋2部分． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，平面上增加第k＋1個(gè)圓，它與原來(lái)的k個(gè)圓中的每個(gè)圓都相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，共2k個(gè)交點(diǎn)，而這2k個(gè)交點(diǎn)把第k＋1個(gè)圓分成2k段弧，每段弧把原來(lái)的區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，∴區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊． ∴k＋1個(gè)圓把平面劃分成的塊數(shù)為 (k2－k＋2)＋2k＝k2＋k＋2 ＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 根據(jù)(1)(2)知，命題對(duì)n∈N＋都成立．