2018年秋高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運算 2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義學案 新人教A版必修4.doc

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2.2.3　向量數(shù)乘運算及其幾何意義 學習目標：1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運算的幾何意義．(重點)2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會進行向量的數(shù)乘運算．(重點)3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關向量共線問題．(難點)4.理解實數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)別．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．向量的數(shù)乘運算 定義 實數(shù)λ與向量a的乘積是一個向量 記法 λa 長度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 方向與a的方向相同 λ＜0 方向與a的方向相反 思考：(1)何時有λa＝0? (2)從幾何角度考慮，向量2a和－a與向量a分別有什么關系？ [提示]　(1)若λ＝0或a＝0則λa＝0. (2)2a與a方向相同，2a的長度是a的長度的2倍，－a與a方向相反，－a的長度是a的長度的. 2．向量的數(shù)乘運算的運算律 設λ，μ為任意實數(shù) ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 4．向量的線性運算 向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向 量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1aμ2b)＝λμ1aλμ2b. [基礎自測] 1．思考辨析 (1)對于任意的向量a，總有0a＝0.(　　) (2)當λ＞0時，|λa|＝λa.(　　) (3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．(　　) [解析]　(1)錯誤.0a＝0；(2)錯誤．|λa|＝λ|a|(λ＞0)．(3)錯誤．當λ＜0時，－λ＞0，a與－λa的方向相同． [答案]　(1)　(2)　(3) 2．點C是線段AB靠近點B的三等分點，下列正確的是(　　) A.＝3　　　　　　 B.＝2 C.＝ D.＝2 D　[由題意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正確．] 3．如圖2227，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________. 圖2227 2　[由向量加法的平行四邊形法則知＋＝. 又∵O是AC的中點，∴AC＝2AO， ∴＝2，∴＋＝2， ∴λ＝2.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量的線性運算 　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________. (2)化簡下列各式： ①3(6a＋b)－9； ②－2； ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. (1)4b－3a　[(1)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. (2)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.] [規(guī)律方法]　　向量數(shù)乘運算的方法 (1)向量的數(shù)乘運算類似于多項式的代數(shù)運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù). (2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算. [跟蹤訓練] 1．(1)化簡； (2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. [解]　(1)原式 ＝ ＝ ＝＝a－b. (2)由①3＋②2得，x＝3a＋2b，代入①得3(3a＋2b)－2y＝a， 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 用已知向量表示未知向量 　(1)如圖2228，?ABCD中，E是BC的中點，若＝a，＝b，則＝(　　) 圖2228 A．a(chǎn)－b　　　　　 B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b (2)如圖2229所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，M，N分別是DE，BC的中點，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，. 圖2229 [思路探究]　先用向量加減法的幾何意義設計好總體思路，然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示． (1)D　[(1)＝＋＝＋ ＝－＝a－b.] (2)由三角形中位線定理，知DE綊BC，故＝，即＝a. ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. ＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b. 母題探究：1.本例(1)中，設AC與BD相交于點O，F(xiàn)是線段OD的中點，AF的延長線交DC于點G，試用a，b表示. [解]　因為DG∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 又因為DF＝＝BD＝BD， 所以＝＝， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 2．本例(1)中，若點F為邊AB的中點，設a＝，b＝，用a，b表示. [解]　由題意 解得 所以＝－＝a＋b. [規(guī)律方法]　用已知向量表示其他向量的兩種方法 (1)直接法． (2)方程法． 當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程． 提醒：用已知向量表示未知向量的關鍵是弄清向量之間的數(shù)量關系. 向量共線問題 [探究問題] 1．已知m，n是不共線向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判斷a與b是否共線？ 提示：要判斷兩向量是否共線，只需看是否能找到一個實數(shù)λ，使得a＝λb即可． 若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)． ∵m，n不共線，∴ ∵不存在λ同時滿足此方程組，∴a與b不共線． 2．設兩非零向量e1和e2不共線，是否存在實數(shù)k，使ke1＋e2和e1＋ke2共線？ 提示：設ke1＋e2與e1＋ke2共線， ∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 則(k－λ)e1＝(λk－1)e2. ∵e1與e2不共線，∴只能有則k＝1. 　(1)已知非零向量e1，e2不共線，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，則共線的三個點是________． (2)已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若＝x＋y，求x＋y的值． [思路探究]　(1)將三點共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題，例如∥可推出A，B，D三點共線． (2)先用共線向量定理引入?yún)?shù)λ得＝λ，再用向量減法的幾何意義向＝x＋y變形，最后對比求x＋y. (1)A，B，D　[(1)∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2. ∴，共線，且有公共點B， ∴A，B，D三點共線．] (2)由于A，B，P三點共線，則，在同一直線上，由共線向量定理可知，必存在實數(shù)λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ. ∴x＝1－λ，y＝λ，則x＋y＝1. [規(guī)律方法]　1.證明或判斷三點共線的方法 (1)一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用結(jié)論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數(shù)x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 2．利用向量共線求參數(shù)的方法 判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．設a，b是兩個不共線的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝(　　) A．－4　　 B．－8 C．4 D．8 A　[因為向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)??k＝－4(因為方向相反，所以λ＜0?k＜0)．] 2．(2018全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ A　[由題可得＝＋＝－(＋)＋＝－.] 3．對于向量a，b有下列表示： ①a＝2e，b＝－2e； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 其中，向量a，b一定共線的有(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ A　[對于①，b＝－a，有a∥b； 對于②，b＝－2a，有a∥b； 對于③，a＝4b，有a∥b； 對于④，a與b不共線．] 4．若|a|＝5，b與a方向相反，且|b|＝7，則a＝________b. －　[由題意知a＝－b.] 5．如圖2230所示，已知＝，用，表示. 圖2230 [解]?。剑剑剑?－) ＝－＋.