2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc
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二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在不等關(guān)系的證明中,方法多種多樣,其中數(shù)學(xué)歸納法是常用的方法之一.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),由n=k成立,推導(dǎo)n=k+1成立時(shí),常常要與其他方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行. 2.歸納—猜想—證明的思想方法 數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法,常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中.一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論;更重要的是,要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性,形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 [例1] 證明不等式1+++…+<2(n∈N+). [思路點(diǎn)撥] ―→―→ [證明] (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí)不等式成立, 即1+++…+<2, 則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+++…++<2+=, 現(xiàn)在只需證明<2成立, 即證2<2k+1成立, 兩邊平方并整理,得0<1,顯然成立, 所以<2成立. 即1+++…++<2成立. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 由(1)(2)可知,對于任意正整數(shù)n,原不等式都成立. 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時(shí),由n=k到n=k+1時(shí)的推證過程與證明等式有所不同,由于不等式中的不等關(guān)系,需要我們在證明時(shí),對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n=k時(shí)的假設(shè),所以需要認(rèn)真分析,適當(dāng)放縮,才能使問題簡單化,這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一. (2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過程. 1.設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和,當(dāng)n≥2時(shí),比較S2n與的大小,并予以證明. 解:由S22=1+++=>,S23=1+++++…+>S22++++>+=,猜想:S2n>(n≥2). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. (1)當(dāng)n=2時(shí),上面已證不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥2)時(shí),有S2k>, 則當(dāng)n=k+1時(shí), S2k+1=S2k+++…+>+ =+=, 即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 結(jié)合(1)(2)可知,S2n>(n≥2,n∈N+)成立. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1+++…+<2-(n≥2,n∈N+). 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),1+=<2-=,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí)不等式成立, 即1+++…+<2-, 當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 由(1)(2)知原不等式在n≥2,n∈N+時(shí)均成立. 3.設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明. 解:(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn. (2)當(dāng)n≥3時(shí),(以下再對x進(jìn)行分類). ①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn. ②若x=0,則Pn=Qn. ③若x∈(-1,0), 則P3-Q3=x3<0,所以P3- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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