2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 專題3 數(shù)列知識(shí)整合學(xué)案 理.docx
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專題3數(shù)列一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?如何表示等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系?an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么?它具有什么特點(diǎn)?Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的二次函數(shù),且沒有常數(shù)項(xiàng).二、等比數(shù)列1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?如何表示等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系?an=a1qn-1;an=amqn-m.2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么?具有什么特點(diǎn)?易忽略點(diǎn)是什么?Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,q1.當(dāng)q1時(shí),Sn=a11-q-a11-qqn,qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)先討論公式中的公比q是否等于1.3.等差數(shù)列的單調(diào)性與什么有關(guān)?等比數(shù)列呢?等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù),而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q的取值,又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù).4.等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性質(zhì)?等差中項(xiàng):若a,M,b成等差數(shù)列,則M為a,b的等差中項(xiàng),且M=a+b2.重要性質(zhì):已知數(shù)列an是等差數(shù)列,(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(2)an=12n-1S2n-1.等比中項(xiàng):若a,M,b成等比數(shù)列,則M為a,b的等比中項(xiàng),且M2=ab.重要性質(zhì):已知數(shù)列an是等比數(shù)列,若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則aman=ap aq.三、數(shù)列求和列舉數(shù)列求和的方法,各自的注意點(diǎn)是什么?(1)公式法求和:要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)分組求和法:分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn=an+bn形式的數(shù)列求和問題的方法,其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.(3)裂項(xiàng)相消法:將數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩個(gè)代數(shù)式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法.形如canan+1(其中an是公差d0且各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)易認(rèn)為只剩下首尾兩項(xiàng).用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)要注意所裂式與原式的等價(jià)性.附:常見的裂項(xiàng)公式(其中nN*).1n(n+1)=1n-1n+1.1n(n+k)=1k1n-1n+k.1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.1n+n+1=n+1-n.1n+n+k=1kn+k-n.(4)錯(cuò)位相減法:形如anbn(其中an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和,一般分三步:巧拆分;構(gòu)差式;求和.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng).(5)倒序求和法:距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等,可以用此法.一般步驟:求通項(xiàng)公式;定和值;倒序相加;求和;回顧反思.從近三年的高考全國卷試題來看,數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn),數(shù)列部分的題型、難度和分值都保持穩(wěn)定,考查的重點(diǎn)主要是等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和、數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的前n項(xiàng)和等知識(shí).考查內(nèi)容比較全面,解題時(shí)要注意基本運(yùn)算、基本能力的運(yùn)用,同時(shí)注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.一、選擇題和填空題的命題特點(diǎn)等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算:a1,an,Sn,n,d(q)這五個(gè)量中已知其中的三個(gè)量,求另外兩個(gè)量.已知數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和等.1.(2018全國卷理T4改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則S5=().A.-20B.-10C.10D.20解析設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意可得33a1+322d=2a1+d+4a1+432d,解得d=-32a1.因?yàn)閍1=2,所以d=-3,所以S5=52+542(-3)=-20,故選A.答案A2.(2018全國卷理T14改編)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則a6=.解析當(dāng)n2時(shí),Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1.又a1=S1=2a1+1,所以a1=-10,所以數(shù)列an是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32.答案-32二、解答題的命題特點(diǎn)等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算:a1,an,Sn,n,d(q)這五個(gè)量中已知其中的三個(gè)量,求另外兩個(gè)量.已知數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知等差(比)數(shù)列的某些項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和,求其通項(xiàng)公式.等差(比)數(shù)列的判斷與證明以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題等.1.(2018全國卷文T17改編)已知數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)bn=ann.(1)證明數(shù)列bn是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)由已知條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn.又b1=1,所以bn是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.所以bn=ann=2n-1,所以an=n2n-1.(2)由(1)可得Sn=a1+a2+an=120+221+322+n2n-1,所以2Sn=121+222+323+n2n,兩式相減得-Sn=1+21+22+23+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=2n-1-n2n,所以Sn=(n-1)2n+1.2.(2018全國卷理、文T17改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15.(1)求an,Sn;(2)求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15,a1=-7,解得d=2,所以an=2n-9,Sn=n2-8n.(2)當(dāng)1n4(nN*)時(shí),an0,所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|an|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32.綜上所述,Tn=8n-n2(1n4),n2-8n+32(n5).3.(2018全國卷理、文T17改編)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和,證明:an=1+Sn2.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0),由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2.故an=2n-1.(2)因?yàn)閍n=2n-1,所以Sn=1-2n1-2=2n-1,所以1+Sn2=1+(2n-1)2=2n-1=an.1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷方法:判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列,可以先計(jì)算特殊的幾項(xiàng),觀察其特征,然后歸納出等差數(shù)列或者等比數(shù)列的結(jié)論.證明等差數(shù)列和等比數(shù)列,應(yīng)該首先考慮其通項(xiàng)公式,利用定義或者等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)來證明.利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式只是作為判斷方法,而不是證明方法.把對(duì)數(shù)列特征的判定滲透在解題過程中,可以幫助學(xué)生拓展思維和理清思路.2.數(shù)列通項(xiàng)的求法:(1)公式法:等差數(shù)列通項(xiàng)公式;等比數(shù)列通項(xiàng)公式.(2)已知Sn(即a1+a2+an=f(n)求an,用作差法:an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n2,nN*).(3)已知a1a2an=f(n)求an,用作商法:an=f(1)(n=1),f(n)f(n-1)(n2,nN*).(4)已知an+1-an=f(n)求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2,nN*).(5)已知an+1an=f(n)求an,用累乘法:an=anan-1an-1an-2a2a1a1(n2,nN*).(6)已知遞推關(guān)系式求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).3.數(shù)列求和:數(shù)列求和的關(guān)鍵是研究數(shù)列通項(xiàng)公式,根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特征選擇相應(yīng)的求和方法,若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則直接利用公式求和;若通項(xiàng)公式是等差乘等比型,則利用錯(cuò)位相減法;若通項(xiàng)公式可以拆分成兩項(xiàng)的差且在累加過程中可以互相抵消某些項(xiàng),則利用裂項(xiàng)相消法.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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