2019版高考數學二輪復習 限時檢測提速練12 大題考法——坐標系與參數方程.doc

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限時檢測提速練(十二)　大題考法——坐標系與參數方程 A組 1．(2018石家莊一模)在平面直角坐標系中，直線l的參數方程是(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＋2ρsin θ－3＝0． (1)求直線l的極坐標方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|． 解：(1)由消去t得，y＝2x， 把代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ， 所以直線l的極坐標方程為sin θ＝2cos θ． (2)因為ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＋2y－3＝0， 即x2＋(y＋1)2＝4． 圓C的圓心C(0，－1)到直線l的距離d＝， 所以|AB|＝2＝． 2．(2018石嘴山二模)在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為(其中t為參數)．現以坐標原點為極點， x軸的非負半軸為極軸建立極坐標標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝6cos θ． (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若點P坐標為(－1,0)，直線l交曲線C于A，B兩點，求|PA|＋|PB|的值． 解：(1)由消去參數t，得直線l的普通方程為x－y＋1＝0， 又由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ， 由得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－6x＝0． (2)將代入x2＋y2－6x＝0得t2－4t＋7＝0， 則t1＋t2＝4，t1t2＝7＞0， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4． 3．(2018商丘二模)已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ＋2sin θ，直線l1：θ＝(ρ∈R)，直線l2：θ＝(ρ∈R)．以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系． (1)求直線l1，l2的直角坐標方程以及曲線C的參數方程； (2)已知直線l1與曲線C交于O，M兩點，直線l2與曲線C交于O，N兩點，求△OMN的面積． 解：(1)依題意，直線l1的直角坐標方程為y＝x，直線l2的直角坐標方程為y＝x． 因為ρ＝4cos θ＋2sin θ，故ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ， 故x2＋y2＝4x＋2y，故(x－2)2＋(y－1)2＝5， 故曲線C的參數方程為(α為參數)． (2)聯立得到|OM|＝2＋1， 同理|ON|＝2＋.又∠MON＝， 所以S△MON＝|OM||ON|sin ∠MON＝， 即△OMN的面積為． 4．(2018東莞二模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(α為參數)，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點A的極坐標為． (1)求曲線C的極坐標方程； (2)若點B在曲線C上，|OA||OB|＝2，求∠AOB的大?。? 解：(1)∵曲線C的普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2， 即x2＋y2－2x－2y＝0， ∴曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ＋2sin θ． (2)∵|OA|＝2，|OB|＝ρ， 且|OA||OB|＝2， ∴cos θ＋sin θ＝，∴sin＝． ∴θ＋＝或θ＋＝，θ＝ 或θ＝， ∴∠AOB＝－＝或∠AOB＝－＝． B組 1．(2018遼寧三模)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標是． (1)求直線l的普通方程； (2)求直線l上的點到點M距離最小時的點的直角坐標． 解：(1)直線l的普通方程為3x－y－6＝0． (2)點M的直角坐標是(－1，－)， 過點M作直線l的垂線，垂足為M′，則點M′即為所求的直線l上到點M距離最小的點． 直線MM′的方程是y＋＝－(x＋1)， 即y＝－x－－． 由解得 所以直線l上到點M距離最小的點的直角坐標是． 2．(2018棗莊二模)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝1，求直線l被曲線C截得的線段的長度； (2)若a＝11，在曲線C上求一點M，使得點M到直線l的距離最小，并求出最小距離． 解：(1)曲線C的普通方程為＋＝1． 當a＝1時，直線l的普通方程為y＝2x． 由解得或 直線l被曲線C截得的線段的長度為＝3． (2)方法一　a＝11時，直線l的普通方程為2x－y－10＝0． 由點到直線的距離公式，橢圓上的點M(3cos θ，2sin θ)到直線l：2x－y－10＝0的距離為 d＝ ＝ ＝， 其中θ0滿足cos θ0＝，sin θ0＝． 由三角函數性質知，當θ＋θ0＝0時，d取最小值2－2． 此時，3cos θ＝3cos(－θ0)＝，2sin θ＝2sin(－θ0)＝－． 因此，當點M位于時，點M到l的距離取最小值2－2． 方法二　當a＝11時，直線l的普通方程為2x－y－10＝0． 設與l平行，且與橢圓＋＝1相切的直線m的方程為2x－y＋t＝0.由消去y并整理得40x2＋36tx＋9t2－36＝0． 由判別式Δ＝(36t)2－440(9t2－36)＝0，解得t＝2． 所以，直線m的方程為2x－y＋2＝0，或2x－y－2＝0． 要使兩平行直線l與m間的距離最小， 則直線m的方程為2x－y－2＝0． 這時，l與m間的距離d＝＝2－2． 此時點M的坐標為方程組的解 因此，當點M位于時，點M到直線l的距離取最小值2－2．